陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学（理）试卷

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学（理）试卷

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三下学期冲刺考试数学（理）试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．已知，命题：，：，则是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ ‎4．函数的部分图像可能是 ‎5．已知双曲线（，）与椭圆有共同焦 点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，‎ ‎，连接，，，．现向正方形内随机抛 掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边 形外，则 A． B． C． D． ‎ ‎8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是 某四面体的三视图，则该四面体的体积为 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎9．将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎10．若函数，分别是定义在上的偶函数，奇函数，且满足，则 A． B．‎ C． D． ‎ ‎11．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的点，延长交椭圆于点，若，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，则的零点个数可能为 ‎ ‎ A．个 B．个或个 C．个或个或个 D．个或个 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为 ．‎ ‎14．设等差数列的前项和为，若，，则公差 ．‎ ‎15．在中，，其面积为3，设点在内，且满足，则 ．‎ ‎16．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球的表面积为 ．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17．（满分12分）‎ 在中，内角、、的对边分别为、、，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎18．（满分12分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣．‎ ‎（1）完成下列列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎（2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．‎ 附表：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎19．（满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，为棱的中点，，‎ ‎，求二面角的余弦值．‎ ‎20．（满分12分）‎ 已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．‎ ‎21．（满分12分） 设函数．‎ ‎（1）求证：当时，；‎ ‎（2）求证：对任意给定的正数，总存在，使得当时，恒有．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得曲线．‎ ‎（1）写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线两个交点分别为，，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数，为不等式的解集.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，，求证：.‎ ‎答案 一、选择题BCAAD BCBCDDA ‎ 二、填空题13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)由已知及正弦定理得：，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎(2) ‎ 又 所以，． ‎ ‎18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据，得到 所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。‎ ‎（2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，‎ 由题意知，从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎， ‎ ‎.‎ ‎19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.‎ ‎∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，‎ ‎∴CD⊥平面PBC， ‎ ‎∴CD⊥PB. ‎ ‎∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD. ‎ ‎∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD. ‎ ‎（2）设BC中点为,连接，‎ ‎，又面面，且面面，‎ 所以面。 ‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，设，‎ 可得 ‎ 所以由题得，解得. ‎ 所以 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 可取. ‎ 则， ‎ 所以二面角的余弦值为. ‎ ‎20.解：（1）设，则，‎ ‎，， ‎ ‎，，即轨迹的方程为. ‎ ‎（II）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，‎ 由，消去可得：，‎ 设，，，‎ ‎，，‎ 即，‎ ‎，即 ‎，，即， ‎ ‎，‎ 到直线的距离，‎ ‎，解得，‎ 直线的方程为或． ‎ ‎ 法2：（Ⅱ）设,AB的中点为 则 直线的方程为，‎ 过点A,B分别作，因为为AB 的中点，‎ 所以在中，‎ 故是直角梯形的中位线，可得，从而 点到直线的距离为：‎ 因为E点在直线上，所以有，从而 ‎ 由解得 所以直线的方程为或． ‎ ‎21. 解析：(1)当时，等价于，‎ 构造函数,.则， ‎ 记，，‎ 当时，，在上单调递增；‎ 当时，，在上单调递减.‎ 于是，，即当时，，为上的增函数，所以，，即.‎ 于是，当时，. ‎ ‎(2)由(1)可知，当时，.于是，. ‎ 所以，.解不等式，可得，‎ 取.则对任意给定的正数，，当时，有，‎ 即.‎ ‎22解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为 ‎，‎ 整理得，曲线的参数方程（为参数）．‎ ‎（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数）， ‎ ‎ 将参数方程带入得 ‎ 整理得.‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎23.解:（1）‎ 当时，，由解得，；‎ 当时，，恒成立，；‎ 当时，由解得，‎ 综上，的解集 ‎（2）‎ 由得 ‎.‎