全国高考数学卷文科卷试题及答案解析

全国高考数学卷文科卷试题及答案解析

‎2014年全国高考数学卷文科卷1‎ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 一、选择题（题型注释）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎3．设，则 A. B. C. D. 2‎ ‎4．已知双曲线的离心率为2，则 A. 2 B. C. D. 1‎ ‎5．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是 A.是偶函数 B. 是奇函数 ‎ C. 是奇函数 D. 是奇函数 ‎6．设分别为的三边的中点，则 A. B. C. D. ‎ ‎7．在函数①，② ，③,④中，最小正周期为的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③‎ ‎8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）‎ A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 ‎9．执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10．已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 4 D. 8‎ ‎11．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题（题型注释）‎ ‎12．设，满足约束条件且的最小值为7，则 ‎（A）-5 （B）3 （C）-5或3 （D）5或-3‎ ‎13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.‎ ‎14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，‎ ‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；‎ ‎ 乙说：我没去过城市；‎ ‎ 丙说：我们三人去过同一城市；‎ ‎ 由此可判断乙去过的城市为________.‎ ‎15．设函数则使得成立的的取值范围是________.‎ ‎16．如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得 点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________.‎ 三、解答题（题型注释）‎ ‎17．已知是递增的等差数列，，是方程的根。‎ ‎（I）求的通项公式；‎ ‎（II）求数列的前项和.‎ ‎18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：‎ 质量指标值分组 ‎[75，85)‎ ‎[85，95)‎ ‎[95，105)‎ ‎[105，115)‎ ‎[115，125)‎ 频数 ‎6‎ ‎26‎ ‎38‎ ‎22‎ ‎8‎ ‎（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：‎ ‎（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？‎ ‎19．如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若,求三棱柱的高.‎ ‎20．已知点，圆:，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为，为坐标原点.‎ ‎(1)求的轨迹方程；‎ ‎(2)当时，求的方程及的面积 ‎21．设函数，曲线处的切线斜率为0‎ 求b;若存在使得，求a的取值范围。‎ ‎22．如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.‎ ‎23．已知曲线，直线（为参数）‎ 写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ 过曲线上任意一点作与夹角为30°的直线，交于点，求 的最大值与最小值.‎ ‎24．若且 ‎（I）求的最小值；‎ ‎（II）是否存在，使得？并说明理由.‎ 参考答案 ‎1．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据集合的运算法则可得：，即选B．‎ 考点：集合的运算 ‎2．C ‎【解析】‎ 试题分析：由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.‎ 考点：同角三角函数的关系 ‎3．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据复数运算法则可得：，由模的运算可得：.‎ 考点：复数的运算 ‎4．D ‎【解析】‎ 试题分析：由离心率可得:，解得：．‎ 考点：复数的运算 ‎5．C ‎【解析】‎ 试题分析：由函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，可得：和均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函数的规律可知选C．‎ 考点：函数的奇偶性 ‎6．A ‎【解析】‎ 试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，，同理，则．‎ 考点：向量的运算 ‎7．A ‎【解析】‎ 试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与相同，;②中函数的周期是函数周期的一半，即; ③; ④，则选A．‎ 考点：三角函数的图象和性质 ‎8．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示．‎ 考点：三视图的考查 ‎9．D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意由成立，则循环，即;又由成立，则循环，即;又由成立，则循环，即;又由不成立，则出循环，输出．‎ 考点：算法的循环结构 ‎10．A ‎【解析】‎ 试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方程为：，则有：，即有，可解得．‎ 考点：抛物线的方程和定义 ‎11．C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题中函数特征，当时，函数显然有两个零点且一正一负; 当时，求导可得：‎ ‎，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递增; 时函数单调递减，显然存在负零点; 当时，求导可得：，利用导数的正负与函数单调性的关系可得：和时函数单调递减; 时函数单调递增，欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：，即得：，可解得：，则．‎ 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用 ‎12．B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：，又由题中可知，当时，z有最小值：，则，解得：;当时，z无最小值．故选B 考点：线性规划的应用 ‎13．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：．‎ 考点：古典概率的计算 ‎14．A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下：‎ A城市 B城市 C城市 甲 去过 没去 去过 乙 去过 没去 没去 丙 去过 可能 可能 可以得出结论乙去过的城市为：A．‎ 考点：命题的逻辑分析 ‎15．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当时，由，可解得：，则此时：;当时，由，可解得：，则此时：，综合上述两种情况可得：‎ 考点：1.分段函数;2.解不等式 ‎16．150‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，在中，已知，易得：;在中，已知，易得：，由正弦定理可解得：，即：;在中，已知，易得：.‎ 考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用 ‎17．（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程，可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3，即可得出等差数列中的，运用等差数列的定义求出公差为d，则，故，从而.即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中已求出通项，易求出：，写出它的前n项的形式：，观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用错位相减的方法进行数列求和，即两边同乘，即：，将两式相减可得：，所以.‎ 试题解析：（1）方程的两根为2,3，由题意得 ‎.‎ 设数列的公差为d，则，故，从而.‎ 所以的通项公式为.‎ ‎（2）设的前n项和为，由（1）知，则 ‎，‎ ‎.‎ 两式相减得 所以.‎ 考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和 ‎18．（1）‎ ‎（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104‎ ‎（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 ‎95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为;（3）根据题意可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）质量指标值的样本平均数为 ‎.‎ 质量指标值的样本方差为 ‎.‎ 所以这种产品质量指标值 ‎（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 ‎，‎ 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.‎ 考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算 ‎19．（1）详见解析;（2）三棱柱的高为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结，则O为与的交点，又因为侧面为菱形，对角线相互垂直;又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得：平面ABO，结合线面垂直的性质：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H，则由线面垂直的判定定理可得平面ABC，再根据三角形面积相等：，可求出的长度，最后由三棱柱 的高为此距离的两倍即可确定出高．‎ 试题解析：（1）连结，则O为与的交点. ‎ 因为侧面为菱形，所以.‎ 又平面，所以，‎ 故平面ABO.‎ 由于平面ABO，故.‎ ‎（2）作，垂足为D，连结AD，作，垂足为H.‎ 由于，，故平面AOD，所以，‎ 又，所以平面ABC.‎ 因为，所以为等边三角形，又，可得.‎ 由于，所以,‎ 由，且，得，‎ 又O为的中点，所以点到平面ABC的距离为.‎ 故三棱柱的高为.‎ 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用 ‎20．（1）;（2）的方程为; 的面积为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，根据求曲线方程的方法可设，由向量的知识和几何关系：，运用向量数量积运算可得方程：;（2）由第（1）中所求可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，加之题中条件，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而，不难得出的方程为;结合面积公式可求又的面积为.‎ 试题解析：（1）圆C的方程可化为，所以圆心为，半径为4，‎ 设，则，，‎ 由题设知，故，即.‎ 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是.‎ ‎（2）由（1）可知M的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.‎ 由于，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而.‎ 因为ON的斜率为3，所以的斜率为，故的方程为.‎ 又，O到的距离为，，所以 的面积为.‎ 考点：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系 ‎21．（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对函数进行求导可得：，利用上述关系不难求得，即可得;（2）由第（1）小题中所求b，则函数完全确定下来，则它的导数可求出并化简得：根据题意可得要对与的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，即，所以.（ⅱ）若，则，故当时，；当时，，在单调递减，在单调递增.所以，存在，使得的充要条件为，无解则不合题意.（ⅲ）若，则.综上，a的取值范围是.‎ 试题解析：（1），‎ 由题设知，解得.‎ ‎（2）的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（ⅰ）若，则，故当时，，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为，即，‎ 所以.‎ ‎（ⅱ）若，则，故当时，；‎ 当时，，在单调递减，在单调递增.‎ 所以，存在，使得的充要条件为，‎ 而，所以不合题意.‎ ‎（ⅲ）若，则.‎ 综上，a的取值范围是.‎ 考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用 ‎22．（1）详见解析;（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意可知A，B，C，D四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：，由已知得，故;（2）不妨设出BC的中点为N，连结MN，则由，由等腰三角形三线合一可得：，故O在直线MN上，又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故 ‎，即，所以，故，又，故，由（1）知，，所以为等边三角形.‎ 试题解析：（1）由题设知A，B，C，D四点共圆，所以，‎ 由已知得，故.‎ ‎（2）设BC的中点为N，连结MN，则由知，‎ 故O在直线MN上.‎ 又AD不是圆O的直径，M为AD的中点，故，‎ 即.‎ 所以，故，‎ 又，故.‎ 由（1）知，，所以为等边三角形.‎ 考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质 ‎23．（1）曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.‎ ‎（2）最大值为;最小值为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意易得：曲线C的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为;（2）由第（1）中设曲线C上任意一点，利用点到直线的距离公式可求得：距离为，则，其中为锐角，且，当时，取得最大值，最大值为.当时，取得最小值，最小值为.‎ 试题解析：（1）曲线C的参数方程为，（为参数），‎ 直线的普通方程为.‎ ‎（2）曲线C上任意一点到的距离为 ‎.‎ 则，其中为锐角，且，‎ 当时，取得最大值，最大值为.‎ 当时，取得最小值，最小值为.‎ 考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性 ‎24．（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意由基本不等式可得：‎ ‎，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.‎ 试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.‎ 故，且当时等号成立.‎ 所以的最小值为.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 由于，从而不存在a，b，使得.‎ 考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理