数学理卷·2018届山西省应县第一中学校高二上学期期中考试（2016-11）

数学理卷·2018届山西省应县第一中学校高二上学期期中考试（2016-11）

应 县 一 中 高 二 年 级 期 中 考 试 ‎ 数 学 试 题（理） 2016.10‎ 时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨绪立 一．选择题.‎ ‎1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)‎ A．圆柱 B．圆锥 C．四面体 D．三棱柱 ‎2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)‎ A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5‎ ‎3．过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是(　　)‎ A．x＝2 B．y＝1‎ C． x＝1 D．y＝2‎ ‎4．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是(　　)‎ A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 ‎5．已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝(　　)‎ A．－7或－1 B．－7‎ C．7或1 D．－1‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.π B.2π ‎ C. D. ‎7.过点P(－，－1)的直线l与圆 x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8．点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点A′(λ，7，－6)，则(　　)‎ A．λ＝－2，μ＝－1，v＝－5‎ B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5‎ C．λ＝2，μ＝10，v＝8‎ D．λ＝2，μ＝10，v＝7‎ ‎9.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A. B. C．4π D．2π ‎10．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)‎ A． B． C．∪ D．∪ ‎11.设曲线C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9，直线l的方程为 x－3y＋2＝0，则曲线上的点到直线l的距离为的点的个数为(　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎12．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ 二．填空题.‎ ‎13．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是________．‎ ‎14．直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长等于________．‎ ‎15．已知直线x－y＋2＝0及直线x－y－10＝0截圆C所得的弦长均为8，则圆C的面积是________．‎ ‎16．若直线l：＋＝1(a>0，b>0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．‎ 三．解答题。‎ ‎17.求满足下列条件的直线方程:‎ ‎(1)倾斜角为直线y=-(x-1)的倾斜角的一半,且在y轴上的截距为-10.‎ ‎(2)在x轴上的截距为4,而且与直线y=x-3垂直.‎ ‎18．已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．‎ ‎(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．‎ ‎(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．‎ ‎19.如图，已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.‎ ‎(1)求证：AB∥平面PCD；‎ ‎(2)求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎(3)若M是PC的中点，求三棱锥MACD的体积．‎ ‎20.已知圆经过，并且被直线平分圆的面积.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点，求实数的取值范围.‎ ‎21.如图，已知四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，∠BAD＝120°，PA＝b.‎ ‎(1)求证：平面PBD⊥平面PAC；‎ ‎(2)设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为2，求的值．‎ ‎22. 已知矩形ABCD的对角线交于点P(2，0)，边AB所在直线的方程为 x－3y－6＝0，点(－1，1)在边AD所在的直线上.‎ ‎(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；‎ ‎(2)已知直线l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.‎ 高二期中考试理数答案2016.10‎ ‎1A 2C 3A 4C 5B 6D 7D 8D 9A 10B 11B 12B ‎13．4π 14. 4 15. 25π 16. 3＋2.‎ ‎17．(1)直线y=-(x-1)的斜率为-,tanα=-得倾斜角α=120°,故所求直线的斜率k=tan60°=,直线方程为y=x-10.‎ ‎(2)在x轴上的截距为4,故直线过点(4, 0),与直线y=x-3垂直,故斜率为-2,由直线的点斜式得y=-2(x-4).即：y=-2x+8‎ ‎18．解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，‎ 由得 ‎∴直线l恒过定点(－2,3)．‎ ‎(2)设直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．‎ 又直线PA的斜率kPA＝＝，‎ ‎∴直线l的斜率kl＝－5.‎ 故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.‎ ‎19．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，‎ ‎∴AB∥平面PDC.‎ ‎(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，‎ ‎∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，‎ 在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝，‎ 在Rt△ACE中，AC＝＝，‎ ‎∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.‎ 又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA，‎ 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(3)∵M是PC的中点，‎ ‎∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．‎ ‎∴VMACD＝S△ACD×＝××＝.‎ ‎20.解：（1）线段的中点，，‎ 故线段中垂线的方程为，即.‎ 由圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.‎ 又直线平分圆的面积，所以直线经过圆心，‎ 由解得即圆心的坐标为，‎ 而圆的半径，‎ 故圆的方程为.‎ ‎（2）由直线的斜率为，故可设其方程为，‎ 由消去得.‎ 由已知直线与圆有两个不同的公共点，‎ 故，即，解得或.‎ ‎21．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.‎ 又底面ABCD为菱形，‎ 所以AC⊥BD，因为PA∩AC＝A，‎ 所以BD⊥平面PAC，从而平面PBD⊥平面PAC.‎ ‎(2)如图，过O作OH⊥PM交PM于H，连接HD.由DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM，所以∠OHD为二面角OPMD的平面角．‎ 又OD＝a，OM＝，AM＝，且＝，‎ 从而OH＝·＝，‎ tan∠OHD＝＝＝2，‎ 所以9a2＝16b2，即a∶b＝4∶3.‎ 故的值为.‎ ‎22.(1)解　∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，‎ 点(－1，1)在边AD所在的直线上，∴AD所在直线的方程是y－1＝－3(x＋1)，‎ 即3x＋y＋2＝0.由得A(0，－2).‎ ‎∴|AP|＝＝2，∴矩形ABCD的外接圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.‎ ‎(2)证明　直线l的方程可化为k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，‎ l可看作是过直线－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交点(3，2)的直线系，‎ 即l恒过定点Q(3，2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q在圆P内，‎ 所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，‎ 则|MN|＝2(d为P到l的距离)，‎ 设PQ与l的夹角为θ，则d＝|PQ|·sin θ＝sin θ，‎ 当θ＝90°时，d最大，|MN|最短.‎ 此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即－，‎ 故l的方程为y－2＝－(x－3)，x＋2y－7＝0.‎