福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期月考数学试题

福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期月考数学试题

高一数学试卷 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在 答题卷上） 1.已知 ，则角 的终边所在的象限是（ 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】 化 ，可知角 的终边所在的象限. 【详解】 , 将 逆时针旋转 即可得到 ， 角 的终边在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查了象限角的概念，属于容易题. 2.将－300o 化为弧度为（ ） A. － B. － C. － D. － 【答案】B 【解析】 【分析】 根据角度与弧度转化公式 ，即可求解. 【详解】 , , 故选：B 【点睛】本题主要考查了角度制与弧度的互化公式，属于容易题. 3. 的值是（ ） A. B. C. D. 9 8 α π= α 9 8 8 α π π π= = + α  9 8 8 α π π π= = + ∴ π 8 π α ∴ α 4 3 π 5 3 π 7 6 π 11 6 π 180π = ° 180π = ° 5300 300 180 3 π π∴− ° = − × = − 7πsin 3 3 2 − 1 2 1 2 − 3 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ，利用诱导公式化简求值即可. 【详解】 , , 故选：D 【点睛】本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值，属于中档题. 4.若函数 （ ）的最小正周期为 ,则 （ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的周期公式可解得. 【详解】根据周期公式 以及 得 , 故选 . 【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式,属于基础题. 5.点 是角 终边上一点，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】 点 是角 终边上一点, , 7πsin sin(2 )3 3 ππ= +  7πsin sin(2 )3 3 ππ= + ∴ 7π 3sin sin3 3 2 π= = ( ) sin 6f x x πω = +   0>ω 5 π ω = 2 | |T π ω= 0>ω 2 10 5 πω π= = B ( )1,2P − α sinα 2 5 5 2 5 5 − 2 5 − 1 5  ( )1,2P − α 2 2| | ( 1) 2 5r OP∴ = = − + = , 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，属于容易题. 6.已知 ，则 的值为 (　 　)． A. B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ：用已知角 ，去表示未知角为 ，再利用诱导公式化简即可． 【 详 解 】 ： 因 为 ， 所 以 ，故选 B 【点睛】：用已知角去表示未知角是求三角值常见的一种处理技巧，利用角之间的和差、以 及特殊角的关系进行配凑从而简化计算，三角诱导公式的口诀为：奇变偶不变，符号看象 限． 7.用“五点法”作 的图像时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据五点作图法，确定首先描出的五个点的横坐标. 【详解】由五点作图法可知，首先描出 五个点的横坐标为： ， ， ， ， .的 2 2 5sin 55 α∴ = = π 3sin( )4 2 α+ = 3πsin( )4 α− 3 2 − 3 2 1 2 1 2 π 4 α+ 3π ππ4 4 α α − = − +   3π ππ4 4 α α − = − +   3π π π 3sin π sin4 4 4 2sinα α α      − = − + = + =             2siny x= 30, , , ,22 2 π π π π 30, , , ,4 2 4 π π π π 0, ,2 ,3 ,4π π π π 20, , , ,6 3 2 3 π π π π 0x = 2 π π 3 2 π 2π 故选 A. 【点睛】本小题主要考查五点作图法横坐标的选取，属于基础题. 8.若扇形的面积为 、半径为 1，则扇形的圆心角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设扇形的圆心角为 α，则∵扇形的面积为 ，半径为 1， ∴ 故选 B 9.要得到函数 的图象，只需要将函数 的图象（ ） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】B 【解析】 因为函数 ，要得到函数 的图象，只需要 将函数 的图象向右平移 个单位． 本题选择 B 选项 点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，进行周期变换时，需要将 x 的系数 变为原来的 ω 倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同． . 3 8 π 3 2 π 3 4 π 3 8 π 3 16 π 3π 8 23 1 3 8 2 4l π πα α= ∴ = 4y sin x= −（ 3 π ） 4y sin x= 12 π 12 π 3 π 3 π sin 4 sin[4( )]3 12y x x π π = − = −   4 3y sin x π = −   4y sin x= 12 π 10.使 取最小值的 的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用三角函数 的取值范围，求得当 取何值时，函数取得最小值. 【详解】由于 ，所以当 时，函数 取得最小值为 . 故使 取最小值的 的集合是 . 故选 A. 【点睛】本小题主要考查含有余弦型函数何时取得最小值，考查三角函数的性质，属于基础 题. 11.已知 则以下不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数 图象的单调性与对称性，以及 1,2,3 与对称轴 的距离，即可判断函 数值的大小. 【详解】 ， 在 上是增函数，在 上是减函数； 且 的图象关于 对称， 3 cos 2 xy = − x { | 4 , }x x k kπ= ∈Z { | 2 , }x x k kπ= ∈Z { | , }x x k kπ= ∈Z 3| ,2x x k kπ = ∈  Z cos 2 x x 1 cos 12 x− ≤ ≤ 2 π, 4 π2 x k x k= = 3 cos 2 xy = − 2 3 cos 2 xy = − x { | 4 , }x x k kπ= ∈Z ( ) sinf x x= ( ) ( ) ( )1 3 2f f f< < (3) (2) (1)f f f< < (1) (2) (3)f f f< < (3) (1) (2)f f f< < ( ) sinf x x= 2x π= 0 1 2 32 π π< < < < < ( ) sinf x x= 0, 2 π     ,2 π π     ( )f x 2x π= 又 ， . 故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，解题时单调性与对称性的应用是关键，属 于中档题. 12.同时具有性质“①最小正周期是 ；②图象关于直线 对称；③在 上是增 函数”的一个函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为函数的周期为 ，因此 =2，排除 A，然后根据图像关于 x= 对称， 排除选项 D， 单调递减，舍 去 B,选 C 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案写在答题卷上） 13.终边在 轴上的角的集合是_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】由于终边在 y 轴的非负半轴上的角的集合为 而终边在 y 轴的非正半轴上的角的集合为 ， 终边在 轴上的角的集合是 ， 3 1 22 2 2 π π π− > − > − (3) (1) (2)f f f∴ < < π 3x π= ,6 3 π π −   sin 2 6 xy π = +   cos 2 3y x π = +   sin 2 6y x π = −   cos 2 6y x π = −   π ω 3 π 2cos( ) 03 6 π π− = [ , ],2 [0, ] cos(2 )6 3 3 3x x y x π π π ππ∈ − + ∈ ∴ = + y { | , }2k k Z πα α π= + ∈ { | 2 , }2n k Z πα α π= + ∈ ( ){ | 2 1 , }2n k Z πα α π= + + ∈ y { | , }2k k Z πα α π= + ∈ 所以，故答案为 . 14. _______ 【答案】 【解析】 【分析】 根据终边相同的角知 ，利用诱导公式即可求解. 【详解】 ， ， . 故答案为： 【点睛】本题主要考查了终边相同的角，诱导公式，特殊角的三角函数值，属于容易题. 15.将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再把图像上 的所有点向左平移 个单位，最后所得图像的函数解析式为________ 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用三角函数的图像的变换解答得解. 【详解】将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 ，再把图像上的所有点向左平移 个单位，最后所得图像的函数解析式为 . 故答案为 【点睛】本题主要考查三角函数图像变换，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基 础题. { | , }2k k Z πα α π= + ∈ sin 420 cos750⋅ =  3 4 420 360 60 ,750 720 30°° = °+ ° ° = + °  420 360 60 ,750 720 30°° = °+ ° ° = + ° ∴ 3 3sin 60 ,cos750 cos302 2sin 420 = ° = ° = ° = ∴ 3 3 3sin 420 cos750 2 2 4 ⋅ = × =  3 4 siny x= 3 π 1sin( )2 6y x π= + siny x= 1sin 2y x= 3 π 1 1sin + =sin( )2 3 2 6y x x π π= +（ ） 1sin( )2 6y x π= + 16.函数 的部分图像如图所示，则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】 观察可知，A=2， ，可得周期 T ，由 计算出 的值， 再由 和 可得 的值，进而求出 ． 【详解】由题得 A=2， ，得 ，则 ，由 可得 ， ，因为 ，故 ，那么 ． 【点睛】本题考查正弦函数的图像性质，属于基础题． 三、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题卷上） 17.已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是 10cm，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据弧长公式 计算即可（2）弓形的面积等于所在扇形的面积与三角形面积的差， 计算即可求解. 【详解】因为圆心角 ，圆的半径是 10cm， ( ) sin( )( 0, 0, )2f x A x A πω ϕ ω ϕ= + > > < ( )f x = 2sin 2 3x π +   3 5 4 6 12T π π= − 2 T πω = ω 26 2k π πϕ π+ = + 2 πϕ < ϕ ( )f x 3 5 3 4 6 12 4T π π π= − = T π= 2 2T πω = = ( ) 212f π = 26 2k π πϕ π+ = + 2 3k πϕ π= + 2 πϕ < 3 πϕ = ( ) 2sin(2 )3f x x π= + 120° 20 3 π 100 25 33 π − l rα= 2 3 πα = 所以 ， 即扇形的弧长为 . （2）该弧所在的弓形的面积 即弓形的面积为 【点睛】本题主要考查了弧长公式，扇形、三角形面积公式，属于容易题. 18.（1）求值： ； （2）化简： . 【答案】（1） ；（2）1. 【解析】 试题分析：（1）由题意，根据三角函数诱导公式，将式子中的大角度、负角度都化为锐角， 再根据同角的三角函数商关系，进行化简，从而问题可得解；（2）根据题意，可同（1）的 方法进行整理化简，从而问题可得解. 试题解析：(1)原式 . （2）原式 19.求函数 的定义域、周期、单调区间. 【答案】 ， ， 【解析】 【分析】 由已知得 ，从而可根据正切函数的图象和性质求出其定义域、周 期和单调区间. 2 2010 ( )3 3l r cm π πα= = × = 20 3 cm π -S S S= 扇形 三角形 2 2 21 1 1 20 1 100= sin 10 10 sin120 25 3( )2 2 2 3 2 3lr r cm π πα °− = × × − × × = − 100 25 33 π − 2cm 0 0 0 0 0 tan150 cos210 sin( 60 ) sin( 30 )cos120 − − sin( )cos( ) tan(2 ) cos(2 )sin( ) tan( ) α π α π α π α π α α − + + + + − - 3 = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 tan30 cos30 sin 60 tan60 3 sin30 cos60 − − − = − = − − − = ( ) ( )( ) sin cos tan sin cos tan 1cos sin tan cos sin tan α α α α α α α α α α α α − − = =− − 3 2 )4( ) 2tan( xf x π −= 5 ,8 2 kx x k Z π π ≠ + ∈    2 π 5 ,8 2 8 2 k kx x k Z π π π π + < < + ∈    32 )4( ) 2tan( xf x π−= − 【详解】 , 令 ，解得 ， ， 所以定义域为 . 周期 . 由 ，解得 ， 所以函数的单调递减区间为： . 【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质，属于容易题. 20.已知 . （1）求 值； （2）求 的值. 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】 （1）分子分母同除以 ，即可求出 ，从而求出 （2）分母看作 1, ，分子分母同除以 可得含 的式子，代入求值即可. 【详解】（1） ， ， . （2） ， 又 ， . 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系，弦化切思想，属于中档题. 的 3 32 ) 2 )4 4( ) 2tan( 2tan(x xf x π π− −= = − 32 ,4 2x k k Z π ππ− ≠ + ∈ 5 2 8 kx π π≠ + k Z∈ 5 ,8 2 kx x k Z π π ≠ + ∈    2 π πT ω = = 32 ,2 4 2k x k k Z π π ππ π− < − < + ∈ 5 ,2 8 2 8 k kx k Z π π π π+ < < + ∈ 5,8 2 8 2 k k k Z π π π π + + ∈   sin 4cos 22sin cos α α α α − =+ ( )tan α− 23sin cos cosα α α+ 1− cosα tanα ( )tan α− 2 21 sin cosα α= + 2cos α tanα sin 4cos tan 4 22sin cos 2tan 1 α α α α α α − −= =+ + tan 2α∴ = − tan( ) tan 2α α∴ − = − = 2 2 2 2 2 3sin cos cos 3tan 13sin cos cos sin cos tan 1 α α α αα α α α α α + ++ = =+ + tan 2α =- ∴ 23sin cos cos 1α α α+ = − 21.已知函数 （ ）的最小正周期为 ，且其图象关于直线 对称. （1）求 和 的值； （2）若 ， 为锐角，求 的值. 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由函数图象上相邻两个最高点的距离为 ，利用正弦函数的图象和性质即可得解最小正 周期，利用周期公式求 ，根据对称轴可求 （2）由（1）可得 的解析式，根据同角三 角函数的关系及诱导公式即可求值. 【详解】（1） ， ， ， ， 又 ， ， （2） ， 锐角， ， . 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属 于中档题. 是 ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0,0ω ϕ π> < < π 6x π= ω ϕ 3( )2 12 5f α π− = α cos( 3 )α π− 2ω = 6 π=ϕ 4 5 − π ω ϕ ( )f x 2 T π πω = = 2ω∴ = 2 6 2 k π πϕ π× + = + ,6 k k Z πϕ π∴ = + ∈ 0 ϕ π< < 6 πϕ∴ = ( ) sin 2 6f x x π = +   3sin2 12 5f α π α ∴ − = =   α 4cos 5 α∴ = ( ) 4cos 3 cos 5 α π α∴ − = − = − 22.已知函数 （1）求函数 的最小周期、振幅、初相、频率并画出函数 在区间[0，π]上的图 象． （2）说明此函数图象可由 上 图象经怎样的变换得到. 【答案】（1） ，图象见详解（2）详见解析 【解析】 【分析】 （1）根据正弦型函数的图象与性质即可写出最小周期、振幅、初相、频率，利用描点法画出 图象（2）根据图象的变换可先平移后伸缩即可得到函数图象. 【详解】（1）因为 ， 所以振幅为 ,初相 ，周期 ,频率 ， 列表： 的 2 6( ) 2sin( ) ,f x x x Rπ= + ∈ ( )f x ( )y f x= sin [0,2 ]y x π= 在 1, 2, ,6T A f ππ ϕ π= = = = 2 6( ) 2sin( ) ,f x x x Rπ= + ∈ 2A = 6 π=ϕ 2 2T π π= = 1 1f T π= = 2 0 0 1 作图： （2）把 的图象向左平移 个单位，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍， 横坐标变为原来的 倍，即得到函数 的图象. 【点睛】本题主要考查了 中参数的物理意义，五点法作函数 的图象，函数 的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题. x 0 6 π 5 12 π 2 3 π 11 12 π π 2 6x π+ 6 π 2 π π 3 2 π 2π 13 6 π ( )f x 1 2− siny x= 6 π 1 2 2 6( ) 2sin( )f x x π= + sin( )y A xω ϕ= + sin( )y A xω ϕ= + sin( )y A xω ϕ= +