人民教育出版版高考数学选修4113相似三角形的判定及性质随堂练习

人民教育出版版高考数学选修4113相似三角形的判定及性质随堂练习

第 3 课时 相似三角形的判定及性质 习题 1.3 (第 19 页) 1．证明 如图，连接 BE、CD. ∵∠ABE 和∠ACD 是同弧上的圆周角， ∴∠ABE＝∠ACD. 又∵∠A＝∠A，∴△ABE∽△ACD. ∴AD AC ＝AE AB . 2．证明 如图所示，(1)在△ABE 和△ACD 中，∵∠BAE＝∠CAD， ∠ABE＝∠ACD， ∴△ABE∽△ACD. ∴AB AC ＝BE CD . ∴AB·CD＝AC·BE. (2)在△ABC 和△AED 中， ∵∠BAC＝∠BAE＋∠EAC(或∠BAC＝∠BAE－∠EAC)， ∠EAD＝∠CAD＋∠EAC(或∠EAD＝∠CAD－∠EAC)， 又∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD. 又∵∠BCA＝∠EDA，∴△ABC∽△AED. ∴AC AD ＝BC ED . ∴AC·ED＝AD·BC. 3．解 如图所示，设 A′C′＝x. 要使△ABC∽△A′B′C′只须 a a′ ＝b x 即可． ∵∠A＝∠A′，∴当 x＝a′b a 时，△ABC∽△A′B′C′. 4．作法 (1)作线段 B′C′，使 B′C′＝3 2 BC； (2)以 B′为顶点，B′C′为始边，作∠D′B′C′＝∠B； (3)在 B′D′上截取线段 B′A′，使 B′A′＝3 2 AB； (4)连接 A′C′，则△A′B′C′为所作三角形． 5．证明 ∵EF∥AD∥BC，∴GE GB ＝EF BC ，HE HA ＝EF AD . ∵AD＝BC，∴GE GB ＝HE HA .∴AE HE ＝BE GE . 又∵∠AEB＝∠HEG，∴△AEB∽△HEG. ∴∠ABE＝∠HGE.∴GH∥AB. 6．证明 ∵DE∥AB， ∴DE AB ＝OD OA ＝OE OB .① 又∵EF∥BC，∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC .② ∴DE AB ＝EF BC .由①、②知OD OA ＝OF OC ， 而∠FOD＝∠COA，∴△FOD∽△COA.∴DF AC ＝OD OA . ∴在△ABC 和△DEF 中，有DE AB ＝EF BC ＝DF AC . ∴△ABC∽△DEF. 7．证明 在△ACD 和△BCE 中， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°，∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD∽△BCE. ∴AD BE ＝AC BC ，即 AD·BC＝BE·AC. 8．解 方案 1：(1)在地面适当位置选取一点 C，连接 BC，测量出 BC 的距离； (2)在点 C 竖立一根垂直于地面的标尺杆； (3)在 BC 的延长线上取一点 D，使点 D、标尺杆的顶点 E 和树尖在一条直线上； (4)测量 CD 的距离． 在这个方案中，由于△DCE∽△DBA，而 BC、CD、CE 的长可以由测量而得，所以可以求 出树高 AB 的长．(没有考虑测量仪的脚架高) 方案 2：(1)在地面上选取一点 C，连接 BC； (2)测出∠BCA； (3)在地面上选取一点 D，使∠DCB＝∠BCA； (4)过 D 作 BC 的垂线，交 BC 于 E； (5)测量 DE、CE、BC 的长，由这三个量可以求得 AB 的长． 因为按方案 2 的实施，易知 Rt△ABC∽Rt△DEC.(没有考虑测量仪的脚架高) 方案 3：(1)把一面镜子放在离树 a 米的点 E； (2)一个人望着镜子后退到点 D，这时恰好在镜子里望到树梢点 A； (3)量得 ED 为 b 米，人的眼睛距地面的高度为 c 米，即可求 AB 的长． 因为根据光学中的反射定律，知∠AEB＝∠CED， 所以△ABE∽△CDE. 9．证明 如图所示，设△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k. (1)设 AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，A′D′是△A′B′C′中 B′C′边上的中线． ∵△ABC∽△A′B′C′，∴ AB A′B′ ＝ BC B′C′ . 又∵D、D′分别为 BC、B′C′的中点， ∴ AB A′B′ ＝ BC B′C′ ＝ 2BD 2B′D′ ＝ BD B′D′ . 又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ AD A′D′ ＝ AB A′B′ ＝k. 其余两组对应中线之比同理可证． (2)设 AE、A′E′分别是△ABC、△A′B′C′中∠A 和∠A′的内角平分线． ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′，∠B＝∠B′. ∴∠BAE＝∠B′A′E′.∴△ABE∽△A′B′E′. ∴ AE A′E′ ＝ AB A′B′ ＝k. 同理可证，其余两个对应角的内角平分线之比也等于相似比． 10．解 在△AEF 和△CDF 中， ∵∠DCF＝∠EAF， ∠DFC＝∠EFA， ∴△AEF∽△CDF. ∴△AEF 的周长 △CDF 的周长 ＝AE CD ＝1 3 . ∴S△AEF S△CDF ＝k2＝1 9 .而 S△AEF＝6， ∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54 (cm2)． 11．解 问题 1：相似三角形对应角的外角平分线之比等于相似比． 证明：设△ABC∽△A′B′C′.AD、A′D′分别是∠A、∠A′的外角平分线，分别交 BC、 B′C′的延长线于 D、D′. ∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′. 又∵∠BAC＋∠1＋∠2＝∠B′A′C′＋∠3＋∠4， 而∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠3. ∴∠BAD＝B′A′D′. 又∵∠B＝∠B′， ∴△ABD∽△A′B′D′. ∴ AD A′D′ ＝ AB A′B′ ＝k. 问题 2：△ABC∽△A′B′C′，以△ABC 的三条边为直径，分别向△ABC 外作半圆(如图 所示)，同样，以△A′B′C′的三条边为直径，分别向△A′B′C′外作半圆． 则两个三角形中三个对应半圆的面积之比等于相似比的平方． 说明 将三个半圆改为三个等边三角形、正方形、正多边形等，可以得到更多的命题． 问题 3：如图所示，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k， BD CD ＝B′D′ C′D′ .则 AD A′D′ ＝k. 说明 该题是一个开放型问题，可以由联想、类比等方法得到许多新问题．在教学中应 引导、启发和鼓励学生去探究、猜想．