高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-1第1课时

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高中数学(人教A版)必修5能力强化提升及单元测试:2-1第1课时

第二章 数列 ‎2.1 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与通项公式 双基达标 (限时20分钟) ‎1.下列说法中,正确的是 (  ).‎ A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}‎ B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列 C.数列的第k项是1+ D.数列0,2,4,6,8,…,可表示为an=2n(n∈N*)‎ 解析 A错,{1,3,5,7}是集合.B错,是两个不同的数列,顺序不同.C正确,ak==1+.D错,an=2(n-1)(n∈N*).‎ 答案 C ‎2.已知数列,3,,,3,…,,…,则9是这个数列的 (  ).‎ A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 解析 令an==9,解得n=14.‎ 答案 C ‎3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于 (  ).‎ A.11 B.12 C.13 D.14‎ 解析 从第三项起每一项都等于前连续两项的和,即an+an+1=an+2,所以x=5+8=13.‎ 答案 C ‎4.600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的第________项.‎ 解析 an=n(n+1)=600=24×25,n=24. ‎ 答案 24‎ ‎5.已知数列{an}满足a1>0,=(n∈N*),则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”).‎ 解析 由已知a1>0,an+1=an(n∈N*),‎ 得an>0(n∈N*).‎ 又an+1-an=an-an=-an<0,‎ ‎∴{an}是递减数列.‎ 答案 递减 ‎6.观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式:‎ ‎(1),,,(  ),,,…‎ ‎(2),(  ),,,,…‎ ‎(3)2,1,(  ),,…‎ ‎(4),,(  ),,…‎ 解 (1)根据观察:分母的最小公倍数为12,把各项都改写成以12为分母的分数,则 序号 1  2  3  4  5  6‎ ‎ ↓  ↓  ↓  ↓  ↓  ↓‎ 数       ( )   于是括号内填,而分子恰为10减序号.‎ 故括号内填,通项公式为an=.‎ ‎(2)=,=,=,‎ =.‎ 只要按上面形式把原数改写,便可发现各项与序号的对应关系:分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根,分母为序号加1的平方与1的差.‎ 故括号内填,通项公式为an=.‎ ‎(3)因为2=,1=,=,所以数列缺少部分为,数列的通项公式为an=.‎ ‎(4)先将原数列变形为1,2,(  ),4,…,所以应填3,数列的通项公式为an=‎ n+.‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.下列命题:‎ ‎①已知数列{an}中,an=(n∈N*),那么是这个数列的第10项,且最大项为第一项.‎ ‎②数列,,2,,…的一个通项公式是an=.‎ ‎③已知数列{an},an=kn-5,且a8=11,则a17=29.‎ ‎④已知an+1=an+3,则数列{an}是递增数列.‎ 其中正确命题的个数为 (  ).‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解析 对于①,令an==⇒n=10,易知最大项为第一项.①正确.‎ 对于②,数列,,2,,…变为,,,,…⇒,,,,…⇒an=,②正确;‎ 对于③,an=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒an=2n-5⇒a17=29.③正确;‎ 对于④,由an+1-an=3>0,易知④正确.‎ 答案 A ‎8.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:‎ 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 (  ).‎ A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378‎ 解析 由图形可得三角形数构成的数列通项an=(n+1),同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,而所给的选项中只有1 225满足a49==b35=352=1 225.故选C.‎ 答案 C ‎9.数列,,,,…的一个通项公式是________.‎ 解析 数列可写为:,,,,…,‎ 分子满足:3=1+2,4=2+2,5=3+2,6=4+2,…,‎ 分母满足:5=3×1+2,8=3×2+2,11=3×3+2,14=3×4+2,…,‎ 故通项公式为an=.‎ 答案 an= ‎10.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},则此数列的通项公式为an=________.‎ 解析 ∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,‎ ‎∴a1=1,a2=,a3=,…,an=.‎ 答案  ‎11.已知数列.‎ ‎(1)求这个数列的第10项;‎ ‎(2)是不是该数列中的项,为什么?‎ ‎(3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内;‎ ‎(4)在区间内有无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.‎ ‎(1)解 设f(n)===.‎ 令n=10,得第10项a10=f(10)=.‎ ‎(2)解 令=,得9n=300.‎ 此方程无正整数解,所以不是该数列中的项.‎ ‎(3)证明 ∵an===1-,‎ 又n∈N*,∴0<<1,∴0<an<1.‎ ‎∴数列中的各项都在区间(0,1)内.‎ ‎(4)解 令<an=<,‎ ‎∴∴ ‎∴<n<.‎ ‎∴当且仅当n=2时,上式成立,故区间上有数列中的项,且只有一项为a2=.‎ ‎12.(创新拓展)已知{an}的通项公式为an=3n+1,是否存在m,k∈N*,满足am+am+1=ak?如果存在,求出m,k的值;如果不存在,说明理由.‎ 解 由am+am+1=ak,得6m+5=3k+1,‎ 整理后,可得k-2m=,‎ ‎∵m,k∈N*,∴k-2m为整数,‎ ‎∴不存在m,k∈N*使等式成立.‎
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