北京市海淀区一零一中学2020届高三上学期期中考试数学试题

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北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷 一、选择题共8小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ‎1.设集合，若，则的值为（　　）‎ A. ﹣2或﹣1 B. 0或‎1 ‎C. ﹣2或1 D. 0或﹣2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵集合 ，‎ ‎∴ ，‎ 解得a=−2或a=1.‎ 本题选择C选项.‎ ‎2.已知向量，且a∥b,那么‎2a-b= ()‎ A. （4，0） B. （0，4） C. （4，-8） D. （-4，8）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为向量，且a∥b,‎ ‎∴.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.已知，且，那么 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用同角三角函数基本关系求出结果．‎ ‎【详解】因为，>0，故 即，‎ 又， ‎ 解得：‎ 故选 ：B ‎【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎4.在数列中，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用待定系数法可得知数列是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，即可得出的值.‎ ‎【详解】，，，且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，‎ ‎，因此，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎5.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是 A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】x1=x2=0，则，，‎ 令x1=x，x2=-x，‎ 则，‎ 所以，‎ 即，为奇函数，故选C.‎ ‎6.在中，“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.‎ ‎【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，‎ 由，可得，，由正弦定理可得.‎ 因此，“”是“”的充分必要条件.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎7.设、、均为实数，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在坐标系中作出函数，，，的图象，将、、分别视为函数与、、交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.‎ ‎【详解】作函数，，，的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为、、，所以．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎8.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：‎ ‎①在（）有且仅有3个极大值点 ‎②在（）有且仅有2个极小值点 ‎③在（）单调递增 ‎④的取值范围是[)‎ 其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得，结合正弦函数的图像分析得出答案．‎ ‎【详解】当时，，‎ ‎∵f（x）在有且仅有5个零点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，故④正确，‎ 由，知时，‎ 令时取得极大值，①正确；‎ 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；‎ 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，‎ 当时，，‎ 若f（x）在单调递增，‎ 则 ，即 ，‎ ‎∵，故③正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．‎ 二、填空题共6小题 ‎9.已知复数满足，则_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：设，代入，由复数相等的条件列式求得的值得答案．‎ 详解：由，得，‎ 设，‎ 由得，即，解得，‎ 所以，则．‎ 点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．‎ ‎10.已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则的最小值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数的解析式化简为，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出的表达式，即可得出正数的最小值.‎ ‎【详解】，‎ 将其图象向右平移个单位长度后所得的图象的函数解析式为，‎ 由于函数的图象关于原点对称，则，‎ ‎，，‎ 由于，当时，取得最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎11.不等式不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将不等式中的数字变为，得出，然后利用导数证明出当时，即可，即可得出不等式对任意的恒成立.‎ ‎【详解】，，，猜想，对任意的，.‎ 下面利用导数证明出当时，，即证，即证，‎ 构造函数，则，当时，.‎ 所以，函数在区间上单调递减，当时，.‎ 所以，当且时，，所以，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以、、、、、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①、、、、所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格，…，如此对开至规格.现有、、、、纸各一张.若纸的宽度为 ‎，则纸的面积为________；这张纸的面积之和等于________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设的纸张的长度为，则数列成以为公比的等比数列，设的纸张的面积，则数列成以为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列的首项，并利用等比数列的求和公式求出的前项之和.‎ ‎【详解】可设的纸张的长度为，面积为，的宽度为，‎ 的长度为，所以，数列是以为公比的等比数列，‎ 由题意知纸的宽度为，，，‎ 所以，纸的面积为，‎ 又，，‎ 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，‎ 因此，这张纸的面积之和等于.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎13.如图，、、是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点，若，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，可得出，并设，利用三点共线得出，从而可得出的取值范围.‎ ‎【详解】设，可得出，‎ 设，由于、、三点共线，则，‎ 则，则，，.‎ 因此，的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎14.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可.‎ ‎【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.‎ ‎ ‎ 当时，函数与的图象有个交点；‎ 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点 时，函数与的图象有个交点，此时，得.‎ 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.‎ 三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎15.已知等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差，然后求解数列的通项公式． （Ⅱ）化简数列的通项公式，利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，则 解得．‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由（I）可得 所以．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用，考查计算能力．‎ ‎16.在锐角中，角所对应的边分别是，．‎ ‎（Ⅰ）求的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理化简得，解方程即得A的值；（Ⅱ）由余弦定理得到，或．当时，．此时，为钝角三角形，舍去．经检验，满足题意.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，‎ 得．‎ 又，得．‎ 由于，所以．‎ ‎（Ⅱ），，，‎ 在中，由余弦定理，‎ 得，即，‎ 解得，或．‎ 当时，．‎ 此时，为钝角三角形，舍去．‎ 经检验，满足题意.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎17.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;‎ ‎（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，．（2）多个变量恒成立问题，先把x作变量，求出，，转化为关于t的不等式恒成立问题，对系数t分类讨论．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为 函数的定义域为 ‎,‎ 所以的递增区间为 ‎（Ⅱ）因为,‎ 所以当时,‎ 所以恒成立,‎ 即恒成立,‎ ‎①当时,‎ 显然成立;‎ ‎②当时,‎ 若对于恒成立,‎ 只需成立,‎ 所以,‎ 综上,的取值范围是 ‎【点睛】‎ 对于函数化简一定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解．这是学生容易忽略的问题．‎ 对于多个变量的恒成立问题，一般我们先把一个当变量，其余当参量，逐步减少变量个数．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得的取值范围.‎ ‎【详解】(1)对求导得.所以有 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；‎ 当时，区间上单调递增；‎ 当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.‎ ‎(2)‎ 若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为. ‎ 所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.‎ 若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值而，故所以区间上最大值为. ‎ 所以，而，所以.即的取值范围是.‎ 综上得的取值范围是.‎ ‎【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充.‎ ‎19.已知函数，其中．‎ ‎（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（2）记的导函数为．当时，证明：存在极小值点，且．‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析 ‎【解析】‎ 分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得，第二问写出函数的解析式，对其求导，根据，从而将研究的符号转化为研究的符号，对其再求导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结果.‎ 详解：（1）‎ 依题意，有 ，解得.‎ ‎（2）令，‎ 所以．‎ 因为，所以与同号．‎ 设，则 ．‎ 所以对任意，有，故在单调递增．‎ 因，所以，，‎ 故存在，使得．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以若，存在，使得是的极小值点．‎ 令，得到，所以．‎ 点睛：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再结合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，通过研究导数的符号确定函数的单调区间，从而确定函数在哪个点处取得极值，在这里需要注意的是对导函数的转化问题，从而将函数解析式简化.‎ ‎20.若数列满足：对于任意的正整数，，，且，则称该数列为“跳级数列”.‎ ‎（1）若数列为“跳级数列”，且，求、值；‎ ‎（2）若数列为“跳级数列”，则对于任意一个大于的质数，在数列中总有一项是的倍数；‎ ‎（3）若为奇质数，则存在一个“跳级数列”，使得数列中每一项都不是的倍数.‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中定义求出的值，再由以及可求出的值，求出，，结合，以及 可得出的值；‎ ‎（2）根据“跳级数列”的定义得出为正整数，并记，可得出，并记，则存在使得，利用可得知、、、、、除以所得余数互不相同，由此可知、、、、、中必存在一项为的倍数；‎ ‎（3）对于正整数，设非负整数，且满足，根据定义得出，然后取数列满足条件.‎ ‎【详解】（1）由“跳级数列”的定义可得，且以及，，‎ ‎，，‎ 由题意可得，且，因此，；‎ ‎（2）数列为“跳级数列”，，为正整数，‎ 记，‎ 可知，且，记，‎ 对于质数，必存在，使得，反复应用，‎ 得，‎ 另一方面，因为对于满足的任意，均有.‎ 所以对于所有，都有（利用迭加）.‎ 这表明，数列、、、、、是以为公差的等差数列.‎ 假设对于整数对，均有是质数的整数倍，‎ 即必为的整数倍，，且 同时成立，知这与为质数矛盾.‎ 由此可知，、、、、、除以所得余数互不相同.‎ ‎（构造一个的完全剩余系）所以必有一个是的倍数；‎ ‎（3）对于正整数，设为非负整数，且满足，‎ 则，即.‎ 根据定义有，由，且，‎ 令，则，‎ 则显然为“跳级数列”，又为奇质数，于是，不为的倍数，因此也不为的倍数.‎ ‎【点睛】本题考查数列新定义“跳级数列”定义的应用，同时也考查了数的整除与余数等相关知识，解题的关键就是灵活利用“跳级数列”的定义并结合数列等相关知识进行推导，考查推理能力与解决问题的能力，属于难题.‎ ‎ ‎