【数学】2020届一轮复习人教A版第44课直线与圆的位置关系学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第44课直线与圆的位置关系学案（江苏专用）

第44课　直线与圆的位置关系(1)‎ ‎1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.‎ ‎2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.‎ ‎1. 阅读：必修2第112～114页.‎ ‎2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d，试写出直线与圆相交形成的弦AB的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？‎ ‎3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 已知直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝　或－3　.‎ 解析：将圆化为标准方程(x－1)2＋y2＝3，所以圆心(1，0)，半径r＝.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，所以圆心到直线x－y＋m＝0的距离等于半径，即＝，解得m＝或－3.‎ ‎2. 若过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为　2x－y＝0　Ｗ.‎ 解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y＝kx.圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y＝kx过圆心，所以k＝2，直线方程为2x－y＝0.‎ ‎3. 已知直线3x－4y＋a＝0与圆x2－4x＋y2－2y＋1＝0有公共点，则实数a的取值范围是　[－12，8]　.‎ 解析：将圆化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为2.因为直线与圆有公共点，设圆心到直线的距离为d，所以d≤r，即≤2，解得－12≤a≤8.‎ ‎4. 若圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是　　.‎ 解析：原问题可转化为圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4和圆x2＋y2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d＝＝，所以2－1<<2＋1，解得－r，>，即a>2时，直线与圆相离.‎ ‎(3) 当d2，解得k>1或k<－1，所以倾斜角为∪，综上，倾斜角的取值范围为.‎ 考向❷ 直线与圆的交点及弦长问题 例2　已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.‎ ‎(1) 证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；‎ ‎(2) 求直线l被圆C截得的最短弦长.‎ 解析：方法一：‎ ‎(1) 联立方程组 ①‎ 消去y并整理，得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0. ②‎ 因为Δ＝(2－4k)2＋4(k2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根，‎ 即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点，‎ 所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.‎ ‎(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由②式知x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以直线l被圆C截得的弦长 AB＝ ‎＝|x1－x2|‎ ‎＝ ‎ ‎＝ ‎＝2＝2.‎ 令t＝，则tk2－4k－3＋t＝0，当t＝0时，k＝－，此时AB＝2；‎ 当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16＋4t(3－t)≥0，解得－1≤t≤4(t≠0)，‎ 故t的最大值为4，此时AB取得最小值2.‎ 综上，直线l被圆C截得的最短弦长为2.‎ 方法二：(1) 圆心C(1，－1)到已知直线l的距离为d＝，圆C的半径r＝2，‎ r2－d2＝12－＝.‎ 令t＝11k2－4k＋8＝11＋≥>0，‎ 从而r2－d2>0，即d0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离. ‎ ‎2. 用点到直线的距离公式可以写出圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系：若d>r，则直线和圆相离；若d

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