安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

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文档介绍

安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题

‎2018级高二上学期开学考试 数学试卷 考生注意:‎ ‎1.本卷共3页,22小题,满分100分,分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试时间90分钟.‎ ‎2.请在答题卡指定位置上答题,在本试题卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷(选择题,共36分)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.以下五个关系:,,,,,其中正确的个数是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 是集合,是元素,注意集合与集合、元素的关系表示符号.‎ ‎【详解】是相等的集合,具有子集关系,故正确;与是集合与集合的关系,不能使用符号,故错误;与是元素与集合的关系,但是中不包含元素,故错误;表示集合中包含的元素也是集合,且是,而表示集合中包含的是元素是数字,两者之间没有关系,故错误;根据空集是任何非空集合的真子集,故正确.正确的有个.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合的关系判断,难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.‎ ‎2.设集合,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析每个集合中表示元素的范围,然后求交集.‎ ‎【详解】因为,所以;因为,所以;‎ 则.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】注意与中的表示元素不同,表示的取值范围,表示图象上点的坐标.‎ ‎3.在五个数,,,,中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过列举法得到取三个数的总的可能数,然后看其中满足剩余两个数字都是奇数的种数,利用古典概型概率计算公式求解.‎ ‎【详解】以表示可能出现的情况:‎ 共种;满足条件的有:共种,所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查古典概型的概率计算,难度较易.列举的时候注意不要遗漏.‎ ‎4.一组数据中的每一个数据都减去80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别是(  )‎ A. 81.2,4.4 B. 78.8,4.4 C. 81.2,84.4 D. 78.8,75.6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数和方差的公式性质求解,原数据的平均数为1.2加80,方差不变,可得答案.‎ ‎【详解】解:设这组数据为,平均数为,方差为;‎ 则新数据为 它的平均数是 ‎,‎ ‎;‎ 方差为 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考察平均数与方差的计算,关键是要掌握平均数与方差的性质和计算公式.‎ ‎5.设,定点到动直线的距离最大值是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出示意图,给定倾斜角,利用倾斜角表示距离,再计算最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,考虑到过原点直线的对称性,取,所以,此时的直线方程为:,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查点到直线的距离的最值,难度较易.处理点到直线距离最值的问题,可采用图示法也可以采用公式直接计算.‎ ‎6.若函数是偶函数,且在上是增函数,则实数可能是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数得到的表达式,再根据单调性确定的可能取值.‎ ‎【详解】因为函数是偶函数,所以,排除A,C;当时,函数在上是减函数,故排除B,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】已知三角函数的奇偶性,求解函数中参数时,可借助诱导公式的“奇变偶不变”的原则去判断.‎ ‎7.已知等比数列的前项和为,,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的前项和性质可知:成等比数列,再根据计算出结果.‎ ‎【详解】因为成等比数列,‎ 所以 代入数值所以,则.‎ ‎【点睛】(1)形如的式子,可表示为;‎ ‎(2)等比数列中前项和为,则有成等比数列,其中公比或时且不为偶数.‎ ‎8.若,,,则()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数和幂函数的单调性判断数值大小.‎ ‎【详解】因为在上单调递减,所以,则;‎ 又因为在上单调递增,所以,所以;则,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】指对数比较大小常用的方法:(1)利用单调性比较;(2)借助中间值比较(比如中间值‘’).‎ ‎9.在中,为边上的中线,为的中点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.‎ ‎【详解】在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,‎ ‎ ‎ ‎()‎ ‎,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查向量的加减运算和向量中点表示,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎10.已知定义在上的奇函数满足,且在区间上是增函数,则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,得到函数的周期是8,然后利用函数的奇偶性和单调性之间的关系进行判断大小.‎ ‎【详解】因为满足,所以,‎ 所以函数是以8为周期的周期函数,‎ 则.‎ 由是定义在上的奇函数,‎ 且满足,得.‎ 因为在区间上是增函数,是定义在上的奇函数,‎ 所以在区间上是增函数,‎ 所以,即.‎ ‎【点睛】在比较,,,的大小时,首先应该根据函数的奇偶性与周期性将,,,通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调性比较大小.‎ ‎11.函数在上是减函数,则的取值范围是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复合函数的单调性以及的单调性判断出的基本范围,然后再根据真数大于零计算出的最终范围.‎ ‎【详解】因为,所以在上是减函数,又因为在上是减函数,所以是增函数,所以;又因为对数的真数大于零,则,所以;则.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】复合函数单调性的判断依据:“同増异减”,即内外层函数单调性相同时,整个函数为增函数,内外层函数单调性相反时,整个函数为减函数.‎ ‎12.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为 A. -1 B. 1 C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由,可求得交点坐标为,‎ 要使直线上存在点满足约束条件,‎ 如图所示,可得,所以最大值为1,故选B.‎ 第Ⅱ卷(非选择题,共64分)‎ 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,满分20分,请把答案填在答题卡相应位置.‎ ‎13.已知函数为奇函数,则__________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求解出的值.‎ ‎【详解】因为,则,且,所以.‎ ‎【点睛】已知函数为奇函数,可通过定义法:来求解其中参数的值.这里不能直接使用,因为定义域未知.‎ ‎14.已知函数的定义域是,则函数的定义域是__________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由的定义域求解的定义域,的定义域相当于的值域.‎ ‎【详解】因为的定义域是,所以,则中,即的定义域是.‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,难度较易.注意由的定义域求解的定义域、由的定义域求解的定义域,两者的区别.‎ ‎15.在中,角所对的边分别为,若其面积,则=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形的面积公式与已知条件相等,结合余弦定理可得,即等于1,根据的范围利用特殊角的三角函数值即可得到 的度数.‎ ‎【详解】由已知得:变形为:,‎ 结合余弦定理可得,即,‎ 又,‎ 则,故答案为.‎ 点睛:本题主要考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值,是一道基础题.‎ ‎16.已知,,,则,的夹角是__________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据模长得到三角函数关系式,再利用数量积公式计算夹角.‎ ‎【详解】因为,所以,所以,又,所以.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积公式坐标表示的运用,难度一般.对于向量加法或者减法形式的模长,可以通过平方的方法将其转变为数量积的表示形式.‎ ‎17.已知数列中,,,,……,,……构成为首项,为公比的等比数列,则数列的通项公式为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列得到:的递推公式,然后再计算的通项公式.‎ 详解】由题意知:,所以,则,当时,符合.‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查利用数列递推公式求解数列通项公式,难度一般.利用累加法求解数列通项公式的时候,要注意由求解出数列通项公式后,一定要验证是否符合,若不符合则写成分段数列的形式.‎ 三、解答题:本大题共5个小题,满分44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎18.(1)计算;‎ ‎(2)已知,求的值;‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用对数运算法则直接化简计算;(2)将表示成形式表示出来再计算.‎ ‎【详解】(1);‎ ‎(2)因为,所以,‎ 又.‎ 点睛】(1)巧用对数换底公式:;‎ ‎(2)同角的三角函数中“齐次”问题的解法:(分子分母同除);(分子分母同除).‎ ‎19.已知为坐标原点,,,(,,是常数),若,当时,的最大值为,‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)中,角,,所对的边分别为,,,已知,,边长,,成等比,试求的外接圆半径长;‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据化简表达式,再根据最大值求解的值;(2)根据求解,再利用余弦定理求解的值,再根据正弦定理求解外接圆半径.‎ ‎【详解】(1)‎ ‎,又,‎ 所以,则且此时 ,则.‎ ‎(2)因为,,所以且,则,‎ 由且,可得:;‎ 又,所以.‎ ‎【点睛】正弦定理与外接圆的半径之间的关系:.这是求解三角形外接圆的半径或面积的有效方法.‎ ‎20.已知是定义在上的奇函数,且,如果曲线在定义域区间上任意两点连线的斜率均大于零.‎ ‎(1)判断在上的单调性,并证明它;‎ ‎(2)解不等式;‎ ‎(3)若对所有的恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)单调递增,证明见解析(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用定义法证明单调性;(2)根据单调性将函数值之间的关系转变为自变量之间的关系;(3)将恒成立问题转变为一次函数在给定区间大于等于,从而求解参数范围.‎ ‎【详解】(1)任取且,据题意有:,因为,所以,则在上单调递增;‎ ‎(2)因为在上单调递增,根据可得:解得:;‎ ‎(3)因为对所有的恒成立,所以,因为,所以对所有的恒成立,‎ 则: ,解得:.‎ ‎【点睛】()定义法判断函数单调性的变形:可判断是单调增(减)函数;可判断是单调增(减)函数;‎ ‎(2)的恒成立问题,只要:即可.‎ ‎21.已知数列中,,‎ ‎(1)求通项公式;‎ ‎(2)设,求的前项和;‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据递推公式构造等比数列求通项公式;(2)利用错位相减法对数列求和.‎ ‎【详解】(1)因为,所以,则数列是首项为公比为2的等比数列,则:即;‎ ‎(2),记的前项和为,则:‎ ‎,则,‎ 两式相减:.‎ 则的前项和为:.‎ ‎【点睛】(1)形如的递推公式,可采用构造等比数列的方法求解数列通项公式;‎ ‎(2)错位相减法一般适用于:等差乘以等比形式的数列求和.‎ ‎22.已知函数为偶函数,曲线与轴交于两点,,,与轴交于点,‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)过曲线上任意一点作与直线夹角为的直线,交于点,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先分析得出是二次函数,然后根据已知条件求解函数解析式;(2)数形结合进行分析,找到最小值对应的位置,然后计算.‎ ‎【详解】(1)由条件可知为二次函数,故设且,则,又由为偶函数可知对称轴,又因为,所以图象过,则解得,所以;‎ ‎(2)‎ 作出与的图象,表示到直线的距离,根据条件可知:,故有最小值时,有最小值.将直线平移至与相切,此时切点到直线的距离最小,即最小,此时有最小值.设切线方程为:,联立可得:,,,则与的距离 ,‎ 则.‎ ‎【点睛】直线与曲线相离时,求曲线上一点到直线的最小距离,可将直线平移至与曲线相切,此时的切点到直线的距离即为曲线上点的到直线的最短距离(平移至相切).‎ ‎ ‎
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