数学文卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末考试仿真（2018

数学文卷·2018届云南省峨山彝族自治县第一中学高三上学期期末考试仿真（2018

峨山一中2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷 数学试卷（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|＜2x≤2}，B={x|ln（x﹣）≤0}，则A∩（∁RB）=（　　）‎ A．∅ B．（﹣1，] ‎ C．[，1） D．（﹣1，1]‎ ‎2．（5分）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（　　）‎ A．2+i B．2﹣i ‎ C．5+i D．5﹣i ‎3．（5分）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（　　）‎ A． B．0 C． D．‎ ‎4．（5分）已知命题p：“∃x0∈R，”，命题q：“b2=ac是a，b，c成等比数列的充要条件”．则下列命题中为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．（￢p）∧q ‎ C．p∧（￢q） D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎5．（5分）设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且＜1，若a3+a5=20，a3a5=64，则S4=（　　）‎ A．63或126 B．252 C．120 D．63‎ ‎6．（5分）已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（　　）‎ A．x2+y2﹣2x﹣3=0 B．x2+y2+4x=0 ‎ C．x2+y2+2x﹣3=0 D．x2+y2﹣4x=0‎ ‎7．（5分）如图所示的流程图，最后输出n的值是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+‎ f′（x）的一个单调递减区间是（　　）‎ A．[，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]‎ ‎9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若△ABO的面积为，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎10．（5分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（　　）‎ A．7π B．19π C．π D．π ‎11．（5分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且=3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AA1⊥l于点A1，若四边形AA1CF的面积为12，则准线l的方程为（　　）‎ A．x=﹣ B．x=﹣2 C．x=﹣2 D．x=﹣1‎ ‎12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（　　）‎ A．3 B．2 C． D．2‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）设满足且（+）⊥，则（﹣）•的值为　 　．‎ ‎14．（5分）化简：﹣=　 　．‎ ‎15．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　 　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=（kx+）ex﹣x，若f（x）＜0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为　 　．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．‎ ‎（1）求tanC的值；‎ ‎（2）若，求△ABC的面积．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1+1，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令cn=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．‎ ‎（I）求证：MN∥平面ABCD；‎ ‎（II）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值．‎ ‎20．（12分）设函数f（x）=﹣x2+ax+2（x2﹣x）lnx．‎ ‎（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，求整数a的最小值．‎ ‎21．（12分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，抛物线E：x2=2y的焦点F是C的一个顶点．‎ ‎（I）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．‎ ‎（i）求证：点M在定直线上；‎ ‎（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）若曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，在曲线C上任取一点P，且点P在第一象限，求四边形OAPB面积的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）‎ ‎23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣m|（m＞1），若f（x）＞4的解集是{x|x＜0或x＞4}．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎【参考答案】‎ 一、选择题 ‎1．B ‎【解析】∵A={x|＜2x≤2}={x|﹣1＜x≤1}，B={x|ln（x﹣）≤0}={x|＜x≤}，‎ ‎∴∁RB={x|x＞或x}，则A∩（∁RB）=（﹣1，]．‎ 故选：B．‎ ‎2．D ‎【解析】∵（z﹣3）（2﹣i）=5，‎ ‎∴z﹣3==2+i ‎∴z=5+i，‎ ‎∴=5﹣i．‎ 故选D．‎ ‎3．C ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，‎ 得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣，﹣1），B（，），C（2，﹣1）‎ 设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（，）=‎ 故选：C ‎4．C ‎【解析】当x＜﹣2，或x＞1时，，故命题p为真命题；‎ b2=ac=0时，a，b，c不是等比数列，帮命题q为假命题；‎ 故命题p∧q，（￢p）∧q，（￢p）∧（￢q）均为假命题；‎ p∧（￢q）为真命题；‎ 故选：C ‎5．C ‎【解析】∵＜1，‎ ‎∴0＜q＜1，‎ ‎∵a3a5=64，a3+a5=20，‎ ‎∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，‎ ‎∵an＞0，0＜q＜1，‎ ‎∴a3＞a5，‎ ‎∴a3=16，a5=4，‎ ‎∴q=，‎ ‎∴a1=64，a2=32，a3=16，a4=8，‎ ‎∴S4=a1+a2+a3+a4=64+32+16+8=120，‎ 故选：C ‎6．D ‎【解析】设圆心为（a，0）（a＞0），‎ 由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）‎ 则圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=4，化简得x2+y2﹣4x=0‎ 故选D ‎7．C ‎【解析】模拟执行程序框图，可得n=1，n=2‎ 不满足条件2n＞n2，n=3‎ 不满足条件2n＞n2，n=4‎ 不满足条件2n＞n2，n=5‎ 满足条件2n=32＞n2=25，退出循环，输出n的值为5．‎ 故选：C．‎ ‎8．A ‎【解析】函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，‎ 则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）‎ ‎=sin（2x++）=2sin（2x+），‎ 由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，‎ 可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，‎ 所以函数的一个单调减区间为：[，]．‎ 故选：A．‎ ‎9．B ‎【解析】y2=﹣8x的准线方程为l：x=2，‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐进线与抛物线y2=﹣8x的准线分别交于A，B两点，△ABO的面积为，‎ ‎∴=，‎ ‎∴b=a，‎ ‎∴c=2a，‎ ‎∴e==2．‎ 故选：B．‎ ‎10．A ‎【解析】根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，‎ 三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC 的外接圆的半径为=1‎ 由题意可得：球心到底面的距离为，‎ ‎∴球的半径为r==．‎ 外接球的表面积为：4πr2=7π 故选：A．‎ ‎11．A ‎【解析】设|BF|=m，|AF|=3m，则|AB|=4m，p=m，∠BAA1=60°，‎ ‎∵四边形AA1CF的面积为12，‎ ‎∴=12，‎ ‎∴m=，∴=，‎ ‎∴准线l的方程为x=﹣，‎ 故选A．‎ ‎12．A ‎【解析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，‎ 设圆的半径为r，‎ ‎∵BC=2，CD=1，‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，‎ 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），‎ ‎∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴1≤λ+μ≤3，‎ 故λ+μ的最大值为3，‎ 故选：A 二、填空题 ‎13．﹣5‎ ‎【解析】∵，∴||=2‎ ‎∵（+）⊥，∴（+）•=+•=0，即•=﹣4，‎ ‎∴（﹣）•=•﹣=﹣4﹣1=﹣5，故答案为：﹣5．‎ ‎14．4‎ ‎【解析】由﹣==．故答案为4．‎ ‎15．‎ ‎【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，‎ 底面面积S=4×8=32，高h=4，‎ 故体积V==，‎ 故答案为：‎ ‎16．（）‎ ‎【解析】f（x）＜0的解集中只有一个正整数，即（kx+）ex﹣x＜0的解集中只有一个正整数，‎ 也就是kx+＜的解集中只有一个正整数，‎ 令g（x）=，则g′（x）=，‎ 当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，‎ 如图：函数y=kx+恒过定点（0，），‎ 曲线g（x）=上的点（1，），（2，），‎ 过（0，）与（1，）的直线的斜率为k=，‎ 过（0，）与（2，）的直线的斜率为k=．‎ ‎∴要使f（x）＜0的解集中只有一个正整数，则实数k的取值范围为（）．‎ 故答案为：（）．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ 又=sinAcosC+sinCcosA=．‎ 整理得．‎ ‎（2）由即=，且sin2C+cos2C=1，‎ 得．cosC=，‎ 则sinB=cosC=sinC，即有B=C，即b=c，‎ 又由正弦定理知：，‎ c==，‎ 故，a=，b=．‎ ‎∴△ABC的面积为：S=absinC=×××=．‎ ‎18．解：（1）∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，‎ 可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an．‎ n=1时，a2=2a1+1=3=3a1，满足上式．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，∴an=3n﹣1．‎ ‎（2）c=log3a2n==2n﹣1．‎ bn===（），‎ 数列{bn}的前 n 项和Tn=+…++]‎ ‎=（1+）.‎ ‎19．证明：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，‎ 依题意A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），‎ ‎ A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），‎ 又∵M，N分别为B1C和D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．‎ 由题意得=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，‎ ‎=（0，﹣，0），‎ ‎∵=0，又∵直线MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD．‎ ‎（II）=（1，﹣2，2），，设为平面ACD1的法向量，则，不妨设z=1，得=（0，1，1），‎ 设为平面ACB1的一个法向量，=（0，1，2），‎ 则，不妨设z=1，得=（0，﹣2，1），‎ ‎∴cos＜＞==﹣，于是sin＜＞==，‎ ‎∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为．‎ ‎20．解：（1）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当a=2时，f（x）=﹣x2+2x+2（x2﹣x）lnx，‎ 所以f′（x）=﹣2x+2+2（2x﹣1）lnx+2（x2﹣x）•=（4x﹣2）lnx，‎ 由f'（x）＞0可得：（4x﹣2）lnx＞0，‎ 所以或，‎ 解得x＞1或0＜x＜；‎ 由f'（x）＜0可得：（4x﹣2）lnx＜0，‎ 所以或，‎ 解得：＜x＜1．‎ 综上可知：f（x）递增区间为（0，），（1，+∞），递减区间为（，1）．‎ ‎（2）若x∈（0，+∞）时，f（x）＞0恒成立，‎ 即a＞x﹣2（x﹣1）lnx恒成立，‎ 令g（x）=x﹣2（x﹣1）lnx，则a＞g（x）max．‎ 因为g′（x）=1﹣2（lnx+）=﹣2lnx﹣1+，‎ 所以g'（x）在（0，+∞）上是减函数，且g'（1）＞0，g′（2）＜0，‎ 故存在x0∈（1，2）使得g（x）在（0，x0）上为增函数，在（x0，+∞）上是减函数，‎ ‎∴x=x0时，g（x）max=g（x0）≈0，‎ ‎∴a＞0，又因为a∈Z，所以amin=1．‎ ‎21．解：（I）由题意可得e==，抛物线E：x2=2y的焦点F为（0，），‎ 即有b=，a2﹣c2=，‎ 解得a=1，c=，‎ 可得椭圆的方程为x2+4y2=1；‎ ‎（Ⅱ）（i）证明：设P（x0，y0），可得x02=2y0，‎ 由y=x2的导数为y′=x，即有切线的斜率为x0，‎ 则切线的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），‎ 可化为y=x0x﹣y0，代入椭圆方程，‎ 可得（1+4x02）x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0，‎ ‎△=64x02y02﹣4（1+4x02）（4y02﹣1）＞0，可得1+4x02＞4y02．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得x1+x2=，即有中点D（，﹣），‎ 直线OD的方程为y=﹣x，可令x=x0，可得y=﹣．‎ 即有点M在定直线y=﹣上；‎ ‎（ii）直线l的方程为y=x0x﹣y0，令x=0，可得G（0，﹣y0），‎ 则S1=|FG|•|x0|=x0•（+y0）=x0（1+x02）；‎ S2=|PM|•|x0﹣|=（y0+）•=x0•，‎ 则=，‎ 令1+2x02=t（t≥1），则==‎ ‎==2+﹣=﹣（﹣）2+，‎ 则当t=2，即x0=时，取得最大值，‎ 此时点P的坐标为（，）．‎ ‎22．解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）=4，‎ 即ρ2（sin2θ+cos2θ+3sin2θ）=4，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，‎ 得到曲线C的直角坐标方程为x2+4y2=4，即．‎ ‎∴曲线C的参数方程为（α为参数）．‎ ‎（Ⅱ）∵曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A，B，‎ ‎∴由已知可得A（2，0），B（0，1），‎ 设．‎ 则，‎ 所以四边形OAPB面积．‎ 当时，四边形OAPB的面积取最大值．‎ ‎23．解：（Ⅰ）∵m＞1，∴，‎ 作出函数f（x）的图象，如图所示：‎ 由f（x）＞4的解集为{x|x＜0或x＞4}及函数图象，‎ 可得，得m=3．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，∴f（x）的最小值为2．‎ 关于x的不等式f（x）＜a2+a﹣4有解，则2＜a2+a﹣4，即a2+a﹣6＞0，‎ 即（a+3）（a﹣2）＞0，∴a＜﹣3，或a＞2，‎ 实数a的取值范围{a|a＜﹣3，或a＞2 }．‎