高考文科数学复习：夯基提能作业本 (27)

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第二节　导数与函数的单调性 A组　基础题组 ‎1.函数f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是(　　)‎ A.(0,+∞) B.(-∞,0)‎ C.(-∞,1) D.(1,+∞)‎ ‎2.设f '(x)是函数f(x)的导函数,y=f '(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是(　　)‎ ‎3.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f '(x)是f(x)的导函数,则函数f '(x)的图象大致是(　　)‎ ‎4.函数y=‎1‎‎2‎x2-ln x的单调递减区间为(　　)‎ A.(0,1) B.(0,+∞)‎ C.(1,+∞) D.(0,2)‎ ‎5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]‎ C.[2,+∞) D.[1,+∞)‎ ‎6.对于R上可导的任意函数f(x),若满足‎1-xf '(x)‎≤0,则必有(　　)‎ A.f(0)+f(2)>2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)‎ C.f(0)+f(2)<2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1)‎ ‎7.若幂函数f(x)的图象过点‎2‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,则函数g(x)=exf(x)的单调递减区间为　　　　　　. ‎ ‎8.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　　　. ‎ ‎9.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是　　　　　　. ‎ ‎10.已知函数f(x)=ln x,g(x)=‎1‎‎2‎ax+b.‎ ‎(1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;‎ ‎(2)若φ(x)=m(x-1)‎x+1‎-f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m的取值范围.‎ B组　提升题组 ‎11.(2016课标全国Ⅰ,12,5分)若函数f(x)=x-‎1‎‎3‎sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是(　　)‎ A.[-1,1] B.‎-1,‎‎1‎‎3‎ C.‎-‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎ D.‎‎-1,-‎‎1‎‎3‎ ‎12.已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)=-3,且对任意的x∈R,总有f '(x)<3,则不等式f(x)<3x-15的解集为　　　　. ‎ ‎13.已知函数f(x)=x-‎2‎x+1-aln x,a>0.讨论f(x)的单调性.‎ ‎14.已知函数f(x)=exln x-aex(a∈R).‎ ‎(1)若f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线y=‎1‎ex+1垂直,求a的值;‎ ‎(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.D　由题意知f '(x)=ex-e,令f '(x)>0,解得x>1,故选D.‎ ‎2.C　由f '(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时, f '(x)>0, f(x)为增函数,当x∈(0,2)时, f '(x)<0, f(x)为减函数,当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0, f(x)为增函数.故选C.‎ ‎3.A　令g(x)=f '(x)=2x-2sin x,则g'(x)=2-2cos x,易知g'(x)≥0,所以函数f '(x)在R上单调递增.‎ ‎4.A　函数y=‎1‎‎2‎x2-ln x的定义域为{x|x>0},y'=x-‎1‎x=x‎2‎‎-1‎x,令x‎2‎‎-1‎x<0,又x>0,所以x2-1<0,解得01,∴0<‎1‎x<1,∴k≥1,故选D.‎ ‎6.A　当x<1时, f '(x)<0,此时函数f(x)单调递减,当x>1时, f '(x)>0,此时函数f(x)单调递增,∴当x=1时,函数f(x)取得极小值同时也取得最小值,所以f(0)>f(1), f(2)>f(1),则f(0)+f(2)>2f(1).‎ ‎7.答案　(-2,0)‎ 解析　设幂函数为f(x)=xα,因为图象过点‎2‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎,所以‎1‎‎2‎=‎2‎‎2‎α,α=2,所以f(x)=x2,故g(x)=exx2,则g'(x)=exx2+2xex,令g'(x)=exx2+2xex=ex(x2+2x)<0,得-20,得函数的增区间是(-∞,-2),(2,+∞),由f '(x)<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k-1,k+1)上不是单调函数,所以k-1<-20,g(x)单调递增,‎ 当x>ln 2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,‎ ‎∴当x=ln 2时,g(x)取得最大值,‎ 且g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2,‎ ‎∴a≤2ln 2-2.‎ ‎10.解析　(1)由题意知f '(x)=‎1‎x,‎ 则f '(1)=1,‎ 因为曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,‎ 所以1=‎1‎‎2‎a,a=2,‎ 故g(x)=x+b,‎ 又f(1)=0,所以切点坐标为(1,0),‎ 则有0=1+b,b=-1,‎ 故g(x)的表达式为g(x)=x-1.‎ ‎(2)因为φ(x)=m(x-1)‎x+1‎-ln x,‎ 所以φ'(x)=‎2m‎(x+1‎‎)‎‎2‎-‎1‎x,‎ 因为φ(x)在[1,+∞)上是减函数,‎ 所以φ'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立,‎ 即m≤‎(x+1‎‎)‎‎2‎‎2x在[1,+∞)上恒成立,‎ 令h(x)=‎(x+1‎‎)‎‎2‎‎2x,x∈[1,+∞),‎ 则h'(x)=x‎2‎‎-1‎‎2‎x‎2‎,x∈[1,+∞),‎ 令h'(x)=0,得x=1.‎ 则h(x)在[1,+∞)上单调递增,‎ 故h(x)min=2,所以m≤2.‎ B组　提升题组 ‎11.C　f '(x)=1-‎2‎‎3‎cos 2x+acos x=1-‎2‎‎3‎(2cos2x-1)+acos x=-‎4‎‎3‎cos2x+acos x+‎5‎‎3‎, f(x)在R上单调递增,则f '(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则-‎4‎‎3‎t2+at+‎5‎‎3‎≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,‎ 令g(t)=4t2-3at-5,‎ 则g(1)=4-3a-5≤0,‎g(-1)=4+3a-5≤0,‎解得-‎1‎‎3‎≤a≤‎1‎‎3‎,故选C.‎ ‎12.答案　(4,+∞)‎ 解析　令g(x)=f(x)-3x+15,则g'(x)=f '(x)-3,由题意知g'(x)<0,所以g(x)在R上是减函数.又g(4)=f(4)-3×4+15=0,所以f(x)<3x-15的解集为(4,+∞).‎ ‎13.解析　由题意知, f(x)的定义域是(0,+∞), f '(x)=1+‎2‎x‎2‎-ax=x‎2‎‎-ax+2‎x‎2‎.‎ 设g(x)=x2-ax+2,一元二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2-8.‎ ‎①当Δ<0,即00都有f '(x)>0.‎ 此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.‎ ‎②当Δ=0,即a=2‎2‎时, f '(x)≥0.此时f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数.‎ ‎③当Δ>0,即a>2‎2‎时,方程g(x)=0有两个不同的实根,分别为x1=a-‎a‎2‎‎-8‎‎2‎,x2=a+‎a‎2‎‎-8‎‎2‎,且00时恒成立.‎ 即‎1‎x-a+ln x≤0在x>0时恒成立,‎ 即a≥‎1‎x+ln x(x>0)恒成立,‎ 令g(x)=‎1‎x+ln x(x>0),‎ 则g'(x)=-‎1‎x‎2‎+‎1‎x=x-1‎x‎2‎(x>0),‎ 由g'(x)>0,得x>1;‎ 由g'(x)<0,得00时恒成立,‎ 即‎1‎x-a+ln x≥0在x>0时恒成立,‎ 所以a≤‎1‎x+ln x在x>0时恒成立,由上述推理可知此时a≤1.‎ 故实数a的取值范围是(-∞,1].‎