高考数学复习课时提能演练(七十七) 选修4-4_1

高考数学复习课时提能演练(七十七) 选修4-4_1

‎ ‎ 课时提能演练(七十七)‎ ‎1.在极坐标系中,已知三点的极坐标分别为M(),N(2，0),P().判断M,N,P三点是否在一条直线上？说明理由.‎ ‎2.在极坐标系中,已知O为极点,A(),B()，判断△OAB的形状.‎ ‎3.在极坐标系中，已知直线l过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为求：‎ ‎(1)直线的极坐标方程；‎ ‎(2)极点到该直线的距离.‎ ‎4.(1)求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程；‎ ‎(2)从极点O作圆C的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.‎ ‎5.在极坐标系中，求圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值.‎ ‎6.已知半圆的直径|AB|=2r(r>0)，半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交于点T，并且|AT|=‎2a(‎2a＜).‎ 建立极坐标系证明：如果半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|、|NQ|满足|MP|=|MA|,|NQ|=|NA|，那么|MA|+|NA|为定值.‎ ‎7.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|=12．‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设R为l上任意一点，试求|RP|的最小值．‎ ‎8.已知圆C的极坐标方程ρ=2asinθ，求：‎ ‎(1)圆C关于极轴对称的圆的极坐标方程；‎ ‎(2)圆C关于直线对称的圆的极坐标方程.‎ ‎9.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos(θ-)=1，M,N分别为C与x轴,y轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ ‎10.在极坐标系中，已知圆C的圆心C(3,)，半径r=3.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程.‎ ‎(2)若Q点在圆C上运动,P在OQ的延长线上，且求动点P的轨迹方程.‎ 答案解析 ‎1.【解析】方法一：三点M(2,),N(2,0),P()的直角坐标分别为(1,)，(2,0)，(3,)，‎ 由于 故∥‎ 所以M,N,P三点共线.‎ 方法二：由点M(2,),N(2,0),P()可知，|OM|=|ON|=2,∠MON=于是 ‎△OMN为等边三角形，所以|MN|=2.‎ 又∠MOP= |OP|=在Rt△MOP中， ‎ 在△ONP中，由余弦定理得 因为|MN|+|NP|=2+2=4，|MP|=4，于是|MN|+|NP|=|MP|，所以M,N,P三点共线.‎ ‎2.【解析】由于点A(－2,)即(2,),‎ 又O(0，0)，B 故|OA|=2,|OB|=‎ 所以∠OBA=‎ 所以△OAB为等腰直角三角形.‎ ‎3.【解析】方法一：(1)如图，由正弦定理得 即 ‎∴所求直线的极坐标方程为 ‎(2)作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，‎ ‎|OA|=1，∠OHA=∠OAH=‎ 则 即极点到该直线的距离等于 方法二：(1)直线的斜率为又直线过点A(1,0)，所以直线的点斜式方程为y=(x-1)，化为极坐标方程为ρsinθ=(ρcosθ-1),‎ 即ρ(sinθ-cosθ)=-,‎ ‎∴即 所以为所求.‎ ‎(2)由上述可知，极点即坐标原点(0,0)到直线的距离为 ‎4.【解析】(1)设P(ρ,θ)为圆C上任意一点，圆C交极轴于另一点A，则|OA|=8，在Rt△AOP中,|OP|=|OA|cosθ，即ρ=8cosθ，这就是圆C的极坐标方程.‎ ‎(2)由r=|OC|=4，连接CM.‎ 因为M为弦ON的中点，所以CM⊥ON.‎ 故M在以OC为直径的圆上.‎ 所以动点M的轨迹方程是ρ=4cosθ(不含极点).‎ ‎5.【解析】由圆ρ=2得直角坐标方程为x2+y2=4，圆心为(0,0)，半径为r=2.直线ρ(cosθ+sinθ)=6的直角坐标方程为x+y-6=0，圆心到该直线的距离为且d＞r.‎ 故圆ρ=2上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离的最小值是1.‎ ‎6.【证明】以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ，设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)，由题意知，M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)在抛物线上，∴rcos2θ-rcosθ+a=0,‎ 由于‎2a＜则r＞‎4a，‎ ‎∴Δ=r2－4ra= r(r－‎4a)＞0.‎ ‎∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根，‎ 由根与系数的关系，得cosθ1+cosθ2=1，‎ ‎∴|MA|+|NA|=ρ1+ρ2‎ ‎=2rcosθ1+2rcosθ2=2r(定值).‎ ‎7.【解题指南】由O、M、P三点共线及|OM|·|OP|=12．设出动点P、M的极坐标，然后代入条件等式求解即可.也可以转化为直角坐标方程解决.‎ ‎【解析】方法一:(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ)，则点M为(ρ0,θ)．‎ ‎∵|OM|·|OP|=12，∴ρ0ρ=12，得 ‎∵M在直线ρcosθ=4上，∴ρ0cosθ=4，即cosθ=4，‎ 于是ρ=3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程．‎ ‎(2)由于点P的轨迹方程为ρ=3cosθ=2·cosθ,‎ 所以点P的轨迹是圆心为(0)，半径为的圆(去掉原点).‎ 又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上,由此可知RP的最小值为1.‎ 方法二:(1)直线l:ρcosθ=4的直角坐标方程为x=4，设点P(x，y)为轨迹上任意一点，点M(4,y0)，由∥得(x＞0).‎ 又|OM|·|OP|=12，则|OM|2·|OP|2=144．‎ ‎∴‎ 整理得x2+y2=3x(x＞0),‎ 这就是点P的轨迹的直角坐标方程.‎ ‎(2)由上述可知，点P的轨迹是圆心为(0)，半径为的圆(去掉原点).‎ 又点R在直线l:x=4上,故|RP|的最小值为1.‎ ‎8.【解析】方法一：设所求圆上任意一点M的极坐标为(ρ,θ).‎ ‎(1)点M(ρ,θ)关于极轴对称的点为M(ρ,-θ)，代入圆C的方程ρ=2asinθ，得ρ=2asin(－θ)，即ρ=－2asinθ为所求.‎ ‎(2)点M(ρ,θ)关于直线θ=对称的点为(ρ,－θ)，代入圆C的方程ρ=2asinθ，得ρ=2asin(-θ)，即ρ=－2acosθ为所求.‎ 方法二：由圆的极坐标方程ρ=2asinθ，得ρ2=2ρasinθ，‎ 利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ，ρ= ‎ 化为直角坐标方程为x2+y2=2ay.‎ 即x2+(y－a)2=a2，故圆心为C(0，a)，半径为|a|.‎ ‎(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0，－a)，圆的方程为x2+(y+a)2=a2，‎ 即x2+y2=-2ay，∴ρ2=-2ρasinθ，‎ 故ρ=－2asinθ为所求.‎ ‎(2)由θ=得tanθ=－1,故直线θ=的直角坐标方程为y=－x，‎ 圆x2+(y－a)2=a2关于直线y=－x对称的圆的方程为(－y)2+(－x－a)2=a2，‎ 即(x+a)2+y2=a2，于是x2+y2=－2ax.‎ ‎∴ρ2=-2ρacosθ.‎ 此圆的极坐标方程为ρ=－2acosθ.‎ ‎9.【解析】(1)由ρcos(θ-)=1得 从而C的直角坐标方程为 即x+y=2.当θ=0时，ρ=2,所以M(2,0)；‎ 当θ=时,ρ=所以N().‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2，0)，N点的直角坐标为(0,).所以P点的直角坐标为(1,)，则P点的极坐标为().‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ= (ρ∈R).‎ ‎10.【解析】(1)设M(ρ,θ)是圆C上任意一点，在△OCM中，∠COM=|θ－|，由余弦定理,得|CM|2=|OM|2+|OC|2－2|OM||OC|cos∠COM.‎ ‎∴32=ρ2+32－2×3×ρcos(θ－).‎ 即ρ=6cos(θ－)为所求.‎ ‎(2)设点Q为(ρ1,θ1)，点P为(ρ,θ)，由得 ‎∴∴代入圆ρ=6cos(θ－)方程得ρ=6cos(θ－),即ρ=9cos(θ－)为所求.‎