宁波市2013年中考数学卷

宁波市2013年中考数学卷

‎2013年浙江省宁波市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求）‎ ‎1．（3分）（2013•宁波）﹣5的绝对值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣5‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ 考点：‎ 绝对值．‎ 分析：‎ 根据绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值可直接得到答案．‎ 解答：‎ 解：﹣5的绝对值为5，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•宁波）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2+a2=a4‎ B．‎ ‎2a﹣a=2‎ C．‎ ‎（ab）2=a2b2‎ D．‎ ‎（a2）3=a5‎ 考点：‎ 幂的乘方与积的乘方；合并同类项．‎ 分析：‎ 根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；‎ B、2a﹣a=a，故本选项错误；‎ C、（ab）2=a2b2，故本选项正确；‎ D、（a2）3=a6，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•宁波）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形．‎ 分析：‎ 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•宁波）在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 概率公式．‎ 分析：‎ 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ 解答：‎ 解：解：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，‎ 从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•宁波）备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在‎2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7.7×109元 B．‎ ‎7.7×1010元 C．‎ ‎0.77×1010元 D．‎ ‎0.77×1011元 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数．‎ 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：77亿=77 0000 0000=7.7×109，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎7‎ D．‎ ‎8‎ 考点：‎ 多边形内角与外角．‎ 分析：‎ 利用多边形的外角和360°，除以外角的度数，即可求得边数．‎ 解答：‎ 解：多边形的边数是：360÷72=5．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的外角和定理，理解任何多边形的外角和都是360度是关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•宁波）两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 内含 B．‎ 内切 C．‎ 相交 D．‎ 外切 考点：‎ 圆与圆的位置关系．‎ 分析：‎ 由两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．‎ 解答：‎ 解：∵两个圆的半径分别为2和3，圆心之间的距离是d=5，‎ 又∵2+3=5，‎ ‎∴这两个圆的位置关系是外切．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎10‎ D．‎ ‎12‎ 考点：‎ 三角形中位线定理；三角形三边关系．‎ 分析：‎ 本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于14小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于7而小于10，看哪个符合就可以了．‎ 解答：‎ 解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，‎ 则2＜c＜10，14＜三角形的周长＜20，‎ 故7＜中点三角形周长＜10．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范围是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•宁波）下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 展开图折叠成几何体．‎ 分析：‎ 根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可．‎ 解答：‎ 解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；‎ B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；‎ C、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；‎ D、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•宁波）如图，二次函数y=ax2=bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ abc＜0‎ B．‎ ‎2a+b＜0‎ C．‎ a﹣b+c＜0‎ D．‎ ‎4ac﹣b2＜0‎ 考点：‎ 二次函数图象与系数的关系．‎ 分析：‎ 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ 解答：‎ 解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a＞0．‎ 抛物线的对称轴x=﹣=1＞0，则b＜0．‎ 抛物线与y轴交与负半轴，则c＜0，‎ 所以abc＞0．‎ 故本选项错误；‎ B、∵x=﹣=1，‎ ‎∴b=﹣2a，‎ ‎∴2a+b=0．‎ 故本选项错误；‎ C、∵对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），‎ ‎∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（﹣1，0），‎ ‎∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0．‎ 故本选项错误；‎ D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，则4ac﹣b2＜0．‎ 故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ 考点：‎ 梯形；等腰三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ 延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．‎ 解答：‎ 解：延长AE交BC于F，‎ ‎∵AE是∠BAD的平分线，‎ ‎∴∠BAF=∠DAF，‎ ‎∵AE∥CD，‎ ‎∴∠DAF=∠AFB，‎ ‎∴∠BAF=∠AFB，‎ ‎∴AB=BF，‎ ‎∵AB=，BC=4，‎ ‎∴CF=4﹣=，‎ ‎∵AD∥BC，AE∥CD，‎ ‎∴四边形AFCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=CF=．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a=b B．‎ a=3b C．‎ a=b D．‎ a=4b 考点：‎ 整式的混合运算．‎ 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式．‎ 解答：‎ 解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，‎ ‎∵AD=BC，即AE+ED=AE+a，BC=BP+PC=4b+PC，‎ ‎∴AE+a=4b+PC，即AE﹣PC=4b﹣a，‎ ‎∴阴影部分面积之差S=AE•AF﹣PC•CG=3bAE﹣aPC=3b（PC+4b﹣a）﹣aPC=（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，‎ 则3b﹣a=0，即a=3b．‎ 故选B 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）（2013•宁波）实数﹣8的立方根是　﹣2　．‎ 考点：‎ 立方根．‎ 分析：‎ 利用立方根的定义即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵（﹣2）3=﹣8，‎ ‎∴﹣8的立方根是﹣2．‎ 故答案﹣2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2011•海南）分解因式：x2﹣4=　（x+2）（x﹣2）　．‎ 考点：‎ 因式分解-运用公式法．‎ 分析：‎ 直接利用平方差公式进行因式分解即可．‎ 解答：‎ 解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．‎ 点评：‎ 本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•宁波）已知一个函数的图象与y=的图象关于y轴成轴对称，则该函数的解析式为　y=﹣　．‎ 考点：‎ 反比例函数的性质．‎ 分析：‎ 根据图象关于x轴对称，可得出所求的函数解析式．‎ 解答：‎ 解：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，‎ 即﹣y=，‎ ‎∴y=﹣‎ 故答案为：y=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象的对称性，是识记的内容．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•宁波）数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是　　．‎ 考点：‎ 方差．‎ 分析：‎ 先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5=1，‎ 则这组数据的方差是：‎ ‎ [（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]=；‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查方差，掌握方差公式和平均数的计算公式是解题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为　10π　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ 根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵弦AB=BC，弦CD=DE，‎ ‎∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，‎ ‎∴∠BOD=90°，‎ 过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，‎ 则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，‎ 在四边形OFCG中，∠FCD=135°，‎ 过点C作CN∥OF，交OG于点N，‎ 则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，‎ ‎∴△CNG为等腰三角形，‎ ‎∴CG=NG=2，‎ 过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，‎ 在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，‎ ‎∴OG=ON+NG=6，‎ 在Rt△OGD中，OD===2，‎ 即圆O的半径为2，‎ 故S阴影=S扇形OBD==10π．‎ 故答案为：10π．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为　（，）　．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．‎ 分析：‎ 由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E（a，），D（b，），由双曲线的对称性可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．‎ 解答：‎ 解：如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=‎ ‎（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，‎ ‎∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），‎ ‎∴C（a，0），B（a，2），A（a﹣2，0），‎ ‎∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．‎ 又∵△BDE∽△BCA，‎ ‎∴∠BDE=∠BCA=90°，‎ ‎∴直线y=x与直线DE垂直，‎ ‎∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．‎ 又∵点D在直线AB上，‎ ‎∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，‎ 解得，a=，‎ ‎∴点E的坐标是（，）．‎ 故答案是：（，）．‎ 点评：‎ 本题综合考查了相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共8小题，满分76分）‎ ‎19．（6分）（2013•宁波）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+（a﹣2）2，其中a=﹣3．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值．‎ 分析：‎ 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=1﹣a2+a2﹣4a+4=﹣4a+5，‎ 当a=﹣3时，原式=12+5=17．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）解方程：=﹣5．‎ 考点：‎ 解分式方程．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ 解答：‎ 解：方程的两边同乘（x﹣1），得 ‎﹣3=x﹣5（x﹣1），‎ 解得x=2（5分）‎ 检验，将x=2代入（x﹣1）=1≠0，‎ ‎∴x=2是原方程的解．（6分）‎ 点评：‎ 本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎（2）解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎21．（7分）（2013•宁波）天封塔历史悠久，是宁波著名的文化古迹．如图，从位于天封塔的观测点C测得两建筑物底部A，B的俯角分别为45°和60°，若此观测点离地面的高度为51米，A，B两点在CD的两侧，且点A，D，B在同一水平直线上，求A，B之间的距离（结果保留根号）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ 分析：‎ 在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB=AD+BD即可求出AB的值．‎ 解答：‎ 解：由题意得，∠EAC=45°，∠FCB=60°，‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴∠CAD=∠ECA=45°，∠CBD=∠FCB=60°，‎ ‎∵∠ACD=∠CAD=90°，‎ 在Rt△CDB中，tan∠CBD=，‎ ‎∴BD==17米，‎ ‎∵AD=CD=51米，‎ ‎∴AB=AD+BD=51+17．‎ 答：A，B之间的距离为（51+17）米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识解直角的三角形．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2013•宁波）‎2013年5月7日浙江省11个城市的空气质量指数（AQI）如图所示：‎ ‎（1）这11个城市当天的空气质量指数的极差、众数和中位数分别是多少？‎ ‎（2）当0≤AQI≤50时，空气质量为优．求这11个城市当天的空气质量为优的频率；‎ ‎（3）求宁波、嘉兴、舟山、绍兴、台州五个城市当天的空气质量指数的平均数．‎ 考点：‎ 条形统计图；频数与频率；算术平均数；中位数；众数；极差．‎ 分析：‎ ‎（1）根据极差=最大值﹣最小值进行计算即可；根据众数是一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案；‎ ‎（2）从条形统计图中找出这11个城市当天的空气质量为优的城市个数，再除以城市总数即可；‎ ‎（3）根据平均数的计算方法进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）极差：80﹣37=43，‎ 众数：50，‎ 中位数：50；‎ ‎（2）这11个城市中当天的空气质量为优的有6个，这11个城市当天的空气质量为优的频率为；‎ ‎（3）=（50+60+57+37+55）=51.8．‎ 点评：‎ 此题主要考查了条形统计图，以及极差、众数、中位数、平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2013•宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式．‎ 分析：‎ ‎（1）利用交点式得出y=a（x﹣1）（x﹣3），进而得出a求出的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；‎ ‎（2）根据左加右减得出抛物线的解析式为y=﹣x2，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），‎ 可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），‎ 把C（0，﹣3）代入得：3a=﹣3，‎ 解得：a=﹣1，‎ 故抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）（x﹣3），‎ 即y=﹣x2+4x﹣3，‎ ‎∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，‎ ‎∴顶点坐标（2，1）；‎ ‎（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=﹣x上．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•宁波）某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示：‎ 甲 乙 进价（元/部）‎ ‎4000‎ ‎2500‎ 售价（元/部）‎ ‎4300‎ ‎3000‎ 该商场计划购进两种手机若干部，共需15.5万元，预计全部销售后可获毛利润共2.1万元．‎ ‎（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）‎ ‎（1）该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？‎ ‎（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．‎ 考点：‎ 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，根据两种手机的购买金额为15.5万元和两种手机的销售利润为2.1万元建立方程组求出其解即可；‎ ‎（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，表示出购买的总资金，由总资金部超过16万元建立不等式就可以求出a的取值范围，再设销售后的总利润为W元，表示出总利润与a的关系式，由一次函数的性质就可以求出最大利润．‎ 解答：‎ 解：（1）设商场计划购进甲种手机x部，乙种手机y部，由题意，得 ‎，‎ 解得：，‎ 答：商场计划购进甲种手机20部，乙种手机30部；‎ ‎（2）设甲种手机减少a部，则乙种手机增加2a部，由题意，得 ‎0.4（20﹣a）+0.25（30+2a）≤16，‎ 解得：a≤5．‎ 设全部销售后获得的毛利润为W元，由题意，得 W=0.03（20﹣a）+0.05（30+2a）‎ ‎=0.07a+2.1‎ ‎∵k=0.07＞0，‎ ‎∴W随a的增大而增大，‎ ‎∴当a=5时，W最大=2.45．‎ 答：当该商场购进甲种手机15部，乙种手机40部时，全部销售后获利最大．最大毛利润为2.45万元．‎ 点评：‎ 本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用及一次函数的性质的运用，解答本题时灵活运用一次函数的性质求解是关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．‎ ‎（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；‎ ‎（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．‎ 考点：‎ 四边形综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；‎ ‎（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在上任意一点构成的四边形ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，‎ ‎（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD的度数．‎ 解答：‎ 解：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．‎ ‎∵∠BAD=120°，‎ ‎∴∠ABC=60°．‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∴△ADB是等腰三角形．‎ 在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，‎ ‎∴∠BDC=∠C=75°，‎ ‎∴△BCD为等腰三角形，‎ ‎∴BD是梯形ABCD的和谐线；‎ ‎（2）由题意作图为：图2，图3‎ ‎（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，‎ ‎∴△ACD是等腰三角形．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ 如图4，当AD=AC时，‎ ‎∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ‎∴△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=60°．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴∠CAD=30°，‎ ‎∴∠ACD=∠ADC=75°，‎ ‎∴∠BCD=60°+75°=135°．‎ 如图5，当AD=CD时，‎ ‎∴AB=AD=BC=CD．‎ ‎∵∠BAD=90°，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCD=90°‎ 如图6，当AC=CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，‎ ‎∵AC=CD．CE⊥AD，‎ ‎∴AE=AD，∠ACE=∠DCE．‎ ‎∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°，‎ ‎∴四边形ABFE是矩形．‎ ‎∴BF=AE．‎ ‎∵AB=AD=BC，‎ ‎∴BF=BC，‎ ‎∴∠BCF=30°．‎ ‎∵AB=BC，‎ ‎∴∠ACB=∠BAC．‎ ‎∵AB∥CE，‎ ‎∴∠BAC=∠ACE，‎ ‎∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15°，‎ ‎∴∠BCD=15°×3=45°．‎ 点评：‎ 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30°的直角三角形的性质的运用．解答如图6这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2013•宁波）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．‎ ‎ （1）求直线AB的函数解析式；‎ ‎（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．‎ ‎①求证：∠BDE=∠ADP；‎ ‎②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 一次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；‎ ‎（2）①先证出△BOD≌△COD，得出∠BOD=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，‎ ‎②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=DE，即y=x；‎ ‎（3）当=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，===2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4﹣OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=x+，最后根据求出点P的坐标即可；‎ 当=时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，===，得出FG=8，OD=BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后根据即可求出点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，‎ 代入（4，0）得：4k+4=0，‎ 解得：k=﹣1，‎ 则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；‎ ‎（2）①由已知得：‎ OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，‎ 又∵OD=OD，‎ ‎∴△BOD≌△COD，‎ ‎∴∠BOD=∠CDO，‎ ‎∵∠CDO=∠ADP，‎ ‎∴∠BDE=∠ADP，‎ ‎②连结PE，‎ ‎∵∠ADP是△DPE的一个外角，‎ ‎∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，‎ ‎∵∠BDE是△ABD的一个外角，‎ ‎∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，‎ ‎∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，‎ ‎∴∠DPE=∠OAB，‎ ‎∵OA=OB=4，∠AOB=90°，‎ ‎∴∠OAB=45°，‎ ‎∴∠DPE=45°，‎ ‎∴∠DFE=∠DPE=45°，‎ ‎∵DF是⊙Q的直径，‎ ‎∴∠DEF=90°，‎ ‎∴△DEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴DF=DE，即y=x；‎ ‎（3）当BD：BF=2：1时，‎ 过点F作FH⊥OB于点H，‎ ‎∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，‎ ‎∴∠DBO=∠BFH，‎ 又∵∠DOB=∠BHF=90°，‎ ‎∴△BOD∽△FHB，‎ ‎∴===2，‎ ‎∴FH=2，OD=2BH，‎ ‎∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，‎ ‎∴四边形OEFH是矩形，‎ ‎∴OE=FH=2，‎ ‎∴EF=OH=4﹣OD，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴2+OD=4﹣OD，‎ 解得：OD=，‎ ‎∴点D的坐标为（0，），‎ ‎∴直线CD的解析式为y=x+，‎ 由得：，‎ 则点P的坐标为（2，2）；‎ 当=时，‎ 连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，‎ 而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，‎ ‎∵∠DEP=∠DPA，‎ ‎∴∠DBE=∠DAP=45°，‎ ‎∴△DEF是等腰直角三角形，‎ 过点F作FG⊥OB于点G，‎ 同理可得：△BOD∽△FGB，‎ ‎∴===，‎ ‎∴FG=8，OD=BG，‎ ‎∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，‎ ‎∴四边形OEFG是矩形，‎ ‎∴OE=FG=8，‎ ‎∴EF=OG=4+2OD，‎ ‎∵DE=EF，‎ ‎∴8﹣OD=4+2OD，‎ OD=，‎ ‎∴点D的坐标为（0，﹣），‎ 直线CD的解析式为：y=﹣x﹣，‎ 由得：，‎ ‎∴点P的坐标为（8，﹣4），‎ 综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．‎ 点评：‎ 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是一次函数、矩形的性质、圆的性质，关键是综合运用有关知识作出辅助线，列出方程组．‎ ‎　‎