数学卷·2018届河北省邯郸市广平一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河北省邯郸市广平一中高二上学期第三次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎2．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）‎ ‎3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0‎ ‎4．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎6．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎7．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎8．不等式的解集是（　　）‎ A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}‎ ‎9．设焦点在x轴上的椭圆的离心率为e，且，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B． C． D．（0，2）‎ ‎10．曲线y=在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣‎ ‎11．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（　　）‎ A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1‎ ‎12．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则a=　　．‎ ‎14．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，点P在x轴的上方，求点P的坐标　　．‎ ‎15．若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为　　．‎ ‎16．曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，18题10分，19至20题每题12分，21至22每题13分共70分）‎ ‎17．已知a＞0，b＞0，且．‎ ‎（1）求ab的最小值；‎ ‎（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相应的取值．‎ ‎18．求下列函数的导数 ‎（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）‎ ‎（2）．‎ ‎19．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asinB=b．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若b=1，a=，求S△ABC．‎ ‎20．已知数列{an}，其前n项和为 ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式an．‎ ‎21．已知抛物线的标准方程是y2=6x，‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省邯郸市广平一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（　　）‎ A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1‎ C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=‎ ‎【考点】四种命题间的逆否关系．‎ ‎【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．‎ ‎【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，±2） D．（1，±2）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】确定抛物线y2=4x的准线方程，利用抛物线的定义，可求A点的横坐标，即可得出A的坐标．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．‎ 设A（x，y），‎ ‎∵|AF|=3，‎ ‎∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴A的坐标为（2，）．‎ 故选：C，‎ ‎　‎ ‎3．已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≥0，则¬p是（　　）‎ A．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0 B．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）≤0‎ C．∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0 D．∀x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】由全称命题的否定是特称命题，写出命题p的否定¬p来．‎ ‎【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；‎ 命题p的否定是¬p：‎ ‎∃x1，x2∈R，（f（x1）﹣f（x2））（x1﹣x2）＜0．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：若a=﹣4，b=1，满足a+b≤2，但a≤1且b≤1不成立，即充分性不成立，‎ 若a≤1且b≤1，则a+b≤2成立，即必要性不成立，‎ 故“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．‎ ‎【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．‎ 对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．‎ ‎∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】令﹣=0，可得双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：令﹣=0，可得y=±x，即双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．‎ ‎【解答】解：画出可行域（如下图），由z=x﹣y可得y=x﹣z 则﹣z为直线y=x﹣z在y轴上的截距，截距越小，z越大 由图可知，当直线l经过点C（2，0）时，‎ z最大，且最大值为zmax=2‎ 故选C ‎　‎ ‎8．不等式的解集是（　　）‎ A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集．‎ ‎【解答】解：不等式，‎ 移项得：，即≤0，‎ 可化为：或 ‎ 解得：≤x＜2，‎ 则原不等式的解集为：≤x＜2‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．设焦点在x轴上的椭圆的离心率为e，且，则实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B． C． D．（0，2）‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】焦点在x轴上的椭圆中a2=4，b2=k，4＞k＞0，e2=⇒k的范围，‎ ‎【解答】解：焦点在x轴上的椭圆中a2=4，b2=k，4＞k＞0，‎ e2=⇒0＜k＜3‎ 则实数k的取值范围（0，3），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．曲线y=在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（　　）‎ A．1 B． C． D．﹣‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求切线的倾斜角的大小，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而求出倾斜角．‎ ‎【解答】解：y'=x ‎∴当x=1时，y'=1，得切线的斜率为1，所以k=1，‎ 设切线的倾斜角为α，0≤α＜π ‎∴tanα=1，‎ ‎∴α=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．经过点（1，），渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切的双曲线的标准方程为（　　）‎ A．x2﹣8y2=1 B．2x2﹣4y2=1 C．8y2﹣x2=1 D．4x2﹣2y2=1‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0），利用渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（1，），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设双曲线的渐近线方程为mx±ny=0（m＞0，n＞0）‎ ‎∵渐近线与圆（x﹣3）2+y2=1相切，‎ ‎∴=1，‎ ‎∴n=2m，∴渐近线方程为x±2y=0‎ ‎∴双曲线方程设为x2﹣8y2=λ，‎ 代入点（1，），可得λ=1﹣2=﹣1，‎ ‎∴双曲线方程为8y2﹣x2=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，O是坐标原点，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D的坐标为（1，3），则p=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用OD⊥AB，可求直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合OA⊥OB，利用向量的数量积公式，即可求出p的值．‎ ‎【解答】解：∵OD⊥AB，∴kOD•kAB=﹣1．‎ 又kOD=3，∴kAB=﹣，‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣1），‎ 即为y=﹣+，‎ 设A（x1，x2），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，‎ 又x1x2+y1y2=x1x2+（﹣x1+）（﹣x2+）‎ ‎=x1x2﹣（x1+x2）+，‎ 联立直线方程和抛物线方程，消y可得x2﹣（+2p）x+=0①‎ ‎∴x1+x2=20+18p，x1x2=100，‎ ‎∴x1x2+y1y2=×100﹣×（20+18p）+=0，‎ ‎∴p=5，‎ 当p=5时，方程①成为x2﹣110x+100=0显然此方程有解．‎ ‎∴p=5成立．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则a=　2　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意与椭圆方程得到椭圆的长半轴长和短半轴长，再由长轴长是短轴长的两倍，列式求得a的值．‎ ‎【解答】解：∵椭圆+x2=1（a＞0）的焦点在y轴上，∴a＞1，‎ ‎∵椭圆的长半轴长为a，短半轴长为1，长轴长是短轴长的两倍，得a=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于4，点P在x轴的上方，求点P的坐标　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：c=4，|F1F2|=2c=8，设P（x0，y0），y0＞0，则三角形PF1F2的面积S=|F1F2|•|y0|=•8•|y0|=4|y0|=4，求得y0=1，代入即可求得x0，即可求得点P的坐标．‎ ‎【解答】解：椭圆，a=5，b=3，则c=4，|F1F2|=2c=8，‎ 由点P在x轴的上方，设P（x0，y0），y0＞0，则三角形PF1F2的面积S=|F1F2|•|y0|=•8•|y0|=4|y0|=4，‎ ‎∴|y0|=1，y0=1，‎ y0=1时， +=1，解得：x0=±，‎ ‎∴P（±，1），‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为　2　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【分析】先根据数列的第一项和第五项的值，求得公比q，进而通过等比数列的通项公式求得第三项b．‎ ‎【解答】解：依题意可知a1=1，a5=4‎ ‎∴=q4=4‎ ‎∴q2=2‎ ‎∴b=a1q2=2‎ 故答案为2‎ ‎　‎ ‎16．曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于　　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决．‎ ‎【解答】解：依题意得y′=2x+ex，‎ 因此曲线y=x2+ex在（0，1）处的切线的斜率等于1，‎ 相应的切线方程是y=x+1，‎ 当x=0时，y=1，y=0时，x=﹣1，‎ ‎∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：‎ S==．‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（17题10分，18题10分，19至20题每题12分，21至22每题13分共70分）‎ ‎17．已知a＞0，b＞0，且．‎ ‎（1）求ab的最小值；‎ ‎（2）求a+2b的最小值，并求出a，b相应的取值．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．‎ ‎【分析】（1）根据题意，由基本不等式的性质可得2=（+）≥2，将其化简变形可得ab≥1，即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，a+2b=（a+2b）（+），进而变形可得（a+2b）（+）=（5++），由基本不等式的性质计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由a＞0，b＞0，且．‎ 可得2=（+）≥2，变形可得ab≥1，‎ 当且仅当b=a=1时取得等号，‎ 则ab的最小值为1；‎ ‎（2）a+2b=（a+2b）（+）=（3++）≥（3+2）=；‎ 等号成立的充要条件是a=b，‎ ‎∴a+2b的最小值为；此时a=b．‎ ‎　‎ ‎18．求下列函数的导数 ‎（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）‎ ‎（2）．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据函数的导数公式分别进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）y=（x+1）（x+2）（x+3）=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，‎ 则y′=3x2+12x+11．‎ ‎（2）．‎ ‎　‎ ‎19．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，已知2asinB=b．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若b=1，a=，求S△ABC．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据已知和正弦定理，确定出sinA的值，进而确定角A的大小．‎ ‎（2）根据正弦定理，可求sinB，进而确定B的大小，再根据三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）由2asinB=b，‎ 可得，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∵A为锐角，‎ ‎∴A=60°．‎ ‎（2）∵b=1，a=，A=60°，‎ ‎∴由，可得：，解得：sinB=，‎ ‎∴在锐角△ABC中，B=30°，C=180°﹣A﹣B=90°，‎ ‎∴S△ABC=ab==．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}，其前n项和为 ‎（Ⅰ）求a1，a2，a3；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式an．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】通过与Sn+1=（n+1）2+（n+1）作差、计算即得结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴Sn+1=（n+1）2+（n+1），‎ 两式相减得：an+1=Sn+1﹣Sn ‎=（n+1）2+（n+1）﹣（n2+n）‎ ‎=2（n+1），‎ 又∵a1=12+1=2满足上式，‎ ‎∴an=2n，‎ ‎∴a1=2，a2=4，a3=6；‎ ‎（Ⅱ）由（I）知数列{an}的通项公式an=2n．‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线的标准方程是y2=6x，‎ ‎（1）求它的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的长度．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，‎ ‎（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=‎ ‎∴焦点为F（，0），准线方程：x=﹣，‎ ‎（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，‎ ‎∴直线L的方程为y=x﹣，‎ 代入抛物线y2=6x化简得x2﹣9x+=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，‎ 所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．‎ 故所求的弦长为12．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2‎ ‎），把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，‎ ‎∴=1， =，‎ ‎∴a=2，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=．‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，‎ 由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得4k2+8mkx+3m2=0‎ ‎∴m=﹣2k（舍去），m=﹣k，‎ ‎∴直线AB的方程为y=k（x﹣），所以过定点（，0）．‎ ‎　‎