2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第7节解三角形的实际应用举例

2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：三角函数、解三角形第7节解三角形的实际应用举例

第七节 解三角形的实际应用举例 [最新考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算 有关的实际问题． 测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯 角 在目标视线与水平视线所成的角中，目 标视线在水平视线上方的叫做仰角，目 标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到 目标方向线之间的夹角叫做方位角．方 位角θ的范围是 0°≤θ＜360° 方向角 相对于某正方向的水平角，如北偏东α， 即由正北方向顺时针旋转α到达目标方 向，南偏西α，即由正南方向顺时针旋 转α到达目标方向，其他方向角类似 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝ 180°. ( ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0，π 2 . ( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系． ( ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是 0，π 2 . ( ) [答案](1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编 1．如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C， 测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为 ________m. 50 2 [由正弦定理得 AB sin∠ACB ＝ AC sin B ，又∵B＝30°， ∴AB＝ACsin∠ACB sin B ＝ 50× 2 2 1 2 ＝50 2(m)．] 2.如图，在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 30°，沿倾斜角为 15°的斜坡向上走 a 米到 B， 在 B 处测得山顶 P 的仰角为 60°，则山高 h＝________米． 2 2 a [由题图可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，△PAB 中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， ∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°， ∴ a sin 30° ＝ PB sin 15° ，∴PB＝ 6－ 2 2 a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝ 6－ 2 2 a×sin 60°＋asin 15°＝ 2 2 a.] 3.如图所示，D，C，B 三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从 C，D 两点测得 A 点的仰 角分别为 60°，30°，则 A 点离地面的高度 AB＝________. 3 2 a [由已知得∠DAC＝30°，△ADC 为等腰三角形，AC＝a，所以在 Rt△ACB 中，AB ＝AC·sin∠ACB＝ 3 2 a.] ⊙考点 1 解三角形中的实际问题 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤 (1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图． (2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形 中，建立一个解斜三角形的数学模型． (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． (1)江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台 顶部测得俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距 ________m. (2)如图，高山上原有一条笔直的山路 BC，现在又新架设了一条索道 AC，小李在山脚 B 处看索道 AC，发现张角∠ABC＝120°；从 B 处攀登 400 米到达 D 处，回头看索道 AC，发现 张角∠ADC＝150°；从 D 处再攀登 800 米可到达 C 处，则索道 AC 的长为________米． (1)10 3 (2)400 13 [(1)如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)， ON＝AOtan 30°＝ 3 3 ×30 ＝10 3(m)， 在△MON 中，由余弦定理得， MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 3 2 ＝ 300＝10 3(m)． (2)在△ABD 中，BD＝400 米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所 以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得 BD sin∠DAB ＝ AD sin∠ABD ，所以 400 sin 30° ＝ AD sin 120° ，得 AD＝400 3(米)． 在 △ADC 中 ， DC ＝ 800 米 ， ∠ADC ＝ 150° ， 由 余 弦 定 理 得 AC2 ＝ AD2 ＋ CD2 － 2·AD·CD·cos∠ADC＝(400 3)2＋8002－2×400 3×800×cos 150°＝4002×13，解得 AC ＝400 13(米)．故索道 AC 的长为 400 13米．] (1)实际测量中的常见问题 求 AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高 度 底部 可达 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形 AB＝atan α 底部不 可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形 AB＝ atan αtan β tan β－tan α 求水平距 离 山两侧 ∠ACB＝α， AC＝b， BC＝a 用余弦定理 AB＝ a2＋b2－2abcos α 河两岸 ∠ACB＝α， ∠ABC＝β， CB＝a 用 正 弦 定 理 AB ＝ asin α sin α＋β 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β， ∠BCD＝δ，∠ACD＝γ， CD＝a 在 △ADC 中 ， AC ＝ asin α sin α＋γ ； 在△BDC 中， BC＝ asin β sin β＋δ ； 在△ABC 中，应用 余弦定理求 AB (2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)，并且条件对应好(仰角、俯 角、方向角等)． 1.一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60°的 方向上，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°的方向上，这时船与灯塔 的距离为________km. 30 2 [如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得 BC sin 30° ＝ AC sin 45° ， ∴BC＝30 2(km)．] 2.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相 距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心 立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船， 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，则 cos θ的 值为________． 21 14 [在△ABC 中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800， 得 BC＝20 7. 由正弦定理，得 AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ， 即 sin∠ACB＝AB BC ·sin∠BAC＝ 21 7 . 由∠BAC＝120°，知∠ACB 为锐角， 则 cos∠ACB＝2 7 7 . 由θ＝∠ACB＋30°，得 cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝ 21 14 .] ⊙考点 2 平面几何中的解三角形问题 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到 三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定 理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ABC＝3π 4 ，AB⊥AD，AB＝1. (1)若 AC＝ 5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC＝π 6 ，CD＝4，求 sin∠CAD. [解](1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC， 即 5＝1＋BC2＋ 2BC，解得 BC＝ 2， 所以△ABC 的面积 S△ABC＝1 2 AB·BC·sin∠ABC＝1 2 ×1× 2× 2 2 ＝1 2 . (2)设∠CAD＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得 AC sin∠ADC ＝ CD sin∠CAD ，即 AC sin π 6 ＝ 4 sin θ ， ① 在△ABC 中，∠BAC＝π 2 －θ，∠BCA＝π－3π 4 － π 2 －θ ＝θ－π 4 ， 由正弦定理得 AC sin∠ABC ＝ AB sin∠BCA ， 即 AC sin3π 4 ＝ 1 sin θ－π 4 ， ② ①②两式相除，得 sin3π 4 sin π 6 ＝4sin θ－π 4 sin θ ， 即 4 2 2 sin θ－ 2 2 cos θ ＝ 2sin θ，整理得 sin θ＝2cos θ. 又因为 sin2θ＋cos2θ＝1， 所以 sin θ＝2 5 5 ，即 sin∠CAD＝2 5 5 . 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四 边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． 如图，在平面四边形 ABCD 中，0＜∠DAB＜π 2 ，AD＝2，AB＝3，△ABD 的面积为3 3 2 ， AB⊥BC. (1)求 sin∠ABD 的值； (2)若∠BCD＝2π 3 ，求 BC 的长． [解](1)因为△ABD 的面积 S＝1 2 AD×ABsin∠DAB＝1 2 ×2×3sin∠DAB＝3 3 2 ， 所以 sin∠DAB＝ 3 2 . 又 0＜∠DAB＜π 2 ，所以∠DAB＝π 3 ，所以 cos∠DAB＝cos π 3 ＝1 2 . 由余弦定理得 BD＝ AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB＝ 7， 由正弦定理得 sin∠ABD＝ADsin∠DAB BD ＝ 21 7 . (2)因为 AB⊥BC，所以∠ABC＝π 2 ， sin∠DBC＝sin π 2 －∠ABD ＝cos∠ABD＝ 1－sin2∠ABD＝2 7 7 . 在△BCD 中，由正弦定理 CD sin∠DBC ＝ BD sin∠DCB 可得 CD＝BDsin∠DBC sin∠DCB ＝4 3 3 . 由余弦定理 DC2＋BC2－2DC·BCcos∠DCB＝BD2， 可得 3BC2＋4 3BC－5＝0，解得 BC＝ 3 3 或 BC＝－5 3 3 (舍去)． 故 BC 的长为 3 3 . ⊙考点 3 与三角形有关的最值(范围)问题 解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式 子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化 为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角 形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过 大． (1)(2019·安徽六安模拟)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2a－c b ＝ cos C cos B ，b＝4，则△ABC 的面积的最大值为( ) A．4 3 B．2 3 C．2 D. 3 (2)(2019·福建漳州二模)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 3acos A ＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则 a 的最小值为( ) A．1 B. 3 C．2 D．3 (1)A (2)B [(1)∵在△ABC 中，2a－c b ＝cos C cos B ， ∴(2a－c)cos B＝bcos C， ∴(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A， ∴cos B＝1 2 ，即 B＝π 3 ，由余弦定理可得 16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac， ∴ac≤16，当且仅当 a＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积 S＝1 2 acsin B＝ 3 4 ac≤4 3.故选 A. (2)在△ABC 中，∵3acos A＝bcos C＋ccos B， ∴3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，即 3sin Acos A＝sin A，又 A∈(0，π)，∴sin A≠0，∴cos A＝1 3 . ∵b＋c＝3，∴两边平方可得 b2＋c2＋2bc＝9，由 b2＋c2≥2bc，可得 9≥2bc＋2bc＝4bc， 解得 bc≤9 4 ，当且仅当 b＝c 时等号成立，∴由 a2＝b2＋c2－2bccos A，可得 a2＝b2＋c2－2 3 bc ＝(b＋c)2－8bc 3 ≥9－8 3 ×9 4 ＝3，当且仅当 b＝c 时等号成立，∴a 的最小值为 3.故选 B.] 求解三角形中的最值、范围问题的两个注意点 (1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知 边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如 A＋B＋C＝π，0＜A＜ π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 1.在钝角△ABC 中 ，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，B 为钝角，若 acos A＝ bsin A，则 sin A＋sin C 的最大值为( ) A. 2 B.9 8 C．1 D.7 8 B [∵acos A＝bsin A，由正弦定理可得，sin Acos A＝sin Bsin A，∵sin A≠0， ∴cos A＝sin B，又 B 为钝角， ∴B＝A＋π 2 ，sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin A＋1－2sin2A ＝－2 sin A－1 4 2 ＋9 8 ， ∴sin A＋sin C 的最大值为9 8 .] 2．在△ABC 中，b＝ 3，B＝60°. (1)求△ABC 周长 l 的范围； (2)求△ABC 面积最大值． [解](1)l＝ 3＋a＋c， b2＝3＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac， ∴(a＋c)2－3ac＝3， ∵(a＋c)2－3＝3ac≤3× a＋c 2 2 ， ∴a＋c≤2 3， 当仅仅当 a＝c 时，取“＝”， 又∵a＋c＞ 3， ∴2 3＜l≤3 3. (2)∵b2＝3＝a2＋c2－ac≥2ac－ac， ∴ac≤3， 当且仅当 a＝c 时，取“＝”， S△ABC＝1 2 acsin B≤1 2 ×3×sin 60°＝3 3 4 ， ∴△ABC 面积最大值为3 3 4 . [教师备选例题] 设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝btan A，且 B 为钝角． (1)证明：B－A＝π 2 ； (2)求 sin A＋sin C 的取值范围． [解](1)证明：由 a＝btan A 及正弦定理， 得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ， 所以 sin B＝cos A，即 sinB＝sin π 2 ＋A . 因为 B 为钝角，所以 A 为锐角， 所以π 2 ＋A∈ π 2 ，π ， 则 B＝π 2 ＋A，即 B－A＝π 2 . (2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－ 2A＋π 2 ＝π 2 －2A＞0，所以 A∈ 0，π 4 . 于是 sin A＋sin C＝sin A＋sin π 2 －2A ＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 ＝－2 sin A－1 4 2 ＋9 8 . 因为 0＜A＜π 4 ，所以 0＜sin A＜ 2 2 ， 因此 2 2 ＜－2 sin A－1 4 2 ＋9 8 ≤9 8 . 由此可知 sin A＋sin C 的取值范围是 2 2 ，9 8 .