天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

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天津市耀华中学2020届高三上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

天津市耀华中学2019年高三年级第一学期一月考 数学试卷 一.选择题:在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为,,,所以,因为 且,所以 ,,故选D.‎ ‎2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )‎ A. ,xR B. ,xR且x≠0‎ C. ,xR D. ,xR ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】首先判断奇偶性:A,B为偶函数,C为奇函数,D既不是奇函数也不是偶函数,所以排除C、D,‎ 对于先减后增,排除A,故选B.‎ 考点:函数的奇偶性、单调性.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ - 20 -‎ ‎3.设a=log36,b=log510,c=log714,则 (  ).‎ A. c>b>a B. b>c>a C. a>c>b D. a>b>c ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:,,;且;.‎ 考点:对数函数的单调性.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎4.“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 或,从而明确充分性与必要性.‎ ‎【详解】,‎ 由可得:或,‎ 即能推出,‎ 但推不出 ‎∴“”是“”的必要不充分条件 故选 ‎【点睛】本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.‎ ‎5.已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足,且 - 20 -‎ ‎,则a=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理化边为角可得,整理后可求得,则,再利用正弦定理求解即可 ‎【详解】由题,利用正弦定理可得,‎ 即,‎ 则,‎ 所以,即,‎ 因为在中,,所以,则,‎ 又因为,所以,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查利用正弦定理化边为角,考查利用正弦定理解三角形 ‎6.已知是函数的一个零点,若,则( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化是函数的一个零点为是函数与 - 20 -‎ 的交点的横坐标,画出函数图像,利用图像判断即可 ‎【详解】因为是函数的一个零点,则是函数与的交点的横坐标,画出函数图像,如图所示,‎ 则当时,在下方,即;‎ 当时,在上方,即,‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查函数的零点问题,考查数形结合思想与转化思想 ‎7.已知函数的最小正周期是,若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图像( )‎ A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可 ‎【详解】由题,因为最小正周期为,所以,‎ - 20 -‎ 则平移后的图像的解析式为,‎ 此时函数是奇函数,所以,‎ 则,‎ 因为,当时,,‎ 所以,‎ 令,则,即对称点为;‎ 令,则对称轴为,‎ 当时,,‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性 ‎8.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵f(x)=ex(sinx+acosx)在上单调递增, ∴f′(x)=ex[(1-a)sinx+(1+a)cosx]≥0在上恒成立, ∵ex>0在上恒成立, ∴(1-a)sinx+(1+a)cosx≥0在上恒成立, ∴a(sinx-cosx)≤sinx+cosx在上恒成立 ‎ - 20 -‎ ‎∴ , 设g(x)= ∴g′(x)在上恒成立, ∴g(x)在上单调递减, ∴g(x)>=1, ∴a≤1, 故选A.‎ 点睛:本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系,利用导数研究函数的单调性,关键是分离参数,构造函数,利用导数求出函数的最值,属于中档题,正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.‎ ‎9.已知菱形的边长为2,,点分别在边上,,.若,则等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:,,即①,同理可得②,①+②得,故选C.‎ 考点:1.平面向量共线充要条件;2.向量的数量积运算.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ 二、填空题 ‎10.若复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为______‎ - 20 -‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将整理为的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可 ‎【详解】由题,,‎ 因为是纯虚数,所以,‎ 故答案为:0‎ ‎【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用 ‎11.的展开式中的系数是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题得的展开式的通项公式为 令, 故,故的展开式中的系数是24, 故填24.‎ ‎12.如图,正方体的棱长为1,E为棱上的点,为AB的中点,则三棱锥的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:.‎ 考点:1.三棱锥的体积;2.等体积转化法.‎ ‎13.数列中,已知,则=______‎ ‎【答案】-1‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式可得数列具有周期性,,则,进而求得即可 ‎【详解】由题,,所以;‎ ‎,所以数列具有周期性,,‎ 因为,则,‎ 当时,,所以,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查数列的周期性的应用,考查赋值法的应用 ‎14.不等式对任意正数x、y恒成立,则正数的最小值是______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件转化为对任意正数x、y恒成立,利用均值定理求解即可 ‎【详解】由题,则对任意正数x、y恒成立,‎ 因为,‎ 所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以,即,‎ 故答案为:2‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题,考查利用均值定理求最值,考查转化思想 ‎15.设是定义在R上的两个函数,满足, 满足 - 20 -‎ ‎,且当时,,.若在区间上,关于的方程有8个不同的实数根,则k的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可得是周期为4的函数,是周期为2的函数,转化方程有8个不同的实数根为与在内有8个交点,利用函数图像求解即可 ‎【详解】由题,,所以的周期为;‎ 因为,则的周期为2;‎ 当时,,则的图像为以为圆心,半径为1的在轴上方的半圆;由,则当时,是以为圆心, 半径为1的在轴下方的半圆,‎ 由周期性画出部分图像,如图所示,即时与在内有2个交点,‎ 因为关于的方程有8个不同的实数根,则时与在内需有6个交点,则 ‎①令与圆相切,此时有一个交点,则,则 - 20 -‎ ‎(与上半圆相切)或(与下半圆相切);‎ ‎②令过,此时有2个交点,则;令过,此时有2个交点,则;‎ 假设在时有2个交点,即与圆的上半圆有2个交点,则,由函数的周期性,则在内有6个交点;‎ 当时,图像为圆的下半圆向右平移2个单位得到,则当时,与圆的下半圆有2个交点,由的周期为2,则当时,与也有2个交点,同理,则在内有6个交点;‎ 综上,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查已知零点个数求参数范围问题,考查函数周期性的应用,考查数形结合思想 三、解答题:解答时应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎16.某校为了普及环保知识,增强学生的环保意识,在全校组织了一次有关环保知识的竞赛,经过初赛、复赛,甲、乙两个代表队(每队人)进入了决赛,规定每人回答一个问题,答对为本队赢得分,答错得分,假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中人答对的概率分別为,且各人回答正确与否相互之间没有影响,用表示乙队的总得分.‎ ‎(1)求的分布列;‎ ‎(2)求甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.‎ ‎【答案】(1)分布列见解析;(2).‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【详解】试题分析:(1)由题意知,可能取值为,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列;(2)由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”,可知、互斥.利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率.‎ 试题解析:(1)由题意知,的可能取值为由于乙队人答对的概率分别为,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,的分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)由表示“甲队得分等于乙队得分等于”,表示“甲队得分等于乙队得分等于”, 可知互斥, 又,则甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率为.‎ 考点:古典概型;离散型随机变量的分布列.‎ ‎17.如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且 - 20 -‎ ‎.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值;‎ ‎(3)设为棱上的点(不与,重合),且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2);(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)建立适当的空间直角坐标系,确定各点坐标,得到,,根据线面垂直的判定定理,即可证明.‎ ‎(2)由(1)可知,平面的法向量,确定平面的法向量,根据,求解即可.‎ ‎(3)设,确定,,根据直线与平面所成角的正弦值为,求解,即可.‎ ‎【详解】(1)因为平面,平面,平面 所以,‎ 因为 则以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ - 20 -‎ 由已知可得,,,,,.‎ 所以,,.‎ 因为,.‎ 所以,‎ 又,平面,平面.‎ 所以平面.‎ ‎(2)设平面的法向量,由(1)可知,‎ 设平面的法向量 因为,.‎ 所以,即 不妨设,得.‎ 所以二面角余弦值为.‎ ‎(3)设,即.‎ 所以,即.‎ - 20 -‎ 因为直线与平面所成角的正弦值为 所以 即解得 即.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量在立体几何中的应用,属于较难题.‎ ‎18.正项等比数列的前n项和记为,‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)等差数列的各项为正,且,又成等比数列,设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用求得,进而求得通项公式;‎ ‎(2)利用等比中项可得,设,代入可得,则,进而利用错位相减法求解即可 ‎【详解】(1)设公比,则,得或,‎ ‎,‎ ‎;‎ ‎(2)设公差为d,,可设,‎ 又由(1),,‎ - 20 -‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或,‎ 等差数列的各项为正,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的通项公式,考查等比中项的应用,考查错位相减法求数列的和 ‎19.设椭圆的左、右焦点分别为,左顶点为A,左焦点到左顶点的距离为1,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆M的方程;‎ ‎(2)过点A作斜率为k的直线与椭圆M交于另一点B,连接并延长交椭圆M于点C.若,求k的值.‎ - 20 -‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题可得,解得,进而求得椭圆方程即可;‎ ‎(2)联立直线与椭圆,可得点,进而得到直线,联立直线与直线可得,将点坐标代入椭圆方程中,即可解得的值 详解】(1)设椭圆左焦点,依题意,,‎ 解得,,‎ 则椭圆方程为:;‎ ‎(2)由(1)得,,由题 ,则直线AB的方程为,‎ 联立,消去y,得,‎ 设,,即,‎ 由(1)得,,,,‎ 直线,直线,‎ 联立,解得,‎ 代入,得,解得,即 ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆与直线的位置关系的应用,考查运算能力 - 20 -‎ ‎20.已知,函数.‎ ‎(1)若,证明:函数在区间上是单调增函数;‎ ‎(2)求函数在区间上的最大值;‎ ‎(3)若函数的图像过原点,且的导数,当时,函数过点的切线至少有2条,求实数的值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)当时,最大值为;当时,最大值为(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题,利用导函数求单调区间即可;‎ ‎(2)利用导数可以推导得到在区间上是减函数,在区间上是增函数,则当时,的最大值为和中的最大值,作差可得,设,再次利用导数推导的单调性,进而得到上的最大值;‎ ‎(3)由题可得,设切点为,则处的切线方程为:,将代入可得,则将原命题等价为关于的方程至少有2个不同的解,设,进而利用导函数判断的单调性,从而求解即可 ‎【详解】(1)证明:,则,‎ 当时,,‎ - 20 -‎ ‎,即此时函数在区间上是单调增函数.‎ ‎(2)由(1)知,当时,函数在区间上是单调增函数,‎ 当时,,则,,则在区间上是单调减函数;‎ 同理,当时,在区间上是单调增函数,在区间上是单调减函数;‎ 即当,且时,在区间上是减函数,在区间上是增函数,‎ 则当时,的最大值为和中的最大值,‎ ‎,‎ 令,‎ 则,‎ 在上为增函数,‎ ‎,‎ 当时,,即,此时最大值为;‎ 当时,,即,此时最大值为.‎ ‎(3),‎ ‎,‎ 的图像过原点,‎ ‎,即,则,‎ 设切点为,则处的切线方程为:,‎ - 20 -‎ 将代入得,‎ 即(※),‎ 则原命题等价为关于的方程(※)至少有2个不同的解,‎ 设,‎ 则,‎ 令,,‎ ‎,‎ 当和时,,此时函数为增函数;‎ 当时,,此时函数减函数,‎ 的极大值为,‎ 的极小值为,‎ 设,则,则原命题等价为,即对恒成立,‎ 由得,‎ 设,则,‎ 令,则,,当时,;当时,,‎ 即在上单调递增,在上单调递减,‎ - 20 -‎ 的最大值为,,‎ 故,‎ 综上所述,当时,函数过点的切线至少有2条,此时实数m的值为 ‎【点睛】本题考查利用导函数证明函数的单调性,考查利用导函数求最值,考查导数的几何意义的应用,考查运算能力,考查分类讨论思想和转化思想 - 20 -‎
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