三维设计高考物理广东专版一轮复习教师用书 曲线运动 抛体运动与圆周运动
第四章 曲线运动 抛体运动与圆周运动
[学习目标定位]
考 纲 下 载
考 情 上 线
1.运动的合成与分解(Ⅱ)
2．抛体运动(Ⅱ)
3．匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)
4．匀速圆周运动的向心力(Ⅱ)
5．离心现象(Ⅰ)
高考
地位
高考对本章中知识点考查频率较高的是平抛运动、圆周运动。单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合常以计算题的形式出现。
考点
点击
1.平抛运动规律及研究方法。
2．圆周运动的角速度、线速度、向心加速度，以及竖直平面内的圆周运动，常综合考查牛顿第二定律、机械能守恒定律或能量守恒定律。
第1单元曲线运动__运动的合成与分解
曲 线 运 动
[想一想]
如图4－1－1是一位跳水运动员从高台做“反身翻腾二周半”动作时头部的运动轨迹，最后运动员沿竖直方向以速度v入水。整个运动过程中在哪几个位置头部的速度方向与入水时v的方向相同？在哪几个位置与v的方向相反？把这些位置在图中标出来。
图4－1－1
提示：头部的速度方向为头部运动轨迹在各点的切线方向，如图所示，A、C两位置头部速度方向与v方向相同，B、D
两位置头部速度方向与v方向相反。
[记一记]
1．速度方向
质点在某一点的瞬时速度的方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
[试一试]
1．[多选]物体在光滑水平面上受三个水平恒力(不共线)作用处于平衡状态，如图4－1－2所示，当把其中一个水平恒力撤去时(其余两个力保持不变)，物体将( )
图4－1－2
A．物体一定做匀加速直线运动
B．物体可能做匀变速直线运动
C．物体可能做曲线运动
D．物体一定做曲线运动
解析：选BC 物体原来受三个力作用处于平衡状态，现在撤掉其中一个力，则剩下两个力的合力与撤掉的力等大反向，即撤掉一个力后，合力为恒力，如果物体原来静止，则撤掉一个力后将做匀加速直线运动，选项B正确；如果物体原来做匀速直线运动，撤掉一个力后，若速度与合力不共线，则物体做曲线运动，若速度与合力共线，则物体将做匀变速直线运动，选项A、D错，C正确。
运动的合成与分解
[想一想]
如图4－1－3所示，红蜡块可以在竖直玻璃管内的水中匀速上升，速度为v。若在红蜡块从A点开始匀速上升的同时，玻璃管从AB位置由静止开始水平向右做匀加速直线运动，加速度大小为a。
图4－1－3
请思考：红蜡块实际参与了哪两个方向的运动？这两个运动的合运动轨迹是直线还是曲线？与图中哪个轨迹相对应？
提示：红蜡块沿竖直方向做匀速直线运动，沿水平方向做匀加速直线运动，此两运动的合运动为曲线运动，运动轨迹为图中的曲线AQC。
[记一记]
1．基本概念
分运动合运动
2．分解原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
(1)如果各分运动在同一直线上，需选取正方向，与正方向同向的量取“＋”号，与正方向反向的量取“－”号，从而将矢量运算简化为代数运算。
(2)两分运动不在同一直线上时，按照平行四边形定则进行合成，如图4－1－4所示。
图4－1－4
(3)两个分运动垂直时的合成满足：
a合＝
s合＝
v合＝
[试一试]
2．某质点的运动速度在x、y方向的分量vx，vy与时间的关系如图4－1－5所示，已知x，y方向相互垂直，则4 s末该质点的速度和位移大小各是多少？
图4－1－5
解析：4 s末，在x方向上vx＝3 m/s，x＝vxt＝12 m
在y方向上
vy＝4 m/s，a＝＝1 m/s2，y＝at2＝8 m
所以v合＝＝5 m/s
s合＝＝4 m。
答案：5 m/s 4 m
合运动的性质与轨迹判断
1.合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向曲线的“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大。
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小。
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
3．合运动与分运动的关系
(1)运动的独立性：
一个物体同时参与两个(或多个)运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理。虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
(2)运动的等时性：
各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(3)运动的等效性：
各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
(4)运动的同一性：
各分运动与合运动，是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不是几个不同物体发生的不同运动。
4．合运动性质的判断
若合加速度与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动。例如：
(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动；
(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
(3)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，则合运动为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动；
(4)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是初速度为零的匀加速直线运动。
[例1] [多选]在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点O(0,0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图象如图4－1－6甲、乙所示，下列说法中正确的是( )
图4－1－6
A．前2 s内物体沿x轴做匀加速直线运动
B．后2 s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
C．4 s末物体坐标为(4 m,4 m)
D．4 s末物体坐标为(6 m,2 m)
[审题指导]
(1)在2 s前和2 s后，物体在x轴和y轴方向上的运动规律不同。
(2)由物体在4 s末的坐标位置，可分析物体在x、y方向上的分运动并求解。
[解析] 前2 s内物体在y轴方向速度为0，由题图甲知只沿x轴方向做匀加速直线运动，A正确；后2 s内物体在x轴方向做匀速运动，在y轴方向做初速度为0的匀加速运动，加速度沿y轴方向，合运动是曲线运动，B错误；4 s内物体在x轴方向上的位移是x＝(×2×2＋2×2) m＝6 m，在y轴方向上的位移为y＝×2×2 m＝2 m，所以4 s末物体坐标为(6 m,2 m)，D正确，C错误。
[答案] AD
小船过河问题分析
1.小船过河问题分析思路
2．三种速度：
v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
3．三种过河情景分析
(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。
(2)过河路径最短(v2
v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。确定方法如下：如图4－1－7所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短。
图4－1－7
由图可知cos α＝，最短航程s短＝＝d。
[例2] 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
[解析] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。
当船头垂直河岸时，如图甲所示。
合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s。
t＝＝ s＝36 s
v＝＝ m/s
s＝vt＝90 m
(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹角α
如图乙所示，
有v2sin α＝v1，
得α＝30°
所以当船头向上游偏30°时航程最短。
s′＝d＝180 m。
t′＝＝ s＝24 s
[答案] (1)船头垂直于河岸 36 s 90 m
(2)船头向上游偏30° 24 s 180 m
解决小船过河问题应注意的问题
(1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
(2)船渡河位移最短值与v船和v水大小关系有关，v船>v水时，河宽即为最短位移，v船vB
B．vAv1
C．v2≠0 D．v2＝0
解析：选D 如图所示，分解A上升的速度v，v2＝v cos α，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，α＝90°，故v2＝0，即B的速度为零。
[随堂巩固落实]
1．电动自行车绕如图4－1－11所示的400 m标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36 km/h处不动。则下列说法中正确的是( )
图4－1－11
A．电动车的速度一直保持不变
B．电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度
C．电动车绕跑道一周需40 s，此40 s内电动车的平均速度等于10 m/s
D．跑完一圈过程中，由于电动车的速度没有发生改变，故电动车所受合力为零
解析：选B 电动车做曲线运动，速度是变化的，A错。电动车经BCD的运动为曲线运动，合力不等于零，车的加速度不为零，B对，D错。电动车跑完一周的位移为零，其平均速度为零，C错。
2．(2014·揭阳市揭东区高三期中)关于物体运动状态的改变，下列说法中正确的是( )
A．做直线运动的物体，其运动状态可能不变
B．物体的位置在不断变化，则其运动状态一定在不断变化
C．运动物体的加速度不变，则其运动状态一定不变
D．做曲线运动的物体，其运动状态也可能不变
解析：选A
运动状态指运动快慢和方向，即速度大小和方向，如果物体做匀速直线运动，速度的大小和方向都不改变，这是运动状态不变，A正确；当物体做匀速直线运动时，位置不断改变，但速度大小、方向都不变，运动状态仍不变，B错误；若运动物体有加速度，则速度会发生变化，无论加速度是否发生变化，此时运动状态一定改变，C错误；做曲线运动的物体，速度方向时刻改变，D错。
3．(2014·宁波模拟)用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图4－1－12所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是( )
图4－1－12
A．v0sin θ B.
C．v0cos θ D.
解析：选D 由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动，一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子向上的运动。而物体A实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示。由三角函数可得v＝，所以D选项是正确的。
4．(2014·湛江月考)运动员面朝对岸，以恒定的速率游向对岸，当水速突然增大时，下列说法正确的是( )
A．路程增加、时间增加 B．路程增加、时间不变
C．路程增加、时间缩短 D．路程、时间均与水速无关
解析：选B 由分运动的独立性可知，水速突然增大不影响运动员游向对岸的时间，但路程增加了。选项B正确。
5．(2015·顺德期中)一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H。车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图4－1－13所示，试求：
图4－1－13
(1)车向左运动的加速度的大小。
(2)重物m在t时刻速度的大小。
解析：(1)汽车在时间t内向左运动的位移：s＝
又汽车匀加速运动s＝at2，所以a＝＝。
(2)此时汽车的速度v汽＝at＝
由运动的分解知识可知，汽车速度v汽沿绳的分速度与重物m的速度相等，即v物＝v汽cos θ，得v物＝。
答案：见解析
[课时跟踪检测]
高考常考题型：选择题＋计算题
一、单项选择题
1．质量m＝4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O处，先用沿＋x轴方向的力F1＝8 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿＋y轴方向的力F2＝24 N作用了1 s，则质点在这3 s内的轨迹为( )
图1
解析：选D 由F1＝max得ax＝2 m/s2，质点沿x轴匀加速直线运动了2 s，x1＝axt12＝4 m，vx1＝axt1＝4 m/s；之后质点受F2作用而做类平抛运动，ay＝＝6 m/s2，质点再经过1 s，沿x轴再运动，位移x2＝vx1t2＝4 m，沿＋y方向运动位移y2＝ayt22＝3 m，对应图线可知D项正确。
2.(2015·陕西交大附中诊断)质点仅在恒力F作用下，在xOy平面内由原点O运动到A点的轨迹及在A点的速度方向如图2所示，则恒力F的方向可能沿( )
图2
A．x轴正方向 B．x轴负方向
C．y轴正方向 D．y轴负方向
解析：选A 由运动轨迹可知质点做曲线运动，质点做曲线运动时，受力的方向与速度不共线，且轨迹一定夹在受力方向和速度方向之间，受力方向指向曲线的“凹”侧，故恒力F的方向可能沿x轴正方向，故A正确。
3.小船横渡一条河，船本身提供的速度方向始终垂直于河岸方向，大小不变。已知小船的运动轨迹如图3所示，则河水的流速( )
图3
A．越接近B岸水速越小
B．越接近B岸水速越大
C．由A到B水速先增大后减小
D．水流速度恒定
解析：选C 小船的实际运动可以看做沿水流方向的直线运动和垂直河岸方向的直线运动的合运动，因为船本身提供的速度大小、方向都不变，所以小船沿垂直河岸方向做的是匀速直线运动，即垂直河岸方向移动相同位移的时间相等，根据题中小船的运动轨迹可以发现，在相同时间里，小船在水流方向的位移是先增大后减小，所以由A到B的水速应该是先增大后减小，故选项C正确。
4．(2015·化州一中月考)如图4所示，在一次消防演习中，消防队员要借助消防车上的梯子爬到高处进行救人。为了节省救援时间，当消防车匀速前进的同时，人沿倾斜的梯子匀加速向上运动，则关于消防队员的运动，下列说法中正确的是( )
图4
A．消防队员做匀加速直线运动
B．消防队员做匀变速曲线运动
C．消防队员做变加速曲线运动
D．消防队员水平方向的速度保持不变
解析：选B 由于消防队员同时参与两个分运动，由两分运动的特点可知，其合运动为匀变速运动，但轨迹为曲线，故B正确；消防队员在水平方向的速度增大，D错误。
5．一质量为2 kg的物体在5个共点力作用下做匀速直线运动。现同时撤去其中大小分别为10 N和15 N的两个力，其余的力保持不变。下列关于此后该物体运动的说法中，正确的是( )
A．可能做匀减速直线运动，加速度大小为10 m/s2
B．可能做匀速圆周运动，向心加速度大小为5 m/s2
C．可能做匀变速曲线运动，加速度大小可能为2.5 m/s2
D．一定做匀变速直线运动，加速度大小可能为10 m/s2
解析：选A 物体在5个共点力作用下处于平衡状态，合力为零，当撤去10 N和15 N的两个力时，剩余3个力的合力与这两个力的合力等大反向，即撤去力后5 N≤F合≤25 N，2.5 m/s2≤a合≤12.5 m/s2，由于剩余3个力的合力方向与原速度方向不一定在一条直线上，所以可能做匀变速曲线运动，也可能做匀变速直线运动，故A正确。
二、多项选择题
6．(2015·吴川一中月考)关于曲线运动的性质，以下说法正确的是( )
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动一定是变加速运动
C．变速运动不一定是曲线运动
D．运动物体的速度大小、加速度大小都不变的运动一定是直线运动
解析：选AC 曲线运动的速度方向是时刻发生变化的，因此是变速运动，A正确；加速度是否发生变化要看合外力是否发生变化，斜向上抛到空中的物体做曲线运动，但加速度大小不变，B错误；变速运动也可能是只有速度的大小发生变化，它就不是曲线运动，C正确；由匀速圆周运动知，D错误。
7．(2015·吉林重点中学模拟)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图5所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )
图5
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：选BC 水平风力不会影响竖直方向的运动，所以运动员下落时间与风力无关，
A错误，C正确。运动员落地时竖直方向的速度是确定的，水平风力越大，落地时水平分速度越大，运动员着地时的合速度越大，有可能对运动员造成伤害，B正确，D错误。
8．一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100 m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度vx图象和流水的速度vy图象如图6甲、乙所示，则( )
图6
A．快艇的运动轨迹为直线
B．快艇的运动轨迹为曲线
C．能找到某一位置使快艇最快到达浮标处的时间为20 s
D．快艇最快到达浮标处经过的位移为100 m
解析：选BC 快艇沿河岸方向的匀速运动与垂直于河岸的匀加速运动的合运动是类平抛性质的曲线运动。最快到达浮标处的方式是使垂直于河岸的速度vx保持图甲所示的加速度a＝0.5 m/s2的匀加速运动，则at2＝s，代入s＝100 m有t＝20 s。但实际位移为s＝>100 m，B、C正确，D项错。
三、计算题
9．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象如图7所示。
图7
(1)判断物体的运动性质；
(2)计算物体的初速度大小；
(3)计算物体在前3 s内和前6 s内的位移大小。
解析：(1)由题图可知，物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向做匀变速运动，先减速再反向加速，所以物体做匀变速曲线运动。
(2)vx0＝30 m/s，vy0＝－40 m/s，v0＝＝50 m/s
(3)x3＝vxt＝90 m，|y3|＝||t＝60 m
则s1＝＝30 m
x6＝vxt′＝180 m
y6＝ t＝×6 m＝0
则s2＝x6＝180 m
答案：(1)匀变速曲线运动 (2)50 m/s
(3)30 m 180 m
10．(2014·东莞调研)如图8所示，为一次洪灾中，德国联邦国防军的直升机在小城洛伊宝根运送砂袋。该直升机A用长度足够长的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50 kg的砂袋B，直升机A和砂袋B以v0＝10 m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，某时刻开始将砂袋放下，在5 s时间内，B在竖直方向上移动的距离以y＝t2(单位：m)的规律变化，取g＝10 m/s2。求在5 s末砂袋B的速度大小及位移大小。
图8
解析：砂袋在水平方向上做匀速直线运动，v0＝10 m/s
在竖直方向上砂袋的位移：y＝t2，即砂袋在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2
砂袋5 s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10 m/s
合速度v＝＝10 m/s
竖直方向上的位移y＝at2＝25 m
水平方向上的位移x＝v0t＝50 m
合位移s＝＝25 m。
答案：见解析
第2单元平_抛_运_动
平抛运动及其规律
[想一想]
如图4－2－1所示，甲、乙、丙三小球分别位于如图所示的竖直平面内，甲、乙在同一条竖直线上，甲、丙在同一条水平线上，P点在丙球正下方。某时刻，甲、乙、丙同时开始运动，甲以水平速度v0平抛，乙以水平速度v0沿水平面向右做匀速直线运动，丙做自由落体运动，若甲、乙、丙三球同时到达P点，试说明甲球所做的平抛运动在水平方向和竖直方向的分运动各是什么运动？
图4－2－1
提示：若甲、乙、丙三球同时到达P点，则说明甲在水平方向的运动与乙的运动相同，为匀速直线运动，甲在竖直方向的运动与丙的运动相同，为自由落体运动。
[记一记]
1．特点
(1)运动特点：初速度方向水平。
(2)受力特点：只受重力作用。
2．性质
平抛运动是加速度恒为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹为抛物线。
3．研究方法
用运动的合成与分解方法研究平抛运动。
水平方向：匀速直线运动
竖直方向：自由落体运动。
4．运动规律(如下表所示)
水平方向
vx＝v0，x＝v0t
竖直方向
vy＝gt，y＝gt2
合速度
大小
v＝＝
方向
与水平方向的夹角tan α＝＝
合位移
大小
s＝
方向
与水平方向的夹角tan θ＝＝
轨迹方程
y＝x2
[试一试]
1．(2014·汕头市金山中学高三期中)在同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出两小球A和B，其运动轨迹如图4－2－2所示，不计空气阻力。要两球在空中相碰，则( )
图4－2－2
A．球A先抛出 B．球B先抛出
C．两球同时抛出 D．两球质量相等
解析：选C 由于相遇时A、B做平抛运动的竖直位移相同，由h＝gt2，可以判断两球下落时间相同，即两球应同时抛出。
斜抛运动
[记一记]
1．概念
以一定的初速度将物体沿与水平方向成一定角度斜向抛出，物体仅在重力作用下所做的曲线运动。
2．性质
斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．基本规律
以斜向上抛为例说明，如图4－2－3所示。
图4－2－3
(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0。
(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg。
因此斜抛运动可以看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
[试一试]
2．[多选]物体以速度v0抛出做斜抛运动，则( )
A．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的
B．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
C．射高和射程都取决于v0的大小
D．v0很大，射高和射程可能很小
解析：选AD 斜抛运动整个过程中加速度恒为g
，为匀变速运动，故相等时间内速度变化量一定相同，A正确；由斜抛运动的两分运动特点知B选项错误；射高与射程不仅取决于v0的大小，还取决于抛出速度v0与水平方向的夹角大小，故C选项错误，D选项正确。
平抛运动规律的应用
1.飞行时间
t＝ ，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2．水平射程
x＝v0t＝v0 ，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
图4－2－4
3．落地速度
v＝＝，以θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关。
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图4－2－4所示。
5．两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图4－2－5甲中A点和B点所示。
图4－2－5
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示。
[例1] (2014·顺德模拟)初速度为v0的平抛物体，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法错误的是( )
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速率等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体位移大小等于
[审题指导]
(1)明确平抛运动的物体运动时间的决定因素。
(2)水平位移与初速度和下落时间的决定关系。
[解析] 设物体的运动时间为 t，根据题意可列方程 v0t＝gt2，解得t＝，可知C项正确；t＝时，竖直分速度vy＝gt＝2v0≠v0，由于vx＝v0，该时刻物体瞬时速度为v＝＝v0，可见选项A错误，B正确；t＝时，物体的水平位移与竖直位移相等，x＝v0t＝＝y。则该时刻物体位移大小为s＝＝，选项D正确。
[答案] A
(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度，也不用分解加速度。
(2)分析平抛运动时，要充分利用平抛运动中的两个矢量三角形找各量的关系。
类平抛运动问题分析
1.类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。
3．类平抛运动问题的求解思路
→→
[例2] 在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37°，如图4－2－6所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求：
图4－2－6
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2) 质点经过P点时的速度大小。
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动
质点经过O点后所做运动的初速度
沿y轴正方向恒力F＝15 N
沿y轴做初速度为零的匀加速直线运动
第二步：找突破口
要求质点从O点到P点的时间可分析沿＋x方向和＋y方向的分运动位移，利用tan α＝列方程即可。
[解析] (1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动。
由牛顿第二定律得：a＝＝ m/s2＝5 m/s2。
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，
则xP＝v0t，yP＝at2，又tan α＝
联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m。
(2)质点经过P点时沿y轴正方向的速度vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝ ＝5 m/s。
答案：(1)3 s xP＝30 m，yP＝22.5 m
(2)5 m/s
类平抛运动的两种求解技巧
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向
(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax，ay，初速度v0分解为vx，vy，然后分别在x，y方向列方程求解。
[模型概述]
平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)从斜面上抛出落在斜面上。
在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决。
方法
内容
实 例
总结
斜面
求小球平抛时间
分解速度
水平vx＝v0竖直vy＝gt合速度v＝
如图，vy＝gt，tan θ＝＝，故t＝
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平x＝v0t竖直y＝gt2合位移x合＝
如图，x＝v0t，y＝gt2，而tan θ＝，联立得t＝
分解位移，构建位移三角形
[典例] 滑雪比赛惊险刺激，如图4－2－7所示，一名跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点。已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37 °，运动员的质量m＝50 kg。不计空气阻力。(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：
图4－2－7
(1)A点与O点的距离L。
(2)运动员离开O点时的速度大小。
(3)运动员从O点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。
[解析] (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，
有Lsin 37°＝gt2，L＝＝75 m。
(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，
有 Lcos 37°＝v0t，
即v0＝＝20 m/s。
(3)法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v0cos 37°、加速度为gsin 37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v0sin 37°、加速度为gcos 37°)。
当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡距离最远，有v0sin 37°＝gcos 37°·t，解得t＝1.5 s。
法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°时，运动员与斜坡距离最远，有＝tan 37°，t＝1.5 s。
[答案] (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s
[题后悟道]
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，该类问题可有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动。
(2)物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系。
一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图4－2－8中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( )
图4－2－8
A．tan θ B．2tan θ
C. D.
解析：选D
小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位移与水平方向夹角的正切值。小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为－θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为tan(－θ)＝，D项正确。
[随堂巩固落实]
1．为了探究影响平抛运动水平射程的因素，某同学通过改变抛出点的高度及初速度的方法做了6次实验，实验数据记录如下表。以下探究方案符合控制变量法的是( )
序号
抛出点的高度/m
水平初速度/(m·s－1)
水平射程/m
1
0.20
2.0
0.40
2
0.20
3.0
0.60
3
0.45
2.0
0.60
4
0.45
4.0
1.20
5
0.80
2.0
0.80
6
0.80
6.0
2.40
A．若探究水平射程与初速度的关系，可用表中序号为1,3,5的实验数据
B．若探究水平射程与高度的关系，可用表中序号为1,3,5的实验数据
C．若探究水平射程与高度的关系，可用表中序号为2,4,6的实验数据
D．若探究水平射程与初速度的关系，可用表中序号为2,4,6的实验数据
解析：选B 控制变量法进行实验时，如果研究其中两个量的关系时，必须使其他变量为定值，因此若探究水平射程与初速度的关系，应使抛出点的高度一定，故A、D均错；若探究水平射程与高度的关系时，应使水平初速度为定值，故B对，C错。
2．(2015·茂名摸底考)如图4－2－9所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上。物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( )
图4－2－9
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
解析：选D 竖直速度与水平速度之比为：tan φ＝，竖直位移与水平位移之比为：tan θ＝，故tan φ＝2tan θ。
3．(2015·执信中学高三期中考试)如图4－2－10所示，在同一平台上的O点水平抛出的三个物体，分别落到a、b、c三点，则三个物体运动的初速度va，vb，vc的关系和三个物体运动的时间ta，tb，tc的关系是( )
图4－2－10
A．va>vb>vc ta>tb>tc
B．vatb>tc
D．va>vb>vc tatb>tc，又由v＝得var乙，试比较以下几种情况下甲、乙两物体的向心加速度大小。
①线速度相等 ②角速度相等 ③周期相等
提示：由a＝＝ω2r＝·r可知，线速度相等时，a甲a乙。
[记一记]
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：
定义、意义
公式、单位
线速度
①描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝＝
②单位：m/s
角速度
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
②中学不研究其方向
①ω＝＝
②单位：rad/s
周期和转速
①周期是物体沿圆周运动一圈的时间(T)
②转速是物体在单位时间内转过的圈数(n)，也叫频率(f)
①T＝；单位：s
②n的单位r/s，r/min
③f的单位：Hz f＝
向心加速度
①描述速度方向变化快慢的物理量(an)
②方向指向圆心
①an＝＝ω2r
②单位：m/s2
向心力
①作用效果是产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
②方向指向圆心
①Fn＝mω2r＝m＝mr
②单位：N
相互关系
①v＝rω＝＝2πrf
②an＝＝rω2＝ωv＝＝4π2f2r
③Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv＝m4π2f2r
[试一试]
1．关于质点做匀速圆周运动的下列说法正确的是( )
A．由a＝知，a与r成反比
B．由a＝ω2r知，a与r成正比
C．由ω＝知，ω与r成反比
D．由ω＝2πn知， ω与转速n成正比
解析：选D 由a＝知，只有在v一定时，a才与r成反比，如果v不一定，则a与r不成反比，同理，只有当ω一定时，a才与r成正比；v一定时，ω与r成反比；因2π是定值，故ω与n成正比，D正确。
匀速圆周运动和非匀速圆周运动
[想一想]
在圆周运动中，向心力一定指向圆心吗？合外力一定指向圆心吗？
提示：无论匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力一定指向圆心，匀速圆周运动的合外力提供向心力，一定指向圆心，非匀速圆周运动的合外力不一定指向圆心。
[记一记]
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
(3)质点做匀速圆周运动的条件：
合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。
2．非匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动。
(2)合力的作用：
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的大小。
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的方向。
[试一试]
2．[多选]如图4－3－1所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是( )
图4－3－1
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD 分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
离 心 现 象
[想一想]
如图4－3－2所示，游乐场的旋转飞椅非常刺激有趣，当转速逐渐增大时，飞椅会飘得越来越高，请思考其中的道理。
图4－3－2
提示：如图所示为飞椅受力图，由Fcos θ＝
mgFsin θ＝mω2L ·sin θ
可得：cos θ＝
可见，飞椅转速增大时，ω增大，θ增大，飞椅飘得越来越高。
[记一记]
1．离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
(3)受力特点：
①当F＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
图4－3－3
②当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
③当Fmω2r，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
[试一试]
3．下列关于离心现象的说法正确的是( )
A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析：选C 物体做匀速圆周运动时，合外力必须满足物体所需要的向心力F＝mω2r。若F＝0，物体由于惯性而沿切线飞出，若F＜mω2r，物体由于惯性而远离圆心，并不是受到离心力作用。所以A、B、D均错，C正确。
传动装置问题
1.同轴转动
各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同。由于各点半径不一定相同，线速度、向心加速度大小一般不同。
2．皮带传动
当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等。由于各点半径不同，角速度、周期、向心加速度等都不相同。
3．在传动装置中各物理量的关系
在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωr与半径r成正比，向心加速度大小a＝rω2与半径r成正比。
(2)当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝，a＝确定。
[例1] 如图4－3－4所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0 cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边沿接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35 cm，小齿轮的半径R2＝4.0 cm，大齿轮的半径R3＝10.0 cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比(假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对滑动)。
图4－3－4
[解析] 大、小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边沿各点的线速度大小相等，由v＝2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。大齿轮与小齿轮转速之间的关系为：n1∶n小＝R2∶R3。车轮与小齿轮之间的转速关系为：n车＝n小。车轮与摩擦小轮之间的关系为：n车∶n2＝r0∶R1。由以上各式可解出大齿轮和摩擦小轮之间的转速之比为：n1∶n2＝2∶175。
[答案] 2∶175
解答传动装置问题时，关键是分析传动过程的不变量。
竖直平面内的圆周运动问题
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常见两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
均是没有支撑的小球
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝m
得v临＝
由小球能运动即可得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
在最高点的FN图线
取竖直向下为正方向
取竖直向下为正方向
[例2]
长L＝0.5 m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A。A的质量为m＝2 kg，如图4－3－5所示，求在下列两种情况下，球在最高点时杆对小球的作用力：
图4－3－5
(1)A在最低点的速率为 m/s；
(2)A在最低点的速率为6 m/s。
[审题指导]
(1)小球由最低点到最高点的过程中，机械能守恒。
(2)细杆对小球作用力的方向可竖直向上，也可竖直向下。
[解析] 设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得
mv2＋mg·2L＝mv02 ①
在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示。
以A为研究对象，由牛顿第二定律得
mg＋F＝m ②
所以F＝m(－g)③
(1)当v0＝ m/s时，由①式得v＝1 m/s， ④
F＝2×(－10) N＝－16 N， ⑤
负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16 N的支持力。
(2)当v0＝6 m/s时，由①式得v＝4 m/s； ⑥
F＝2×(－10) N＝44 N。
正值说明杆对A施加的是向下44 N的拉力。
[答案] (1)16 N 方向向上 (2)44 N 方向向下
求解竖直平面内圆周运动问题的思路
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型。
(2)确定临界点：v临＝，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。
(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合＝F向。
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。
圆周运动中的临界问题
[例3]
如图4－3－6所示，细绳一端系着质量M＝0.6 kg的物体A，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3 kg的物体B，A的中点与圆孔距离为0.2 m，且A和水平面间的最大静摩擦力为2 N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω满足什么条件时，物体B会处于静止状态？(g＝10 m/s2)
图4－3－6
[审题指导]
第一步：抓关键点
关键点
获取信息
光滑小孔
细绳各处张力大小相等
最大静摩擦力为2 N
物体A刚要滑动时的摩擦力大小为2 N
物体B处于静止状态
细绳中拉力大小为mg＝3 N
第二步：找突破口
物体A刚好不向里滑和刚好不向外滑，分别对应平面转动的角速度的最小值和最大值。
[解析] 要使B静止，A应与水平面相对静止，考虑A能与水平面相对静止的两个极限状态：
当ω为所求范围的最小值时，A有向圆心运动的趋势，水平面对A的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N，此时对A有：FT－fm＝Mω12r，B静止时受力平衡，FT＝mg＝3 N，解得ω1≈2.9 rad/s
当ω为所求范围的最大值时，A有远离圆心运动的趋势，水平面对A的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2 N，此时对A有：FT＋fm＝Mω22r
解得ω2≈6.5 rad/s
故ω的范围为：2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
[答案] 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
处理临界问题的解题步骤
(1)判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，
明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
(2)确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
(3)选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对于不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
分析计算圆周运动问题时，常会遇到由重力和弹力(可以是支持力，也可以是绳子的拉力)的合力提供向心力，而在水平面上做匀速圆周运动的一类问题——圆锥摆运动。因此，掌握圆锥摆运动特征可以快速解决这一类圆周运动问题。
下面为两个常用的圆锥摆运动规律：
1．圆锥摆的向心加速度α＝gtan α
设摆球质量为m，摆线长为L，摆线与竖直方向夹角为α，由图可知，F合＝mgtan α
又F合＝ma向，故a向＝gtan α
可见摆球的向心加速度完全由α决定，与摆线长无关，即与运动的半径无关。
图4－3－7
2．圆锥摆的周期T＝2π
由F合＝m·Lsin α和F合＝mgtan α可推理得圆锥摆的周期T＝2π
设摆球圆周运动的平面到悬点的距离为h，则h＝Lcos α，
故T＝2π
由此可见，圆锥摆的周期完全由悬点到运动平面的距离决定，与小球的质量、摆线长度无关。
[典例]
[多选]如图4－3－8所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
图4－3－8
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
[解析] 根据上述规律可知，此题中的A，B两小球实际上是具有相同的向心加速度，根据a＝＝Rω2＝可知，加速度相同时，半径越大，线速度越大，角速度越小，周期越大，即由RA>RB，可知vA>vB，ωA<ωB，TA>TB，则选项A、B正确，C错误。由于A、B质量相同，在相同的倾斜面上，则向心力相等，进一步可知两球所受的弹力相等，故可知选项D错误。
[答案] AB
[题后悟道] 比较两个圆周运动的各物理量之间关系时，实际上就是找出两个圆周运动之间存在的隐含的相同因素，然后用控制变量法即可判断各物理量的关系。而上述两类特殊规律正是反映了不同圆周运动之间的相同因素，是分析圆周运动问题经常遇到的类型，希望同学们能够掌握。若例题中两小球质量不相等，则上述运动量仍然符合规律，只是弹力和向心力发生变化而已，这是在分析问题时要注意的一个细节问题。
长度不同的两根细绳悬于同一点，另一端各系一个质量相同的小球，使它们在同一水平面内做圆锥摆运动，如图4－3－9所示，则有关两个圆锥摆的物理量相同的是( )
图4－3－9
A．周期 B．线速度的大小
C．向心力 D．绳的拉力
解析：选A 设O到小球所在水平面的距离为h，对球进行受力分析如图所示，得F向＝
F合＝mg·tan α＝m
·h·tan α，解得T＝ ，故周期与α角无关，则选项A对，B、C错。又知F拉＝，故绳的拉力不同，选项D错。
[随堂巩固落实]
1．[多选]全国铁路大面积提速后，京哈、京沪、京广、胶济等提速干线的部分区段速度可达300km/h，我们从济南到青岛乘“和谐号”列车就可以体验时速300km/h的追风感觉。火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，以下措施可行的是( )
A．适当减小内外轨的高度差
B．适当增加内外轨的高度差
C．适当减小弯道半径
D．适当增大弯道半径
解析：选BD 设火车轨道平面的倾角为α时，火车转弯时内、外轨均不受损，根据牛顿第二定律有mgtan α＝m，解得v＝，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施是适当增大角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r。
2．在光滑的水平桌面上，有两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图4－3－10所示。当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离是( )
图4－3－10
A. B.
C. D.
解析：选B 设杆转动的角速度为ω，转轴O到小球2的距离为r2，则有：v1＝ω(L－r2) ，v2＝ωr2，解得：r2＝，故B正确。
3．[多选](2014·湛江附中月考)“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来。如图4－3－11所示，已知桶壁的倾角为θ，
车和人的总质量为m，做圆周运动的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力，下列说法正确的是( )
图4－3－11
A．人和车的速度为
B．人和车的速度为
C．桶面对车的弹力为
D．桶面对车的弹力为
解析：选AC 对人和车进行受力分析如图所示，根据直角三角形的边角关系和向心力公式可列方程：
mgtan θ＝m，Ncos θ＝mg，解得v＝，N＝ 。故A、C正确。
4．如图4－3－12所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍，A，B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点，则( )
图4－3－12
A．两轮转动的角速度相等
B．小轮转动的角速度是大轮的2倍
C．质点加速度aA＝2aB
D．质点加速度aB＝2aC
解析：选B 两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，vA＝vB，而rA＝2rB，故ωA＝ωB，A错误，B正确；由a＝得＝＝，C错误；由a＝ω2r，得＝＝2，则＝4，D错误。
5．[多选]如图4－3－13所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力。下列说法中正确的是( )
图4－3－13
A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大
B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小
C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大
D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小
解析：选AD 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝，即v0＝，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝，则最低点时的角速度ω＝＝ ，选项D正确而C错误。
6．(2012·福建高考)如图4－3－14，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动。现测得转台半径R＝0.5 m，离水平地面的高度H＝0.8 m，物块平抛落地过程水平位移的大小x＝0.4 m。设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
图4－3－14
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
解析：(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2①
在水平方向上有 x＝v0t②
由①②式解得 v0＝x ＝1 m/s③
(2)物块离开转台时，最大静摩擦力提供向心力，有
Ffm＝m④
Ffm＝μFN＝μmg⑤
由③④⑤式解得 μ＝
μ＝0.2
答案：(1)1 m/s (2)0.2
[课时跟踪检测]
高考常考题型：选择题＋计算题
一、单项选择题
1．(2014·中山调研)世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图1所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )
图1
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的
B．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的
C．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的
D．由公式F＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道
解析：选C 赛车在水平面上转弯时，它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力提供的。由F＝m知，当v较大时，赛车需要的向心力也较大，当摩擦力不足以提供其所需的向心力时，赛车将冲出跑道。
2．变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度。如图2所示是某一变速车齿轮转动结构示意图，图中A轮有48齿，B轮有42齿，C轮有18齿，D轮有12齿，则( )
图2
A．该车可变换两种不同挡位
B．该车可变换3种不同挡位
C．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4
D．当A轮与D轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1
解析：选C 该车可变换四种不同挡位，分别为A与C、A与D、B与C、B与D，A、B错误；当A轮与D轮组合时，由于两轮齿数可知，当A轮转动一周时，D轮要转4周，
故ωA∶ωD＝1∶4，C正确，D错误。
3.如图3所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端有固定转轴O。现使小球在竖直平面内做圆周运动。P为圆周轨道的最高点。若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为 ，则以下判断正确的是( )
图3
A．小球不能到达P点
B．小球到达P点时的速度小于
C．小球能到达P点，但在P点不会受到轻杆的弹力
D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力
解析：选B 根据机械能守恒定律2mgL＝mv2－mvP2，可求出小球在P点的速度为 <，故B正确，A错误。小球在P点所需要的向心力F＝＝mg，故小球在P点受到轻杆向上的弹力，故C、D均错误。
4.如图4所示，长为 L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是( )
图4
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．小球做圆周运动的半径为L
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
解析：选C 小球只受重力和绳的拉力作用，合力大小为F＝mgtan θ，半径为R＝Lsin θ，A、B均错；小球做圆周运动的向心力是由重力和绳的拉力的合力提供的，则mgtan θ＝m
，得到v＝sin θ ，θ越大，小球运动的速度越大，C对；周期T＝＝2π ，θ越大，小球运动的周期越小，D错。
5. (2015·增城检测)如图5所示，用长为L的不可伸长轻绳一端系着一个质量为m的小球，另一端固定在O点，拉小球至如图所示的A点，空气阻力不计，松手后小球经过最低点时的速度v和轻绳的张力T分别是( )
图5
A．v＝ B．v＝
C．T＝3 mg D．T＝mg
解析：选A 由mv2＝mgL(1－cos 60°)得v＝；由m＝T－mg得T＝2 mg。
二、多项选择题
6．(2014·潮州模拟)关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
解析：选BD 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度。加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动。故本题选B、D。
7．(2012·广东高考)图6是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数FN表示该处所受压力的大小。某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
图6
A．FN小于滑块重力 B．FN大于滑块重力
C．FN越大表明h越大 D．FN越大表明h越小
解析：选BC 设滑块到达B点时的速度为v，根据向心力公式得：FN－mg＝m ，根据机械能守恒定律可得：mgh＝mv2，解得FN＝mg(1＋)，所以B、C正确。
8. (2014·湛江模拟)甲、乙两球做匀速圆周运动，向心加速度a随半径r变化的关系图象如图7所示。由图象可以知道( )
图7
A．甲球运动时，线速度大小保持不变
B．甲球运动时，角速度大小保持不变
C．乙球运动时，线速度大小保持不变
D．乙球运动时，角速度大小保持不变
解析：选BC 在加速度－时间图象中，甲的加速度与半径成正比，故角速度不变，B对。乙的加速度与半径成反比，故线速度不变。
三、计算题
9.如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块。求：
图8
(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。
解析：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡．设物块所在斜面与水平面夹角为θ，由平衡条件得摩擦力的大小
f＝mgsin θ＝mg
支持力的大小N＝mgcos θ＝mg
(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力。设筒转动的角速度为ω，有mgtan θ＝mω2·
由几何关系得tan θ＝
联立以上各式解得ω＝
答案：(1)mg mg (2)
10．(2013·福建高考)如图9，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球。现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点。地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：
图9
(1)地面上DC两点间的距离s；
(2)轻绳所受的最大拉力大小。
解析：(1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝mvB2 ①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝gt2 ②
在水平方向上有s＝vBt ③
由①②③式解得s＝1.41 m ④
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有F－mg＝m ⑤
由①⑤式解得F＝20 N ⑥
根据牛顿第三定律F′＝－F ⑦
轻绳所受的最大拉力为20 N。
答案：(1)1.41 m (2)20 N
（时间：90分钟 满分：100分）
一、单项选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分)
1．现在城市的滑板运动非常流行，在水平地面上一名滑板运动员双脚站在滑板上以一定速度向前滑行，在横杆前起跳并越过杆，从而使人与滑板分别从杆的上下通过，如图1所示。假设人和滑板运动过程中受到的各种阻力忽略不计，运动员能顺利完成该动作，最终仍落在滑板原来的位置上，要使这个表演成功，运动员除了跳起的高度足够外，在起跳时双脚对滑板作用力的合力方向应该( )
图1
A．竖直向上 B．向下适当偏后
C．竖直向下 D．向上适当偏前
解析：选C 因为在滑板跳高的过程中，人的运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，而滑板在水平面上做匀速直线运动，故要使人越过横杆后仍落在滑板上，必须使人在水平方向的分运动与滑板具有相同的速度，所以人跳离时对滑板的作用力应该竖直向下，C正确。
2．(2015·汕头金山中学期中)如图2所示，0.4 m长的轻杆上端固定800 g的小球，小球(可视为质点)绕杆在竖直面内做圆周运动。当它经过最高点时速度为1 m/s，杆对小球作用力为(取g＝10m/s2)( )
图2
A．6 N，拉力 B．6 N，支持力
C．8 N，支持力 D．10 N，支持力
解析：选B 向心力F＝m＝2 N，而小球重力为8 N，故杆对小球的作用力为支持力，大小为6 N，B选项正确。
3．质量为M的物体，用细线通过光滑水平平板中央的光滑小孔，与质量为m1、m2的物体相连，如图3所示，M做匀速圆周运动的半径为r1，线速度为v1，角速度为ω1。若将m1和m2之间的细线剪断，M仍做匀速圆周运动，其稳定后的半径为r2，线速度为v2，
角速度为ω2，则下列关系正确的是( )
图3
A．r2＝r1，v2＜v1 B．r2＞r1，ω2＜ω1
C．r2＜r1，ω2＝ω1 D．r2＞r1，v2＝v1
解析：选B 细线剪断后，M做离心运动，线的拉力对M做负功，故v2＜v1，r2＞r1，ω＝，ω2＜ω1。
4．(2014·中山调研)汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是( )
A．f甲小于 f乙 B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙 D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关
解析：选A 做匀速圆周运动的条件：速度不为零，受到大小不变方向总是与速度方向垂直沿半径指向圆心的合外力的作用，而且合外力等于圆周运动物体所需要的向心力F向＝m，本题中摩擦力提供向心力，即f＝m，由于r甲>r乙，故f甲vm，
所以煤块将飞离B点做平抛运动。
(3)煤块做平抛运动，竖直方向h＋2R＝gt2/2得其运动时间为t＝1 s，
水平位移为s＝vt，s＝4 m
答案：(1)4 m/s 4 m 8 m (2)见解析 (3)4 m
