2018-2019学年吉林省长春市九台区第四中学高一下学期期中考试数学试卷

2018-2019学年吉林省长春市九台区第四中学高一下学期期中考试数学试卷

‎2018-2019学年吉林省长春市九台区第四中学高一下学期期中考试数学试卷 ‎；考试时间：120分钟；审题人：孙影 总分：150‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ ‎ ‎ 评卷人 得分 ‎ ‎ ‎ ‎ 一、选择题：共12题 每题5分 共60分 ‎1．设集合,全集,则集合中的元素共有 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ‎2．已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3)，且a⊥b，则x=‎ A.-3‎ B.-1‎ C.1‎ D.3‎ ‎3．已知角则等于 A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4．函数的最小正周期等于 ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎5．在中，内角的对边分别为，，，，则等于()‎ A.1‎ B.‎ C.‎ D.2‎ ‎6．在△ABC中,符合余弦定理的是 A.c2=a2+b2-2abcos C B.c2=a2-b2-2bccos A C.b2=a2-c2-2bccos A D.cos C=‎ ‎7．在△ABC中，若sin A∶sin B＝2∶5，则边b∶a等于 A.2∶5或4∶25 ‎ B.5∶2 ‎ C.25∶4 ‎ D.2∶5‎ ‎8．已知数列的通项公式为，则等于 ‎ A.1‎ B.2‎ C.0‎ D.3‎ ‎9．数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝1，则此数列的第3项是 A.15‎ B.255‎ C.20‎ D.31‎ ‎10．在等差数列{}中,已知+=16,则+=‎ A.B.C.D.‎ ‎11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为 A.30‎ B.25‎ C.20‎ D.15‎ ‎12．已知为等差数列,若,则 ‎ A.24‎ B.27‎ C.15‎ D.54‎ 第II卷（非选择题）‎ ‎ ‎ 评卷人 得分 ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题：共4题 每题5分 共20分 ‎13．给出下列数列,其中是等差数列的是____.‎ ‎(1)1,2,4,6,8,....‎ ‎(2)0,0,0,0,….‎ ‎(3)3,6,9,12,….‎ ‎14．已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0,则{an}的通项公式为____. ‎ ‎15．已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点,则an=____. ‎ ‎16．若三个数a-4,a+2,26-2a适当排列后构成递增的等差数列,则a的值为____. ‎ ‎ ‎ 评卷人 得分 ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题：共6题 ，17题10分，18-22每题12分，共70分 ‎17．设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),求当k为何值时,A,B,C三点共线.‎ ‎18．化简求值:‎ ‎(1)cos 63°sin 57°+sin 117°sin 33°;‎ ‎(2)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β.‎ ‎19．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1.‎ ‎(1)求角和的长；‎ ‎(2)求四边形的面积．‎ ‎20．如图,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸选取两点A,B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且AB=100 m.‎ ‎(1)求sin 75°;‎ ‎(2)求该河段的宽度.‎ ‎21．已知等差数列{an}中,a3=4,a1+a12=29.‎ ‎(1)求{an}的通项公式. (2)2 014是不是该数列中的项?若是,求出它是第几项;若不是,请说明理由.‎ ‎22．(1)已知等差数列{an}中,a1=,d=-,Sn=-15,求n及a12;‎ ‎(2)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,求该数列的前11项和S11.‎ ‎参考答案 ‎1.A ‎【解析】本题考查集合的基本运算.因为,所以,又因为,所以.所以集合中的元素共有3个,选A.‎ ‎【备注】集合的基本运算为高考常考题型,相对简单,要求熟练掌握.‎ ‎ ‎ ‎2.‎ C ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎3.‎ C ‎【解析】‎ 本题考查同角三角函数的基本关系.因为角所以所以.选C.‎ ‎【备注】‎ 三角函数中要牢记特殊三角函数值.‎ ‎ ‎ ‎4.C ‎【解析】‎ 本题主要考查的是倍角公式和正弦型函数的应用，意在考查考生对公式的运用.‎ ‎,根据正弦型三角函数的特征，可得,故选C.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎5.‎ A ‎【解析】‎ 本题考查正弦定理的应用.直接利用正弦定理即可得出结论.由正弦定理得.‎ ‎【备注】‎ 正弦定理是解三角形的重要依据,在实际问题中通常可以实现边角关系的互化,在解题时要根据实际需要灵活应用.‎ ‎ ‎ ‎6.‎ A ‎【解析】‎ 对于A,式子c2=a2+b2-2abcos C符合余弦定理,故A正确;‎ 对于B,应该是c2=a2+b2-2abcos C,故B错误;‎ 对于C,应该是b2=a2+c2-2accos B,故C错误;‎ 对于D,应该是cos C=,故D错误.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎7.‎ B ‎【解析】‎ 本试题主要考查解三角形问题.解：根据题意，由正弦定理可知即有sinA:sinB=a:b,而已知中sinA:sinB=2：5，故可知a:b=2：5，则b:a=5:2，故答案为B ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎8.C ‎【解析】本题考查数列的通项公式.,.选C.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎9.D ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎10.B ‎【解析】本题考查等差数列的性质.因为角标之和4+3=2+10相等,所以+=+,应选B.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎11.D ‎【解析】因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,所以S10+(S30-S20)=2(S20-S10),所以12+(S30-17)=2×(17-12),解得S30=15.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎12.B ‎【解析】‎ 本题主要考查等差数列.‎ 设等差数列的公差为 ‎=,,‎ ‎.‎ 故选B.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎13.‎ ‎(2)(3)‎ ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎14.an=2n-12‎ ‎【解析】‎ 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则,解得,所以an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎15.‎ ‎2n-1‎ ‎【解析】‎ 方法一根据等差数列与一次函数的关系可知,公差d==2.‎ 因为a1=1,所以an=2n-1.‎ 方法二由题意可得,,所以an=2n-1.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎16.‎ ‎12或6或9‎ ‎【解析】‎ 由于三数之和为24,因此构成的等差数列的中间一项为8.令a-4=8,则a=12,满足条件;令a+2=8,则a=6,满足条件;令26-2a=8,则a=9,满足条件.故a的值为12或6或9.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎17.‎ 方法一 ∵A,B,C三点共线,即,共线,‎ ‎∴存在实数λ,使得=λ.‎ ‎∵-=(4-k,-7),-=(10-k,k-12),∴(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),‎ 即,解得k=-2或k=11.‎ 方法二 由题意知,共线.‎ ‎∵-=(4-k,-7),-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,‎ ‎∴k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)要判断A,B,C三点是否共线,一般是看与,或与,或与是否共线,若共线,则A,B,C三点共线;(2)使用A,B,C三点共线这一条件建立方程求参数时,利用=λ,或=λ,或=λ都是可以的,但原则上要少用含未知数的表达式.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎18.‎ ‎(1)原式=cos 63°cos 33°+sin 63°sin 33°=cos(63°-33°)=cos 30°=.‎ ‎(2)原式=cos(α+β-β)=cos α.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)不符合公 式特征→适当 变形→逆用两角差的余 弦公式即可求解 ‎(2)逆用两角差的余弦公式→化简即可 ‎【备注】‎ ‎1.两角和、差的余弦公式Cα+β,Cα-β的正用应记住公式的结构特征:同名相乘,符号相反.‎ ‎2.逆用公式应准确找出所给式子与公式右边的异同,创造条件逆用公式;另外,应抓住所给角的关系,逐一分析条件中的哪个角对应公式中的角α,β.‎ ‎ ‎ ‎19.‎ ‎(1)因为四边形ABCD的内角A与C互补，‎ 所以∠A+∠C=180°,,‎ 由余弦定理得①‎ ‎②‎ 由①②得 所以,所以, (2)‎ ‎【解析】‎ 本题考查解三角形的应用.解答本题时要注意(1)利用四边形对角互补，结合余弦定理，计算得到BD和角C；(2)利用三角形的面积公式，采用分割的方式求解四边形的面积.‎ ‎【备注】无 ‎ ‎ ‎20.‎ ‎(1)sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=+.‎ ‎(2)∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,‎ ‎∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.‎ 在△ABC中,由正弦定理得,∴BC=.‎ 如图,过点B作BD垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度.‎ 在Rt△BDC中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=,‎ ‎∴BD=BCsin 45°=·sin 45°=(m),‎ 即该河段的宽度为m.‎ ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎21.‎ ‎(1)设数列{an}的公差为d.‎ 由已知,得,解得.‎ ‎∴an=-2+(n-1)×3=3n-5.‎ ‎(2)令3n-5=2 014,解得n=673.‎ ‎∴2 014是该数列的第673项.‎ ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎22.‎ ‎(1)Sn=n·+·(-)=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去),a12=+(12-1)×(-)=-4.‎ ‎(2)在等差数列中,因为a1+a11=a4+a8=16,所以S11==88.‎ ‎【解析】无 ‎【备注】无 ‎ ‎