2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 5函数的奇偶性与周期性
考点规范练5 函数的奇偶性与周期性
基础巩固组
1.(2017浙江嘉兴三模)在函数y=xcos x,y=ex+x2,y=lgx2-2,y=xsin x中,偶函数的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.(2017安徽安庆二模)定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1
f(-2),则a的取值范围是 .
能力提升组
8.(2017浙江杭州一模改编)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
9.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中试题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递减,若实数a满足f(log3a)+flog13a≥2f(1),则a的取值范围是( )
A.(0,3] B.0,13
C.13,3 D.[1,3]
10.(2017浙江衢州高三期末考试)已知函数f(x)(x∈R,且x≠1)的图象关于点(1,0)对称,当x>1时,f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,则不等式f(x)>1的解集是( )
A.-3,32
B.(-∞,-3)∪32,+∞
C.(-∞,-1)∪32,+∞
D.(-∞,-1)∪1,32
11.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是( )
A.0 B.0或-12
C.-14或-12 D.0或-14
12.已知f(x)是定义在R上的函数,且对任意x∈R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),若函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,且f(1)=3,则f(2 015)=( )
A.6 B.3 C.0 D.-3
13.(2017浙江吴越联盟第二次联考改编)已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时为减函数,且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}= .
14.(2017北京丰台区综合测试)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=ln (-x)+x;当-e≤x≤e时,f(-x)=-f(x);当x>1时,f(x+2)=f(x),则f(8)= .
15.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1).已知当x∈[0,1]时,f(x)=121-x,则:
①2是函数f(x)的周期;
②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;
④当x∈(3,4)时,f(x)=12x-3.
其中所有正确命题的序号是 .
16.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(π)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
答案：
1.B y=xcos x是奇函数,y=lgx2-2和y=xsin x是偶函数,y=ex+x2是非奇非偶函数,故选B.
2.D 由f(x+1)=f(x-1)可知函数f(x)是周期为2的周期函数,所以f(log220)=f(2+log25)=f(log25)=f(log25-2)=-f(2-log25)=-(22-log25-1)=-45-1=15,故选D.
3.D ∵f(-x)=log21+x1-x=log21-x1+x-1=-f(x),
∴f(x)为奇函数.∴f(-a)=-f(a)=-12.
4.D 由f(x)为准偶函数的定义可知,若f(x)的图象关于x=a(a≠0)对称,则f(x)为准偶函数,A,C中两函数的图象无对称轴,B中函数图象的对称轴只有x=0,而D中f(x)=cos(x+1)的图象关于x=kπ-1(k∈Z)对称,故选D.
5.12 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又因为当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,所以f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=12.
6.-2 由题意知,g(x)=(x+2)(x+a)为偶函数,∴a=-2.
7.12,32 由题意知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-2)可化为f(2|a-1|)>f(2),则2|a-1|<2,|a-1|<12,解得121时,f(x)=loga(x-1),且f(3)=-1,∴loga2=-1,∴a=12,∴当x>1时,不等式f(x)>1可化为log12(x-1)>1,∴11时,不等式f(x)>1可化为-log12(1-x)>1,∴x<-1.故选D.
11.D ∵f(x+2)=f(x),∴T=2.
又0≤x≤1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图.显然a=0时,y=x与y=x2在[0,2]内恰有两个不同的公共点.
另当直线y=x+a与y=x2(0≤x≤1)相切时,也恰有两个不同的公共点.
由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0,Δ=1+4a=0,
则a=-14,此时x=12.综上,可知a=0或a=-14.
12.D 因为函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,f(x)是奇函数,对任意x∈R都有f(x+2)=f(2-x)+4f(2),令x=0,得f(0+2)=f(2-0)+4f(2),因此f(2)=0,由f(x+2)=f(2-x)=-f(x-2)知f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数,f(2 015)=f(7)=f(-1)=-f(1)=-3.故选D.
13.{x|00},当x-2>0时,f(x-2)>0=f(2),
∵x∈(0,+∞)时,f(x)为减函数,∴0
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