高考概率文科大题

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高考概率文科大题

‎2014年高考文科数学试题分类汇编:概率 一、选择填空题 ‎1.[2014·江西卷3] 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于(  )‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎2.[2014·湖南卷5] 在区间[-2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为(  )‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎ ‎ ‎3.[2014·陕西卷6] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为(  )‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎4.[2014·辽宁卷6] 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(  )‎ ‎ ‎ A. B. C. D. 【答案】B ‎5.[2014·湖北卷5] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则(  ) 【答案】C A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p‎3 ‎‎ C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p‎2 ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎6.[2014·江苏卷4] 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎7.[2014·新课标全国卷Ⅱ13] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.【答案】 ‎8.[2014·全国新课标卷Ⅰ13] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.【答案】 ‎ ‎9.[2014·浙江卷14] 在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________.【答案】 ‎ ‎10.[2014·广东卷12] 从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎11.[2014·福建卷13] 如图所示,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.【答案】0.18‎ ‎12.[2014·重庆卷15] 某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答) ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 二、解答题:‎ ‎1. [2014·天津卷15] 某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:‎ 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).‎ ‎(1)用表中字母列举出所有可能的结果;‎ ‎(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.‎ 解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.‎ ‎(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.‎ 因此,事件M发生的概率P(M)==.‎ ‎2.[2014·四川卷16] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.‎ ‎(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;‎ ‎(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.‎ 解:(1)由题意,(a,b,c)所有的可能为:‎ ‎(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),‎ ‎(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),‎ ‎(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),‎ ‎(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.‎ 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,‎ 则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,‎ 所以P(A)==.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.‎ ‎(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,‎ 则事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.‎ 所以P(B)=1-P(B)=1-=.‎ 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.‎ ‎3.[2014·陕西卷19] 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;‎ ‎(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.‎ 解:(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”,B表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P(A)==0.15,P(B)==0.12.‎ 由于投保金额为2800元,所以赔付金额大于投保金额的概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×‎ ‎120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为=0.24.由频率估计概率得P(C)=0.24.‎ ‎4.[2014·福建卷20] 根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:‎ 行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位:美元)‎ A ‎25%‎ ‎8000‎ B ‎30%‎ ‎4000‎ C ‎15%‎ ‎6000‎ D ‎10%‎ ‎3000‎ E ‎20%‎ ‎10 000‎ ‎(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;‎ ‎(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.‎ 解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为 =6400(美元).‎ 因为6400∈[4085,12 616),‎ 所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.‎ ‎(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:‎ ‎{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.‎ 设事件M为“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”,‎ 则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个.‎ 所以所求概率为P(M)=.‎ ‎5.[2014·全国卷20] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.‎ 解:记A1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.‎ B表示事件:甲需使用设备.‎ C表示事件:丁需使用设备.‎ D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.‎ E表示事件:同一工作日4人需使用设备.‎ F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.‎ ‎(1)因为P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=C×0.52,i=0,1,2,‎ 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)‎ ‎=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.‎ ‎(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1,‎ P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.‎ 若k=3,则P(F)=0.06<0.1,‎ 所以k的最小值为3.‎ ‎6.[2014·江西卷21] 将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.‎ ‎(1)求p(100);‎ ‎(2)当n≤2014时,求F(n)的表达式;‎ ‎(3)令g(n)为这个数中数字0的个数,f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),‎ S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.‎ 解:(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.‎ ‎(2)F(n)= ‎(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*),g(n)=0;‎ 当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k;‎ 当n=100时,g(n)=11,即g(n)=‎ 1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N,‎ 同理有f(n)=‎ 由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,‎ 所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.‎ 当n=9时,p(9)=0.‎ 当n=90时,p(90)===.‎ 当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)===,由y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.‎ 又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.‎ ‎7.[2014·江苏卷22] 盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.‎ ‎(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;‎ ‎(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).‎ 解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,‎ 所以P===.‎ ‎(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4.‎ ‎{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)==;‎ ‎{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,‎ 或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)===;‎ 于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.‎ 所以随机变量X的概率分布如下表:‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 因此随机变量X的数学期望 E(X)=2×+3×+4×=.‎
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