【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第九章第二节古_典_概_型学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第九章第二节古_典_概_型学案

第二节古_典_概_型 ‎1．基本事件的特点 ‎(1)任何两个基本事件是互斥的．‎ ‎(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．‎ ‎2．古典概型 ‎(1)‎ ‎(2)概率计算公式：‎ P(A)＝.‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(　　)‎ ‎(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．(　　)‎ ‎(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．‎ 解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，故所求概率P＝＝.‎ 答案： ‎3．从一副混合后的扑克牌(除去大、小王52张)中，随机抽取1张．事件A为“抽到红桃K”，事件B为“抽到黑桃”，则P(A∪B)＝________(结果用最简分数表示)．‎ 解析：∵P(A)＝，P(B)＝，‎ ‎∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.‎ 答案： ‎4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．‎ 解析：设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)，共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为.‎ 答案： ‎5．(教材习题改编)一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．‎ 解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为.‎ 答案： 　　　　 ‎[考什么·怎么考]‎ 对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也出现在解答题中，难度适中，属中档题.‎ ‎1．(2017·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(‎ 红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有4种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，故所求概率P＝＝.‎ ‎2．(2017·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　法一：记两次取得卡片上的数字依次为a，b，则一共有25个不同的数组(a，b)，其中满足a＞b的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率P＝＝.‎ 法二：画出树状图如图：‎ 可知所有的基本事件共有25个，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P＝＝.‎ ‎3．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解：(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其所有可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其所有可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，‎ 则所求事件的概率为P＝.‎ ‎[怎样快解·准解]‎ ‎1．求古典概型概率的步骤 ‎(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；‎ ‎(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；‎ ‎(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．‎ ‎2．基本事件个数的确定方法 方法 适用条件 列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法 树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求 ‎ [注意]　在利用列举法列举基本事件的个数时，一定要注意，试验的抽取方式是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，否则极易发生解题错误．(如第1题为无放回抽取，而第2题为有放回抽取)‎ 　　　　 古典概型在高考中常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．‎ 常见的命题角度有：‎ ‎(1)古典概型与平面向量相结合；‎ ‎(2)古典概型与直线、圆相结合；‎ ‎(3)古典概型与统计相结合．‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一)　古典概型与平面向量相结合 ‎1．设平面向量a＝(m,1)，b＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}，记“a⊥(a－b)”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选A　有序数对(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．由a⊥(a－b)，得m2－‎2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个，所以所求的概率P(A)＝＝.‎ 角度(二)　古典概型与直线、圆相结合 ‎2．(2018·湘中名校联考)从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a>0，b>0，共有2种满足，所以所求概率P＝，故选A.‎ ‎3．(2018·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．‎ 解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.‎ 答案： 角度(三)　古典概型与统计相结合 ‎4．(2017·南昌一模)交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系．发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：‎ 交强险浮动因素和费率浮动比率表 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30%‎ 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎10‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；‎ ‎(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5 000元，一辆非事故车盈利10 000元．且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：‎ ‎①若该销售商店内有6辆(车龄已满三年)该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆车，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；‎ ‎②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值．‎ 解：(1)一辆普通6座以下私家车第四年续保时保费高于基本保费的频率为＝.‎ ‎(2)①由统计数据可知，该销售商店内的6辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有2辆事故车，设为b1，b2,4辆非事故车设为a1，a2，a3，a4.从6辆车中随机挑选2辆车的情况有(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)，共15种．‎ 其中2辆车恰好有一辆为事故车的情况有(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，a4)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，a4)，共8种．‎ 所以该顾客在店内随机挑选2辆车，这2辆车恰好有一辆为事故车的概率为.‎ ‎②由统计数据可知，该销售商一次购进120辆该品牌(车龄已满三年)的二手车有事故车40辆，非事故车80辆，‎ 所以一辆车盈利的平均值为[(－5 000)×40＋10 000×80]＝5 000(元)．‎ ‎ [题“根”探求]‎ 求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e>的概率是________．‎ 解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a>b时，e＝ >⇒<⇒a>2b，符合a>2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6,4种情况；‎ 当b＝2时，有a＝5,6,2种情况，故共有6种情况，则概率是＝.同理当a的概率也为.‎ 综上可知，离心率e>的概率为.‎ 答案： ‎2．(2018·西安质检)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示．‎ ‎(1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级中“体育良好”的学生人数；‎ ‎(2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．‎ 解：(1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)．‎ 所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有1 000×＝750(人)．‎ ‎(2)设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M，‎ 记体育成绩在[60,70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80,90)的数据为B1，B2，B3，‎ 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．‎ 而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，因此事件M的概率P(M)＝.‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，‎ ‎∴事件总数有15种．‎ ‎∵正确的开机密码只有1种，∴所求概率P＝.‎ ‎2．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛，则决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”，共6个，设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场”为事件A，则事件A包含的基本事件有“甲乙丙，乙甲丙”，共2个，则P(A)＝＝.‎ 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位出场的概率为.‎ ‎3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.‎ ‎4．(2018·山西四校联考)甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　∵甲、乙两人参加学习小组的所有事件有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两人参加同一个小组的事件有(A，A)，(B，B)，(C，C)，共3个，∴两人参加同一个小组的概率为＝.‎ ‎5．已知集合A＝{－2，－1,1,2,3,4}，集合B＝{－3,1,2}，从集合A中随机选取一个数x，从集合B中随机选取一个数y，则点M(x，y)正好落在平面区域内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　易知总的基本事件共有18种可能，其中满足的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共5种可能，由古典概型的概率计算公式可知所求概率P＝.‎ ‎6．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，有A‎1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A‎2A1，B‎1A1，B‎2A1，‎ B‎1A2，B‎2A2，B2B1，共12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，共4种情况，则所求概率为P＝＝.‎ ‎7．(2018·武汉调研)已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947‎ ‎1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661‎ ‎9597　7424　7610　4281‎ 据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．‎ 解析：∵4次射击中有1次或2次击中目标的有：7140,1417,0371,6011,7610，∴所求概率P＝1－＝.‎ 答案： ‎8．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x＝的概率是________．‎ 解析：基本事件总数为10，满足方程cos x＝的基本事件为，，，共3个，故所求概率P＝.‎ 答案： ‎9．已知一质地均匀的正四面体，四个面分别标有1,2,3,4，抛掷两次得到的点数分别为a，b，并记点A(a，b)，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．‎ 解析：易知过点(0,0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，点A的可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，其中使直线OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知所求概率P＝＝.‎ 答案： ‎10．(2018·福州质检)从集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中随机取一个点P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率为，则k的最大值是________．‎ 解析：因为M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，‎ ‎|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的个数为5×5＝25.因为xy＝1的情况有2种，xy＝2的情况有4种，xy＝4的情况有2种，所以要使xy≥k(k>0)的概率为，需1

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