河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟数学（文）试题

河北省张家口市2020届高三5月普通高等学校招生全国统一模拟数学（文）试题

‎2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试 文科数学2020．5‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，写出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，再根据交集的运算即可求出．‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查指数函数的值域的应用以及集合的交集运算，属于容易题．‎ ‎2.复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据复数的代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以其共轭复数为 ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．‎ ‎3.下图是‎2020年2月15日至‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）‎ A. ‎2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数 B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低 C. ‎2020年2月19日至‎3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天 D. ‎2020年2月15日到‎3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．‎ ‎【详解】对于A，由图可知，‎2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从‎2月18日1660人大幅下降至615人，所以A正确；‎ 对于B，从‎2020年2月19日起至‎2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；‎ 对于C，由图可知，‎2020年2月19日至‎3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，‎2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，‎3月1日，2日，共8天，所以C正确；‎ 对于D，‎2020年2月15日到‎3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是‎2月16日1690例，最少的是‎3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．‎ ‎4.等差数列的前n项和为，满足，则（ ）‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前项和的定义以及等差数列的下标和性质，即可求出．‎ ‎【详解】因，解得，所以 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的前项和的定义以及等差数列的性质的应用，属于容易题．‎ ‎5.角谷猜想，也叫猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角谷猜想的定义，可知当时，得出的数为5，16，8，4，2，1，再根据古典概型的概率计算公式即可求出．‎ ‎【详解】根据角谷猜想的定义，可知当时，得出的数为5，16，8，4，2，1．从中随机任取两个不同的数有：‎ ‎，共15个结果，‎ 而取出这两个数都是偶数的有：，共6个结果，‎ 所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义的应用以及古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎6.已知函数是偶函数，为奇函数，并且当时，，则下列选项正确的是（ ）‎ A. 在上为减函数，且 B. 在上为减函数，且 C. 在上为增函数，且 D. 在上为增函数，且 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意为奇函数，可知函数关于点对称，再结合函数是偶函数可得出函数周期为4，而，，利用周期从而可求得时的解析式，即解出．‎ ‎【详解】因为函数为奇函数，所以函数关于点对称，即，‎ 函数是偶函数，所以，于是，，用替换，可得，所以．‎ 当，，‎ 当时，，所以在上为增函数，且．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．‎ ‎7.如图，在边长为1的正方形网格中，粗线画出的是某几何体的三视图．则该几何体的体积为（ ）‎ A. 16 B. C. 32 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原几何体可知，该几何体为三棱柱，故根据其体积公式即可算出．‎ ‎【详解】如图所示，该几何体为图中三棱柱，‎ 所以该几何体的体积为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，并求其体积，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎8.双曲线的渐近线与圆在第一、二象限分别交于M，N两点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意作出图象，可知为等边三角形，由双曲线的渐近线关于y轴对称，可知 ‎，再结合，即可求出离心率．‎ ‎【详解】依题意作出图象，如图所示：‎ 因为，所以为等边三角形，而双曲线的渐近线方程为，它们关于y轴对称，所以，即，‎ 又，所以，即离心率．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及圆的方程的应用，属于基础题．‎ ‎9.已知，．若且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据向量的加法运算求出，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎，‎ 即，因而，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎10.如图是函数的部分图象，设是函数在上的极小值点，则的值为（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象确定函数的解析式，即可根据函数在上的极小值也是最小值，得到，即可解出．‎ ‎【详解】根据图像可知，，所以，‎ 又因为，而且，所以，故 由，，解得，所以 ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查根据函数图象求正弦型三角函数的解析式，并根据解析式求值，涉及到极值点的概念理解和运用，意在考查学生的数学运算能力和转化能力，属于中档题．‎ ‎11.函数在上的零点个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系，即可由得到，再分别求出两函数的图象即可求出零点个数．‎ ‎【详解】令，显然不是函数的零点，可得．‎ 设，，因为，‎ 所以当，，‎ 当，，当，，‎ ‎∴的极小值为，而，故作出函数和在上的图象，如图所示：‎ 所以，两函数图象有两个交点，即函数在上的零点个数为2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，两函数图象交点的关系的应用，以及利用导数作出函数的图象，意在考查学生的转化能力，属于中档题．‎ ‎12.把圆心角为的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，‎ ‎【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，根据题意以及弧长公式可知，，解得，‎ 所以该圆锥的侧面积为．‎ 如图所示，‎ 由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，‎ 设圆锥的外接球的半径为，‎ 因为，所以，解得，‎ 因此，该圆锥的外接球的表面积为．‎ 故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.抛物线的焦点为F，过F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，若，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线过焦点弦的性质可知，为通径，所以有，即可解出．‎ ‎【详解】因为过焦点F作与x轴垂直的直线交抛物线于A，B两点，所以为通径，‎ 即，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线过焦点弦的性质的应用，属于容易题．‎ ‎14.已知变量x，y满足，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，根据简单线性规划问题的解法，平移即可解出．‎ ‎【详解】作出不等式表示的平面区域，如图所示的阴影区域：‎ 设，当直线平移至经过点时，取得最小值．‎ 由解得，，所以点的坐标为．‎ 因此，的最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的的解法应用，属于基础题．‎ ‎15.若函数有最小值，则实数a取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的单调性即可知，函数在处取得最小值，即可求出实数a的取值范围．‎ ‎【详解】当时，函数单调递减，无最小值，无最大值，其值域为；‎ 当时，函数单调递减，其最小值为，‎ 所以若该函数有最小值，最小值只能在处取得，故．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的单调性的应用，以及分段函数的最值求法，属于基础题．‎ ‎16.已知等比数列的公比为，前n项和为，且满足，．若对一切正整数n，不等式恒成立，则实数m的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意，求出首项和公比，即可得到，再根据分离参数法， 可得，再利用数列的单调性即可求出的最小值，即可得出实数m的取值范围．‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ ‎，变形为 ‎，解得或，又∵，所以．‎ 故，，．‎ ‎∴，即 设，，‎ 当时，；‎ 当时，，令 ‎∴解得，因此，当，即时，，‎ 当，即时，，‎ 所以，当时，的值最小，最小为，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式和前项和公式中基本量的计算，数列不等式恒成立问题的解法应用，以及数列单调性的判断，综合性强，思维难度较大，较好的全面考查了学生综合运用数列知识的能力，属于较难题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（―）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，有．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）若，角B的角平分线BD交AC于D，，求边AD的长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）将式子两边除以2，再逆用两角和的正弦公式即可化简得到，结合角的范围，即可求出；‎ ‎（2）根据三角形内角和定理可得，，可知为顶角为 等腰三角形，再根据余弦定理，可求出的长，在中根据正弦定理即可求出边AD的长．‎ ‎【详解】（1）由，知，‎ 得． ‎ ‎，， ‎ ‎，即． ‎ ‎（2），，． 为角平分线，，‎ 从而，． ‎ 设，在中，根据余弦定理得，求得．‎ 在中，根据正弦定理得，求得．‎ ‎【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式的应用，以及正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎18.如图，在三棱锥中，平面ABC，平面平面PBC，，．‎ ‎（1）证明：平面PBC；‎ ‎（2）求点C到平面PBA的距离．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面ABC，可得，通过取中点，由平面平面PBC，可得平面PAC，从而，然后根据线面垂直的判定定理即可证得平面PBC；‎ ‎（2）根据平面ABC可得平面平面ABC，过点过点C作，交AB于M，则即为所求，在内根据等面积法即可求出．‎ ‎【详解】（1）证明：平面ABC，平面ABC，． ‎ 取PC的中点D，连接BD，，． ‎ 又平面平面PBC，平面平面，平面PBC，‎ 平面PAC．又平面PAC，． ‎ ‎，平面PBC．‎ ‎（2）易知平面平面ABC，AB为交线，在中，过点C作，交AB于M，则平面PBA． ‎ 又，，‎ 点C到平面PBA的距离为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的的判定定理，线面垂直的定义，面面垂直的性质定理，判定定理的应用，以及点到平面的距离的求法，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎19.已知椭圆的焦距为4．且过点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设，，，过B点且斜率为的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线相交于点P．证明：（O 为坐标原点）．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出，然后根据求出，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及，即可解出）；‎ ‎（2）由直线l的方程可得点，联立直线l与椭圆的方程可计算出点的坐标，再根据联立直线与直线的方程可得点的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线的斜率，根据斜率相等，即可证得．‎ ‎【详解】（1）由题可知，，， ‎ 椭圆的左，右焦点分别为，．‎ 由椭圆的定义知， ‎ ‎，，‎ 椭圆E的方程为． ‎ ‎（另解：由题可知，解得）．‎ ‎（2）易得，，，‎ 直线与椭圆联立，得，‎ ‎，从而，． ‎ 直线AM的斜率为，直线AM的方程为．‎ 令，得， ‎ 直线PQ的斜率． ‎ 直线OC的斜率， ‎ ‎，从而．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎20.2020年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求a的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；‎ ‎（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：‎ 序号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 锻炼时长m（单位：分钟）‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎12‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎（Ⅰ）根据数据求m关于n的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若（是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”‎ 家第8天是否是“有效运动日”？‎ 附；在线性回归方程中，，．‎ ‎【答案】（1），30.2；（2）（Ⅰ），（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；‎ ‎（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出和，即可求出m关于n的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）根据线性回归方程，令，求出预测值，再验证是否满足，即可判断．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎． ‎ ‎（分钟）． ‎ ‎（2）（Ⅰ），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，， ‎ 关于n的线性回归方程为． ‎ ‎（Ⅱ）当时，．‎ ‎，‎ 估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）判断函数在点处的切线是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．‎ ‎（2）若有最大值，证明：．‎ ‎【答案】（1）在处的切线过定点，坐标为；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义，求出函数在点处的切线方程，根据过定点的直线系方程的判断方法，即可判断该切线是否过定点；‎ ‎（2）先求出函数的导数，判断其单调性，求出其最大值为，将需证明的不等式等价变形为，令，构造函数 ‎，利用导数求出其最小值，，即得证．‎ ‎【详解】（1），，切点坐标为，‎ 在处的切线方程为， ‎ 即，令，得，．‎ 在处的切线过定点．其坐标为． ‎ ‎（2）由题知，的定义域为．‎ ‎．‎ 若，则恒成立，在上单调递增，无最大值． ‎ 若，令，得（舍）或 当，；当时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减， ‎ 故，‎ 即． ‎ 若证，可证，令，，‎ 则有，即证． ‎ 设，则．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故．，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线在某一点处的切线方程，直线系过定点的求法，以及利用导数求函数的最值和函数不等式恒成立问题的解法应用，意在考查学生的数学转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎ [选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，曲线，曲线（为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．l与，分别交于异于极点的A，B两点，且．‎ ‎（1）写出曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，消去参数，即可求得曲线的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）将曲线化成极坐标方程，然后将分别代入，曲线和的极坐标方程即可求得，由题意列出方程，即可解出实数a的值．‎ ‎【详解】（1）把曲线化成普通方程为，即， ‎ 所以曲线的极坐标方程为． ‎ ‎（2）把曲线化成极坐标方程为， ‎ 把分别代入和得，， ‎ ‎， ‎ ‎，，解得．‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系下的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎ [选修4-5：不等式选讲] ‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数的图象与直线围成的图形的面积为6，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据绝对值的定义，确定分段点，，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别解不等式即可求出；‎ ‎（2）根据题意作出函数函数的图象与直线，由图可知，围成的图形为三角形，再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数a的值．‎ ‎【详解】（1）， ‎ 当时，由，得，解得； ‎ 当时，由，得，无解； ‎ 当时，由，得，解得． ‎ 所以的解集为． ‎ ‎（2）由（1）知，方程的解为或．‎ 作出函数的图象，如图所示：‎ 由图象可知，函数的图象与直线围成的图形为三角形，面积为，故，解得．‎ 因为，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．‎