2018届二轮复习函数的应用学案理（全国通用）
专题03 函数的应用
求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．应用函数模型解决实际问题的一般程序
⇒⇒⇒
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.
考点一 函数的零点判断
例1、【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a=
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时，，当时，，函数 单调递减，
当时，，函数 单调递增，
当时，函数取得最小值，
设 ，当时，函数取得最小值 ，
【变式探究】(1)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2,3)
(2)已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．1 B．3 C．2 D．4
解析：(1)∵f′(x)＝ex＋>0，∴f(x)在R上单调递增，又f＝－<－<0，f(1)＝e－>0，∴零点在区间上．
(2)作出函数f(x)与g(x)的图象如图所示，易知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y＝f(x)－g(x)有3个零点，故选B.
答案：(1)B (2)B
【方法技巧】函数零点的求法
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．
【变式探究】设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
考点二、二次函数的零点
例2、已知函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.
(1)若不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)因为不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，所以a＝－3，于是f(x)＝x2－3x＋2.
由f(x)≥1－x2得，1－x2≤x2－3x＋2，解得x≤或x≥1，所以不等式f(x)≥1－x2的解集为
(2)函数g(x)＝2x2＋ax＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即
解得－5
0，当x∈(9,10]时，W′<0，
∴当x＝9时，W取极大值，即最大值，
且Wmax＝8.1×9－×93－10＝38.6.
②当x>10时，W＝98－
≤98－2 ＝38，
当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，
故当x＝时，W取最大值38(当1 000x取整数时，W一定小于38)．
综合①②知，当x＝9时，W取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．
【方法技巧】
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型．
(2)求函数最值常利用基本(均值)不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值．
【变式探究】
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；
(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
1.【2017北京，理14】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.
①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.
②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3
中最大的是_________.
【答案】；
【解析】作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，
分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是
2.【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.
【答案】
写成分段函数的形式：，
函数 在区间 三段区间内均单调递增，
且： ，
据此x的取值范围是： .
3.【2017课标1，理21】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一个零点.
（ⅱ）若，由（1）知，当时， 取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，由于，即，故没有零点；
1.【2016高考山东理数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
【解析】画出函数图象如下图所示：
由图所示，要有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得。
2、【2016高考上海理数】已知点在函数的图像上，则.
【答案】
【解析】将点（3，9）代入函数中得，所以，用
表示得，所以.
3.【2016高考上海理数】已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【答案】（1）．（2）．（3）．
（3）当时，，，
所以在上单调递减．
4.【2016高考上海理数】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
, ,
②
前两式作差，可得
结合第三式，可得,
也有
∴②正确
故选D.
【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D.
【2015高考湖南，理15】已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】.
【解析】分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，
若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；
若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组
有解，从而，综上，实数的取值范围是.
【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为
【答案】4
【2015高考天津，理8】已知函数 函数 ，其中，若函数 恰有4个零点，则的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由得，
所以，
即
,所以恰有4个零点等价于方程
有4个不同的解，即函数与函数的图象的4个公共点，由图象可知.
【2015高考浙江，理10】已知函数，则 ，的最小值是 ．
【答案】，.
【2015高考四川，理13】某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）。若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时。
【答案】24
【解析】
由题意得：，所以时，.
【2015高考上海，理10】设为，的反函数，则的最大值为 ．
【答案】4
【解析】由题意得：在上单调递增，值域为，所以在上单调递增，因此在上单调递增，其最大值为
【2015高考北京，理14】设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】(1)1，(2)或.
②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当时，，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.
【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.
（1） 证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）3.
【解析】
（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为3.
（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
【答案】D
【解析】设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
1．（2014·湖南卷）已知函数f(x)＝x2＋ex－(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，) B．(－∞，)
C. D.
【答案】B
2．（2014·天津卷）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【答案】(0，1)∪(9，＋∞)
【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像相切时，由整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，则Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，09.
3．（2014·浙江卷）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且09
【答案】C
4．（2014·全国卷）若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是________．
【答案】(－∞，2]
【解析】f(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令sin x＝t，则f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈，所以t∈，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈.因为f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间上是减函数，又对称轴为x＝，∴≤，所以a∈(－∞，2]．
5．（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )
图11
A B
C D
【答案】B
6．（2014·江西卷）已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
【答案】A
【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.
7．（2014·辽宁卷）已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为0log＝1，所以c>a>b.
8．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】C
【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.
9．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
【答案】D
【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，＞都不一定正确，故选D.
10．（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是( )
A．f(x)＝x B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ D．f(x)＝3x
【答案】B
【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝为单调递减函数，所以排除选项D.
11．（2014·山东卷）已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A. ＞ B. ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C. sin x＞sin y D. x3＞y3
【答案】D
12．（2014·山东卷）函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪[2，＋∞)
【答案】C
【解析】根据题意得，解得故选C.
13．（2014·福建卷）若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )
图11
A B
C D
【答案】B
【解析】由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝，则其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，则其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，则其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，则其函数图像不正确．
14．（2014·广东卷）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．
【答案】50
15．（2014·辽宁卷）已知a＝2－，b＝log2，
c＝log，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
【答案】C
【解析】因为0log＝1，所以c>a>b.
16．（2014·天津卷）函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【答案】D
【解析】要使f(x)单调递增，需有解得x<－2.
17．（2014·陕西卷）已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________．
【答案】
【解析】由4a＝2，得a＝，代入lg x＝a，得lg x＝，那么x＝10 ＝.
18．（2014·湖南卷）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p
，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B.
C. D.－1
19．（2014·陕西卷）如图12，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为 ( )
图12
A．y＝x3－x B．y＝x3－x
C．y＝x3－x D．y＝－x3＋x
【答案】A 【解析】设该三次函数的解析式为y＝ax3＋bx2＋cx＋d.因为函数的图像经过点(0，0)，所以d＝0，所以y＝ax3＋bx2＋cx.又函数过点(－5，2)，(5，－2)，则该函数是奇函数，故b＝0，所以y＝ax3＋cx，代入点(－5，2)得－125a－5c＝2.又由该函数的图像在点(－5，2)处的切线平行于x轴，y′＝3ax2＋c，得当x＝－5时，y′＝75a＋c＝0.联立解得故该三次函数的解析式为y＝x3－x.
20．（2014·重庆卷）函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
【答案】－
1．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)＝则函数g(x)＝lg x的图象与函数f(x)的图象的交点个数为( )
A．3 B．5
C．9 D．10
解析：选C 因为函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)的图象与函数g(x)＝lg x的图象如图所示，
由图可知两曲线有9个交点．
2．已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由题意知，f(x)＝当x>1时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，则x＝1是f(x)的一个零点；当01时，令1－ln2x＝0，解得x＝e，此时f(x)有一个零点；当x＝1时，f(1)＝0，则x＝1是f(x)的一个零点；当0
查看更多
