数学理·湖北省荆州市洪湖一中2017届高三上学期9月联考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·湖北省荆州市洪湖一中2017届高三上学期9月联考数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年湖北省荆州市洪湖一中高三（上）9月联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁UB=（　　）‎ A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎2．函数的定义域是（　　）‎ A． B． C． D．[0，+∞）‎ ‎3．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎4．已知S1=xdx，S2=exdx，S3=x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2 C．S3＜S2＜S1 D．S2＜S3＜S1‎ ‎5．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎7．若曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线过点（0，﹣2e），则函数y=f（x）的极值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．e ‎8．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（　　）‎ A．g（x）=sin（2x﹣） B．g（x）=sin（2x+） C．g（x）=cos（2x+） D．g（x）=cos（2x﹣）‎ ‎9．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．（，2） B．（，2） C．[，2） D．（，2]‎ ‎11．设f（x）=，则f（x）dx的值为（　　）‎ A． + B． +3 C． + D． +3‎ ‎12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，0）∪（0，3） D．（﹣∞，0）∪（0，1）‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的　　条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）‎ ‎14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎15．已知α∈（0，），且tan（α+）=3，则lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=　　．‎ ‎16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题本大题共5小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知sinαtanα=，且0＜α＜π．‎ ‎（1）求α的值；‎ ‎（2）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．‎ ‎18．设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．‎ ‎（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；‎ ‎（2）判断f（x）在R上的单调性；‎ ‎（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）‎ ‎（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；‎ ‎（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．‎ ‎20．已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．‎ ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？‎ ‎（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ ‎21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）‎ ‎（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：FB=FC；‎ ‎（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知不等式|x2﹣3x﹣4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若m，n∈（﹣1，1），且mn=，S=+，求S的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖北省荆州市洪湖一中高三（上）9月联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设U=R，A={x|2x＞1}，B={x|log2x＞0}，则A∩∁UB=（　　）‎ A．{x|x＜0} B．{x|x＞1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合 ‎【解答】解：易知A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩CUB={x|0＜x≤1}，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．函数的定义域是（　　）‎ A． B． C． D．[0，+∞）‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则，‎ 即，即，‎ 解得x＞﹣且x≠0，‎ 故函数的定义域为，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．‎ ‎【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），‎ 可得3cos2α=（cosα﹣sinα），‎ ‎3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），‎ ‎∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，‎ 上式化为：sinα+cosα=，‎ 两边平方可得1+sin2α=．‎ ‎∴sin2α=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．已知S1=xdx，S2=exdx，S3=x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（　　）‎ A．S1＜S2＜S3 B．S1＜S3＜S2 C．S3＜S2＜S1 D．S2＜S3＜S1‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．‎ ‎【解答】解：S1=xdx=x2|=（4﹣1）=，S2=exdx=ex|=e2﹣e=e（e﹣1），S3=x2dx=|=（8﹣1）=，‎ ‎∵＜＜e（e﹣1），‎ ‎∴S1＜S3＜S2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．设复数z满足（z+i）（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则|z|=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】复数求模．‎ ‎【分析】变形已知条件可得z+i=，化简可得z，可得模长．‎ ‎【解答】解：∵（z+i）（1+i）=1﹣i，‎ ‎∴z+i==‎ ‎==﹣i，∴z=﹣2i ‎∴|z|=2‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．设f（x）=x3+log2（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（　　）‎ A．充分必要条件 B．充分而非必要条件 C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的性质；奇函数．‎ ‎【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件．‎ ‎【解答】解：f（x）=x3+log2（x+），f（x）的定义域为R ‎∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2‎ ‎=﹣x3﹣log2（x+）=﹣f（x）．‎ ‎∴f（x）是奇函数 ‎∵f（x）在（0，+∞）上是增函数 ‎∴f（x）在R上是增函数 a+b≥0可得a≥﹣b ‎∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b）‎ ‎∴f（a）+f（b）≥0成立 若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知 a≥﹣b ‎∴a+b≥0成立 ‎∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．‎ ‎　‎ ‎7．若曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线过点（0，﹣2e），则函数y=f（x）的极值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．e ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，解方程可得a=2，求出f（x）的单调区间，即可得到f（x）的极大值．‎ ‎【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，‎ 可得在点（1，0）处的切线斜率为k=ae，‎ 由两点的斜率公式，可得ae==2e，‎ 解得a=2，f（x）=，‎ f′（x）=，‎ 当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增．‎ 即有x=e处f（x）取得极大值，且为f（e）=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象如图所示，则函数g（x）的解析式可以是（　　）‎ A．g（x）=sin（2x﹣） B．g（x）=sin（2x+） C．g（x）=cos（2x+） D．g（x）=cos（2x﹣）‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由图象可得g（x）的图象经过点（，），逐个选项验证可得．‎ ‎【解答】解：代值计算可得f（）=sin=，‎ 由图象可得g（x）的图象经过点（，），‎ 代入验证可得选项A，g（）=sin≠，故错误；‎ 选项B，g（）=sin≠，故错误；‎ 选项D，g（）=cos=﹣cos=≠，故错误；‎ 选项C，g（）=cos=cos=，故正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．定义在R上的函数f（x），若对任意x1≠x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：①y=﹣x2+x+1；②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；③y=ex+1；④f（x）=其中“H函数”的个数为（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，‎ ‎∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，‎ 即函数f（x）是定义在R上的增函数．‎ ‎①y=﹣x2+x+1的对称轴是x=，则函数在定义域上不单调，不满足条件．‎ ‎②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；y′=3﹣2（cosx+sinx）=3﹣2sin（x+）＞0，函数单调递增，满足条件．‎ ‎③y=ex+1为增函数，满足条件．‎ ‎④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．‎ 综上满足“H函数”的函数为②③，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A．（，2） B．（，2） C．[，2） D．（，2]‎ ‎【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（﹣2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：设x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，‎ ‎∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，‎ ‎∵f（x）是定义在R上的偶函数，‎ ‎∴f（x）=f（﹣x）=2x﹣1．‎ ‎∵对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），‎ ‎∴当x∈[2，4]时，（x﹣4）∈[﹣2，0]，‎ ‎∴f（x）=f（x﹣4）=xx﹣4﹣1；‎ 当x∈[4，6]时，（x﹣4）∈[0，2]，‎ ‎∴f（x）=f（x﹣4）=2x﹣4﹣1．‎ ‎∵若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，‎ ‎∴函数y=f（x）与函数y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上恰有三个交点，‎ 通过画图可知：恰有三个交点的条件是，解得：＜a＜2，‎ 即＜a＜2，因此所求的a的取值范围为（，2）．‎ 故选：B ‎　‎ ‎11．设f（x）=，则f（x）dx的值为（　　）‎ A． + B． +3 C． + D． +3‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．‎ ‎【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，‎ 根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，‎ ‎=，‎ ‎∴f（x）dx=+（），‎ ‎=+，‎ 故答案选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，且f（1）=1，则不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，1） C．（﹣1，0）∪（0，3） D．（﹣∞，0）∪（0，1）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由题意可得函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜f（1）+1，可得﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，由此求得x的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有＞﹣1，即＞0，‎ 故函数R（x）=f（x）+x是R上的增函数，‎ 由不等式f（log2|3x﹣1|）＜2﹣log2|3x﹣1|，可得f（log2|3x﹣1|）+log2|3x﹣1|＜2=f（1）+1，‎ ‎∴log2|3x﹣1|＜1，故﹣2＜3x﹣1＜2，且3x﹣1≠0，求得3x＜3，且x≠0，‎ 解得 x＜1，且x≠0，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上．‎ ‎13．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的　充分不必要条件　条件．（空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】由条件利用充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断，可得结论．‎ ‎【解答】解：由“a＞1”，可得f′（x）=1﹣sinx＞0，故“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，故充分性成立．‎ 由“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”，可得f′（x）=1﹣sinx≥0，a≥1，不能得到“a＞1”，故必要性不成立，‎ 故答案为：充分不必要条件．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，若不等式f（x）＞a恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】求得f（x）的值域，运用二次函数和指数函数的单调性即可求得，再由不等式恒成立思想即可得到所求a的范围．‎ ‎【解答】解：当x＜﹣1时，f（x）=x2﹣2递减，‎ 可得f（x）＞f（﹣1）=1﹣2=﹣1；‎ 当x≥﹣1时，f（x）=2x﹣1递增，‎ 可得f（x）≥f（﹣1）=﹣1=﹣．‎ 综上可得，f（x）的值域为（﹣1，+∞）．‎ 由不等式f（x）＞a恒成立，‎ 即有a≤﹣1．‎ 则a的范围是（﹣∞，﹣1]．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1]．‎ ‎　‎ ‎15．已知α∈（0，），且tan（α+）=3，则lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=　1　．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．‎ ‎【分析】根据角的范围，由两角和的正切函数公式可求tanα，利用对数的运算性质即可计算得解．‎ ‎【解答】解：∵α∈（0，），且tan（α+）=3，‎ ‎∴=3，‎ ‎∴tan，‎ ‎∴lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=lg=lg=lg10=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎16．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）=　2014　．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．‎ ‎【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，‎ 由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，‎ f（x0）=1，‎ 则（，1）为f（x）的对称中心，由于，‎ 则f（）+f（）=2f（）=2，‎ 则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．‎ 故答案为：2014．‎ ‎　‎ 三、解答题本大题共5小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知sinαtanα=，且0＜α＜π．‎ ‎（1）求α的值；‎ ‎（2）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得α的值．‎ ‎（2）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．‎ ‎【解答】解：（1）∵sinαtanα=，∴2sin2α=3cosα，即 2cos2α+3cosα﹣2=0，求得cosα=，或cosα=﹣2（舍去）．‎ ‎∵0＜α＜π，∴α=．‎ ‎（2）函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）=4cosx[cosx•+sinx•]=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）．‎ 在[0，]上，2x+∈[，]，2sin（2x+）∈[1，2]，2sin（2x+）+1∈[2，3]，‎ 故函数f（x）的值域为[2，3]．‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．‎ ‎（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；‎ ‎（2）判断f（x）在R上的单调性；‎ ‎（3）设集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax﹣y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明；集合关系中的参数取值问题；函数的值．‎ ‎【分析】（1）利用赋值法证明f（0）=1，因为f（m+n）=f（m）f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，利用赋值法，只需令m=x＜0，n=﹣x＞0，即可证明当x＜0时，有f（x）＞1．‎ ‎（2）利用函数单调性的定义判断，只需设R上x1，x2，且x1＜x2，再作差比较f（x2）与f（x1）的大小即可．‎ ‎（3）先判断集合A，B分别表示什么集合，两个集合都是点集，A表示圆心在（0，0），半径是1的圆的内部，B表示直线ax﹣y+2=0，因为A∩B=∅，所以直线与圆内部没有交点，直线与圆相离或相切，再据此求出参数的范围．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），‎ 且由x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；‎ 设m=x＜0，n=﹣x＞0，∴f（0）=f（x）f（﹣x），∴f（x）=‎ ‎∵﹣x＞0，∴0＜f（﹣x）＜1，∴＞1．‎ 即当x＜0时，有f（x）＞1．‎ ‎（2）设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，∴0＜f（x2﹣x1）＜1，‎ ‎∴f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）‎ ‎=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x1）=f（x1）[f（x2﹣x1）﹣1]＜0，‎ ‎ 当m=n时，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）2≥0，‎ 所以当x∈R，f（x）≥0，所以f（x1）≥0，‎ 所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2＞f（x1），‎ ‎∴f（x）在R上单调递减．‎ ‎（3）∵f（x2）f（y2）＞f（1），‎ ‎∴f（x2+y2）＞f（1），由f（x）单调性知x2+y2＜1，‎ 又f（ax﹣y+2）=1=f（0），‎ ‎∴ax﹣y+2=0，‎ 又A∩B=∅，∴，‎ ‎∴a2+1≤4，从而．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣（x∈R）‎ ‎（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；‎ ‎（2）设锐角△ABC的内角A、B、C的对应边分别是a，b，c，且a=1，c∈N*，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，求c的值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）首先，化简函数解析式，利用辅助角公式，化简给定的函数，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解；‎ ‎（2）根据向量共线的条件，同时结合余弦定理进行求解．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=sin2x﹣﹣，‎ ‎=sin2x﹣cos2x﹣1，‎ ‎=sin（2x﹣）﹣1，‎ ‎∵x∈[﹣，]，‎ ‎∴﹣≤2x﹣，‎ ‎∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，‎ ‎∴当sin（2x﹣）=1时，即2x﹣=，得x=，f（x）取得最大值；‎ 当sin（2x﹣）=﹣时，即2x﹣=﹣，得x=﹣，f（x）取得最小值；‎ ‎（2）∵向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）平行，‎ 所以sinB=2sinA，根据正弦定理的推论，得b=2a，‎ ‎∴a=1，b=2，‎ 由余弦定理c2=1+4﹣2×1×2cosC=5﹣4cosC，‎ ‎∵0＜C＜，∴0＜cosC＜1，‎ ‎∴1＜c2＜5，∴1＜c＜，‎ ‎∵c∈N*，∴c=2，经检验符合三角形要求，‎ ‎∴c的值2．‎ ‎　‎ ‎20．已知某公司生产品牌服装的年固定成本是10万元，每生产一千件，需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=．‎ ‎（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大？‎ ‎（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）当0＜x≤10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10，当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x，由此能求出年利润W（万元）关于该特许商品x（千件）的函数解析式；‎ ‎（2）当0＜x≤10时，由W′=8.1﹣=0，得x=9，推导出当x=9时，W取最大值，且wmax=38.6；当x＞10时，W≤38．由此得到当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大．‎ ‎【解答】解：（1）当0＜x≤10时，‎ W=xR（x）﹣（10+2.7x）=8.1x﹣﹣10，‎ 当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x，‎ ‎∴W=；‎ ‎（2）①当0＜x≤10时，‎ 由W′=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，w′＞0，‎ 当x∈（9，10）时，w′＜0．‎ ‎∴当x=9时，W取最大值，且wmax=8.1×9﹣×93﹣10=38.6．‎ ‎②当x＞10时，W=98﹣（+2.7x）＜98﹣2 =38，‎ 当且仅当=2.7x，即x=时，Wmax=38．‎ 综合①、②知x=9时，W取最大值．‎ 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获利润最大．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）‎ ‎（Ⅰ）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：（e为自然对数的底数）．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（Ⅱ）问题转化为f（x）min≥0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围即可；‎ ‎（Ⅲ）不等式两边取对数，得到ln（1+）﹣＞0，结合函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵x=1是函数f（x）的一个极值点，‎ f′（1）=0即a=2；‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，‎ 当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，‎ 即f（x）在[0，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，‎ 当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，‎ 令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，‎ 即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．‎ 综上，a的取值范围为（0，1]．‎ ‎（Ⅲ）要证，只需证，‎ 两边取自然对数得， ，‎ ‎⇔ln﹣＞0⇔ln（1+）﹣＞0，‎ 由（Ⅱ）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，‎ 又＞0，f（0）=0，‎ ‎∴f（）=ln﹣＞f（0）=0，‎ 成立．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（几何证明选讲选做题）已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．‎ ‎（1）求证：FB=FC；‎ ‎（2）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=3，求AD的长．‎ ‎【考点】圆內接多边形的性质与判定；圆周角定理．‎ ‎【分析】（1）证明FB=FC，即证∠FBC=∠FCB，利用AD平分∠EAC，四边形AFBC内接于圆，可证得；‎ ‎（2）先计算得∠ACD=90°，∠DAC=60°，∠D=30°，在Rt△ACB中，求AC的长，在Rt△ACD中，求AD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC；‎ ‎∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC； …2′‎ ‎∵∠EAD=∠FAB=∠FCB∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC．…5‎ ‎（2）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACD=90°‎ ‎∵∠EAC=120°，∴∠DAC=60°，∴∠D=30°…7′‎ 在Rt△ACB中，∵BC=3，∠BAC=60°，∴AC=3‎ 又在Rt△ACD中，∠D=30°，AC=3，∴AD=6 …10′‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρ=2．直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点 P．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，把代入即可得出；‎ ‎（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，得到根与系数的关系，利用直线参数的意义即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由曲线C的极坐标方程ρ=2，展开为，ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，‎ ‎∴普通方程是x2+y2=2y+2x，‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．‎ ‎（2）设直线与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，‎ 把直线的参数方程，代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，‎ 得t2﹣t﹣1=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴==．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知不等式|x2﹣3x﹣4|＜2x+2的解集为{x|a＜x＜b}．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若m，n∈（﹣1，1），且mn=，S=+，求S的最大值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）对不等式的右边分解因式，可得x+1＞0，且|x﹣4|＜2，由绝对值不等式的解法，可得a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）可得mn=，S=+，运用基本不等式a+b≥2（a=b取得等号），以及a2+b2≥2ab（a=b取得等号），可得S的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，‎ 所以a=2，b=6．‎ ‎（Ⅱ）因为a=2，b=6，所以．‎ 由m，n∈（﹣1，1），可得1﹣m2＞0，1﹣n2＞0，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号，所以Smax=﹣6．‎ ‎　‎ ‎2016年10月30日