数学理卷·2018届北京市房山区高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届北京市房山区高三上学期期末考试（2018

房山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷 高三年级数学学科（理）‎ 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）若集合，，则集合等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）在复平面内，复数在复平面中对应的点在 ‎（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 ‎（3）若变量满足约束条件，则的最大值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的为，则输出的的值分别为 ‎ ‎（A） ‎ ‎（B）‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎（5）“”是“”成立的 ‎ （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎ （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎（6）下列函数是奇函数且在区间上单调递增的是 ‎（A） （B） ‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ O y a b x ‎（8）函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值的集合为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9）已知平面向量，，且，则 ．‎ ‎（10）在△中，三个内角所对的边分别是．若 ‎，则 ． ‎ ‎（11）中国古代钱币（如图）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图，圆形钱币的半径为,正方形边长为，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 图1 图2‎ ‎（12）等差数列的首项为，公差不为，且成等比数列，则______.‎ ‎（13）能够说明“若甲班人数为，平均分为；乙班人数为，平均分为，则甲乙两班的数学平均分为”是假命题的一组正整数,的值依次为_____．‎ ‎（14）将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则 ，数列（）的前项和为 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎（15）（本小题分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域．‎ ‎（16）（本小题分）‎ 某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．‎ ‎（Ⅰ）求获得复赛资格的人数；‎ ‎（Ⅱ）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?‎ ‎（Ⅲ）从（Ⅱ）抽取的人中，选出人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎（17）（本小题分）‎ yA BB CC DD NN MM 如图几何体ADM-BCN中，是正方形，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：； ‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值.‎ ‎（18）（本小题分）‎ 已知直线过点，圆:,直线与圆交于两点.‎ ‎（） 求直线的方程；‎ ‎（）求直线的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）是否存在过点且垂直平分弦的直线?若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．‎ ‎（19）（本小题分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（）当时，设,求在区间上的最大值．‎ ‎（20）（本小题分）‎ 对于各项均为整数的数列，如果满足（）为完全平方数，则称数列具有“性质”；不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：①是的一个排列；②数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”.‎ ‎（Ⅰ）设数列的前项和，证明数列具有“性质”； ‎ ‎（Ⅱ）试判断数列和数列是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；‎ ‎（Ⅲ）对于有限项数列，某人已经验证当（）时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”.‎ 房山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷答案 高三年级数学学科（理）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 ‎（A）‎ ‎（A）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（A）‎ ‎（C）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。‎ ‎（9） （10） （11） （12） （13） 是不相等的正整数即可 ‎（14），‎ 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。‎ ‎ (15)解：（Ⅰ）‎ ‎ …………………7分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ 因为，所以， ‎ 所以，因此 所以的值域为． …………………13分 ‎（16）解：（1）由题意知之间的频率为:‎ ‎∴获得参赛资格的人数为 ………………5分 ‎（Ⅱ）结果是5，2.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为0，1，2，则 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ……………13分 ‎（17）解：（Ⅰ）在正方形中，；‎ 又，；‎ ‎ …………………5分 ‎（Ⅱ）四边形是正方形 ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ …………………10分 A z x ‎（Ⅲ）法1：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；‎ 由（Ⅱ）；‎ 设面的法向量，‎ 令，‎ 由图可知二面角为锐角 二面角的余弦值为 …………………14分 法2：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示；‎ 由（Ⅱ）；‎ 设面的法向量，‎ 令，‎ 由图可知二面角为锐角 二面角的余弦值为. …………………14分 ‎（18）（）设圆,圆心为，‎ 故直线的方程为，即 …………………5分 ‎（）法1：直线的方程为，则 由得 由得 故 …………………10分 法2：直线的方程为，即，‎ 圆心为，圆的半径为1则圆心到直线的距离 因为直线与有交于两点，故，故 ‎（Ⅲ）假设存在直线垂直平分于弦,此时直线过，，则 ‎，故的斜率，由（）可知，不满足条件 所以，不存在存在直线垂直于弦。 …………………14分 ‎（19）解：(I)当时， ‎ 所以.‎ ‎ 所以，切点为.‎ ‎ 所以曲线在点处的切线方程为即 ‎ ‎…………………6分 ‎（）因为，,令,则 当时, ,,为减函数 所以的最大值为 当时, 时 ‎+‎ ‎ 0‎ ‎ -‎ ‎↗‎ ‎ 极大 ‎↘ ‎ 所以的最大值为 当时, 时，恒成立，为增函数 所以的最大值为 ‎ ………………13分 ‎ （20）解：（Ⅰ）当时， ‎ ‎，‎ 又，所以. ‎ 所以（）是完全平方数，数列具有“M性质”.………4分 ‎（Ⅱ）数列具有“变换M性质”， ‎ 数列为. ‎ 数列不具有“变换M性质”. ‎ 因为，都只有与的和才能构成完全平方数，‎ 所以数列不具有“变换M性质”. …………8分 ‎（Ⅲ）设，，‎ 注意到，‎ 令， ‎ 由于，，所以，‎ 又，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即. ‎ 因为当（）时，数列具有“变换M性质”，‎ 所以可以排列成，使得都是平方数； ‎ 另外，，，…，可以按相反顺序排列，即排列为，…，，，‎ 使得，‎ ‎，…， ‎ ‎ 所以可以排成 满足都是平方数. …………13分