【数学】2018届一轮复习人教A版7-4基本不等式及应用（组）与简单的线性规划问题学案

【数学】2018届一轮复习人教A版7-4基本不等式及应用（组）与简单的线性规划问题学案

第04节 基本不等式及其应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 基本不等式 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用 ‎2015浙江文12,20；理10.‎ 利用基本不等式求函数的最值 备考重点：‎ ‎1.基本不等式等号成立的条件；‎ ‎2.基本不等式应用问题.‎ ‎【知识清单】‎ 基本不等式 1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）‎ 推论：（）‎ 2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.‎ 推论：（，）；‎ ‎3、‎ 对点练习 ‎【2018重庆铜梁县联考】函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则 + 的最小值为（　　）‎ A. 3+2 B. 3+‎2 ‎C. 7 D. 11‎ ‎【答案】A ‎【考点深度剖析】‎ 基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1利用基本不等式证明不等式 ‎【1-1】不已知、、都是正数，求证：‎ ‎【解析】∵、、都是正数 ‎∴ （当且仅当时，取等号） ‎ ‎ （当且仅当时，取等号）‎ ‎ （当且仅当时，取等号） ‎ ‎∴（当且仅当时，取等号）‎ 即.‎ ‎【1-2】已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.‎ ‎【解析】∵，，，‎ ‎∴.同理，.∴‎ ‎＝，当且仅当，即时取“＝”．‎ ‎∴，当且仅当时等号成立．‎ ‎【领悟技法】‎ 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】求证:‎ 考点2 利用基本不等式求最值 ‎【2-1】【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.‎ ‎【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x的不等式x2-4ax+‎3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】：不等式x2-4ax+‎3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2）， ‎ 根据韦达定理，可得： ，x1+x2=‎4a， ‎ 那么： =‎4a+． ‎ ‎∵a＜0， ‎ ‎∴-（‎4a+）≥2=，即‎4a+≤- ‎ 故的最大值为． ‎ 故选：D．‎ ‎【2-3】【2018安徽安庆模拟】若方程有两个不等的实根和，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ 注意：形如y＝x＋(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数的两个零点为， ，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，所以 ，则 ，故选择B.‎ ‎【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）‎ A. B. C. D. -4‎ ‎【答案】A 考点3 基本不等式的实际应用 ‎【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.‎ ‎【3-2】如图，有一块等腰直角三角形的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地，已知,，绿地面积最大值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，，由条件可知和为等直角三角形，所以，．＝≥＝，即≤4，所以，所以绿地面积最大值为4，故选C．‎ ‎【3-3】　()某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD＝‎60 m，AB＝‎40 m，且△EFG中，∠EGF＝90°，经测量得到AE＝‎10 m，EF＝‎20 m，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN＝x(m)．‎ ‎(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；‎ ‎(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．‎ ‎【领悟技法】‎ 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：‎ ‎(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；‎ ‎(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；‎ ‎(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；‎ ‎(4)正确写出答案.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶‎130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎【解析】(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50，100]．‎ 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈[50，100]．‎ ‎(或y＝＋x，x∈[50，100])．‎ y＝＋x≥26，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18，等号成立．‎ 故当x＝‎18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．‎ ‎[错解]　错解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，‎ 从而z＝(x＋)(y＋)≥4，‎ 所以z的最小值是4.‎ 错解二：z＝ ‎＝(＋xy)－2≥2－2＝2(－1)，‎ 所以z的最小值是2(－1)．‎ 易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．‎ 温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”‎ 是说各项的值相等时，等号成立．‎ ‎2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．‎