2017-2018学年甘肃省高台县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年甘肃省高台县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018 学年甘肃省高台县第一中学下学期期中考试 高二文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 测试范围：人教选修 1-1、1-2、4-4、4-5 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．已知点 A 的极坐标为 5π(2, )6 ，则点 A 的直角坐标为 A． (1, 3) B． ( 1, 3) C． ( 3, 1) D． ( 3,1) 2．已知i 为复数单位，则在复平面内复数 2 1 i 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四 象限 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个是钝角”时，要做的假设是 A．假设三角形的内角中至少有一个钝角 B．假设三角形的内角中至少有两个 钝角 C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个 钝角 4．设 m ， n均为非零的平面向量，则“存在负数  ，使得 m n ”是“ 0 m n ”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知曲线 3 2( ) 2f x x ax   在点 (1, (1))f 处的切线的倾斜角为 3 4  ，则实数 a  A． 2 B． 1 C． 2 D．3 6．已知命题 0:p x R ， 0 5sin 2x  ；命题 :q x  R ， 2 1 0x x   ．则下列结论正 确的是 A． p 是真命题 B． p q   是假命题 C． p q 是真命题 D． p q  是真命题 7．《九章算术》中的玉石问题：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸， 中有玉，并一十一斤，问玉、石各重几何？（斤、两：我国传统的质量单位，古代一斤 等于 16 两；寸：我国传统的长度单位）其意思为：宝玉 1 立方寸重 7 两，石料 1 立方寸 重 6 两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是 3 寸，质量是 11 斤，问这个 正方体中的宝玉和石料各多少两？如图所示的程序框图给出了此问题的一个求解算法， 运行该程序框图，则输出的 ,x y 分别为 A．90，86 B．94，82 C．98，78 D．102， 74 8．已知点 ( 2,0)A  和点 (2,0)B ，若动点 ( , )P x y 在直线 : 3l y x  上移动，椭圆C 以 A ， B 为焦点且经过点 P ，则椭圆 C 的离心率的最大值为 A． 26 13 B． 2 26 13 C． 2 13 13 D． 4 13 13 9．若函数 sin( ) cos a xf x x  在区间 π π[ , ]6 3 上单调递增，则实数 a 的取值范围为 A． ( ,2) B． ( 1,2] C．[2, ) D． (2, ) 10．已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0, 0)a b  的两条渐近线与抛物线 2: 2 ( 0)y px p   的准线分别交于 A ， B 两点．若双曲线C 的离心率为 2 ， ABO△ 的面积为 2 3 ，O 为坐标原点，则抛物线  的焦点坐标为 A． ( 2,0) B． ( 2 ,02 ) C． (1,0) D． (1 ,02 ) 11 ． 已 知 大 于 1 的 正 整 数 的 三 次 幂 可 以 分 解 成 几 个 奇 数 的 和 ， 比 如 32 3 5  ， 33 7 9 11   ， 34 13 15 17 19    ，…，以此规律可知 345 分解后，和式中一定不 含有 A． 2069 B． 2039 C． 2009 D．1979 12．若存在正实数 , ,x y z ，使得 e 2 z xy z  ，且 2e x z x  ，则 ln y x 的取值范围是 A． 1[1 ln2, ]2  B．[1 ln2,e 1 ln2]   C．[ ln2,e 1 ln2]   D． 1[ ,1]2 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知i 为复数单位，若复数 z 的共轭复数 z 满足 (1 i) 3 iz   ，则| |z ______________． 14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 5次试验，收 集到的数据如下表，由最小二乘法求得线性回归方程为 0 67 54 9ˆy x ． ．，则下表中污 损的数据为______________． 零件数 x （个） 10 20 30 40 50 加工时间 y （分 钟） 62  75 81 89 15．已知曲线 2 cos: sin xC y       ( 为参数)，直线 1 3: 2 4 x tl y t      (t 为参数)，若直线l 与曲 线C 交于 A ， B 两点，则| |AB ______________． 16．某学校建议同学们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四 位同学被问及情况．甲说：我没去；乙说：丁去了；丙说：乙去了；丁说：我没去．若 这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，且只有一位同学说了假话，则去幸福广场的 这位同学是______________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) | 2 | | |,f x x a x a     R ． （1）当 3a  时，求不等式 ( ) 3 0f x   的解集； （2）若不等式 ( ) 1f x  恒成立，求实数 a 的取值范围． 18．（本小题满分 12 分） 现有一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为 x 的小正方形，然后做成 一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V 表示为 x 的函数； （2）当 x 为何值时，方盒的容积V 最大？并求出方盒的容积的最大值． 19．（本小题满分 12 分） 已知曲线 1C 的参数方程为 2 2 x t y t     （ t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 cos sin 1     ． （1）求曲线 1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程； （2）设 (1,0)F ，曲线 2C 与曲线 1C 交于不同的两点 A ， B ，求| | | |AF BF 的值． 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) (2 )( 2)f x x x   ． （1）求函数 ( )f x 的单调区间（用开区间表示）； （2）求函数 ( )f x 在区间 3[ 5, ]2  上的最大值与最小值． 21．（本小题满分 12 分） 2018 年为我国改革开放 40 周年，某事业单位共有职工 600 人，其年龄与人数分布表 如下： 年龄段 [22,35) [35,45) [45,55) [55,59] 人数（单位： 人） 180 180 160 80 若定义 45 岁至 59岁的为中年人，其余的为青年人，现按分层抽样抽取30人作为某庆 祝晚会的观众． （1）若抽出的青年观众与中年观众中分别有12 人和5人不热衷关心民生大事，其余人 热衷关心民生大事．请将下面的 2 2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为 年龄层与是否热衷关心民生大事有关？ 热衷关心民生大事 不热衷关心民生大 事 总计 青年观众 12 中年观众 5 总计 30 （2）在（1）的条件下，热衷关心民生大事的青年观众中有 1 人擅长歌舞，有 3 人擅长 乐器，现从热衷关心民生大事的青年观众中随机抽取 2 人上台进行才艺表演，求抽出的 2 人能胜任才艺表演的概率． 参考公式及数据： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b      的离心率为 2 2 ， 1 2,F F 是椭圆  的两个焦点，A 为椭圆  上一点，且 1 2 3F AF   ， 1 2F AF△ 的面积为 3 3 ． （1）求椭圆  的标准方程； （2）已知点 (0,1)P ，直线l 不经过点 P 且与椭圆交于 ,B C 两点，若直线 PB 与直线 PC 的 斜率之和为1，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 高二文科数学·参考答案 13． 14． 68 15． 16．乙 21．（本小题满分 12 分） 【答案】（1）列联表见解析，没有 90% 的把握认为年龄层与是否热衷关心民生大事有关； （2） 【解析】（1）由题可得抽出的青年观众有 18 人，中年观众有 12 人， 所以没有 90% 的把握认为年龄层与是否热衷关心民生大事有关．（6 分） （2）热衷关心民生大事的青年观众有 6 人，记这 6 人分别为 A， B，C，D，a，b，其中 A 表示擅长歌舞的青年观众，B，C，D 表 示擅长乐器的青年观众， 从这 6 人中随机抽取 2 人，有 AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD， Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共 15 种情况，（9 分） 其中能胜任才艺表演的有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种 情况，（10 分） 故所求概率 P= = = （12 分）