【数学】2019届一轮复习人教A版（文）简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
1．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[知识梳理]
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．
(2)概念
用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p
且 q”，记作 p∧q；
用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，得到复合命题“p
或 q”，记作 p∨q；
对命题 p 的结论进行否定，得到复合命题“非 p”，记作綈 p.
(3)命题 p∧q，p∨q，綈 p 的真假判断
p q
p
∧q
p
∨q
綈
p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
(4)命题的否定与否命题的区别
①定义：命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则
是对原命题的条件和结论分别否定，即命题“若 p，则 q”的否定为“若
p，则綈 q”，而否命题为“若綈 p，则綈 q”．
②与原命题的真假关系：命题的否定的真假与原命题的真假总是
相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联
系．
2．全称量词和存在量词
3．全称命题和特称命题
4．复合命题的否定
(1)“綈 p”的否定是“p”；(2)“p∨q”的否定是“(綈 p)∧(綈
q)”；(3)“p∧q”的否定是“(綈 p)∨(綈 q)”．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)若 p∧q 为真，则 p∨q 必为真；反之，若 p∨q 为真，则 p∧q
必为真．( )
(2)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量
词．( )
(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．( )
(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈 p(x)的真假性相反．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．教材衍化
(1)(选修 A1－1P26T2)命题“∀x>0，都有 x2－x＋3≤0”的否定是
( )
A．∃x>0，使得 x2－x＋3≤0
B．∃x>0，使得 x2－x＋3>0
C．∀x>0，都有 x2－x＋3>0
D．∀x≤0，都有 x2－x＋3>0
答案 B
解析 命题“∀x>0，都有 x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使
得 x2－x＋3>0.故选 B.
(2)(选修 A1－1P28T1)已知命题 p：∃x∈R，x－2>lg x，命题 q：∀
x∈R，x2>0，则( )
A．命题 p∨q 是假命题
B．命题 p∧q 是真命题
C．命题 p∧(綈 q)是真命题
D．命题 p∨(綈 q)是假命题
答案 C
解析 由于 x＝10 时，x－2＝8，lg x＝lg 10＝1，故命题 p 为真
命题，令 x＝0，则 x2＝0，故命题 q 为假命题，
依据复合命题真假性的判断法则，得到命题 p∨q 是真命题，命
题 p∧q 是假命题，綈 q 是真命题，
进而得到命题 p∧(綈 q)是真命题，命题 p∨(綈 q)是真命题．故
选 C.
3．小题热身
(1)(2015·浙江高考)命题“∀n∈N *，f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定
形式是( )
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且 f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或 f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且 f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或 f(n0)>n0
答案 D
解析 “f(n)∈N*且 f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或 f(n)>n”，全称
命题的否定为特称命题．故选 D.
(2)(2015·山东高考)若“∀x∈
[0，π
4]，tanx≤m”是真命题，则实
数 m 的最小值为________．
答案 1
解析 若 0≤x≤π
4
，则 0≤tanx≤1，∵“∀x∈
[0，π
4]，tanx≤m”
是真命题，∴m≥1.∴实数 m 的最小值为 1.
题型 1 含有逻辑联结词的命题的真假
典例1 (2018·江西七校联考)已知函数 f(x)＝Error!给出下列两
个命题：命题 p：∃m∈(－∞，0)，方程 f(x)＝0 有解，命题 q：若 m
＝1
9
，则 f[f(－1)]＝0，那么，下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈 p)∧q
C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q)
利用复合命题的真假判断方法逐项验证．
答案 B
解析 因为 3x>0，当 m<0 时，m－x2<0，
所以命题 p 为假命题；
当 m＝1
9
时，因为 f(－1)＝3－1＝1
3
，
所以 f[f(－1)]＝f(
1
3 )＝1
9
－
(
1
3 )2＝0，
所以命题 q 为真命题，
逐项检验可知，只有(綈 p)∧q 为真命题．故选 B.
典例2 (2017·武汉模拟)若存在正常数 a，b，使得∀x∈R 有 f(x
＋a)≤f(x)＋b 恒成立，则称 f(x)为“限增函数”．给出下列三个函数：①
f(x)＝x2＋x＋1；②f(x)＝ |x|；③f(x)＝sinx2，其中是“限增函数”的
是( )
A．①②③ B．②③
C．①③ D．③
注意放缩法的应用．
答案 B
解析 对于①，f(x＋a)≤f(x)＋b 可化为
(x＋a)2＋(x＋a)＋1≤x2＋x＋1＋b，
即 2ax≤－a2－a＋b，即 x≤－a2－a＋b
2a
对一切 x∈R 均成立，因
函数的定义域为 R，故不存在满足条件的正常数 a，b，故 f(x)＝x2＋x
＋1 不是“限增函数”；
对于②，若 f(x)＝ |x|是“限增函数”，则
f(x＋a)≤f(x)＋b 可化为： |x＋a|≤ |x|＋b，
∴|x＋a|≤|x|＋b2＋2b |x|恒成立，又
|x＋a|≤|x|＋a，∴|x|＋a≤|x|＋b2＋2b |x|，
∴ |x|≥a－b2
2b
，显然当 a
0”是“x>4”的必要不充分条
件，则下列命题正确的是( )
A．p∧q B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q D．(綈 p)∧(綈 q)
答案 C
解 析 因 为 01.20 ＝ 1 ， c ＝
log1.20.30 可得 x<－2 或 x>3，故“x 2－x－6>0”是“x>4”的必要
不充分条件，q 为真命题，故(綈 p)∧q 为真命题．故选 C.
2．(2018·山西八校联考)已知命题 p：存在 n∈R，使得 f(x)＝nxn2
＋2n 是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题 q：“∃x∈R，x2＋
2>3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈 p)∧q
C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧(綈 q)
答案 C
解析 当 n＝1 时，f(x)＝x3 为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，
故 p 是真命题，则綈 p 是假命题；“∃x∈R，x 2＋2>3x”的否定是
“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故 q 是假命题，綈 q 是真命题．所以 p∧q，
(綈 p)∧q，(綈 p)∧(綈 q)均为假命题，p∧(綈 q)为真命题．故选 C.
题型 2 全称命题与特称命题
角度 1 全称命题、特称命题的真假判断
典例 (2017·贵阳模拟)下列命题是假命题的是( )
A．∃α，β∈R，使 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ
B．∀φ∈R，函数 f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
C．∃x0∈R，使 x30＋ax20＋bx0＋c＝0(a，b，c∈R 且为常数)
D．∀a>0，函数 f(x)＝ln2x＋ln x－a 有零点
本题用赋值法、分离常数法．
答案 B
解析 取 α＝0 时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，A 正确；取 φ＝π
2
时，
函数 f(x)＝sin(2x＋π
2)＝cos2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数 f(x)＝
x3＋ax2＋bx＋c，当 x→－∞时，y→－∞，当 x→＋∞时，y→＋∞，
又 f(x)在 R 上为连续函数，故∃x0∈R，使 x30＋ax20＋bx0＋c＝0，C 正
确；当 f(x)＝0 时，ln2x＋ln x－a＝0，则有 a＝ln2x＋ln x＝
(ln x＋1
2)2－1
4
≥－1
4
，所以∀a>0，函数 f(x)＝ln2x＋ln x－a 有零点，D 正确．故选 B.
角度 2 全称命题、特称命题的否定
典例 (2018·厦门模拟)已知命题 p：∀x∈
(0，π
2)，sinx0，命题 q：∃x0∈(0，＋∞)，使得 g(x0)＝0，则下列说法
正确的是( )
A．p 是真命题，綈 p：∃x0∈R，f(x0)<0
B．p 是假命题，綈 p：∃x0∈R，f(x0)≤0
C．q 是真命题，綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
D．q 是假命题，綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0
答案 C
解析 f′(x)＝ex－1，由 f′(x)>0 得 x>0，由 f′(x)<0 得 x<0，即
当 x＝0 时，函数 f(x)取得极小值，同时也是最小值 f(0)＝e0－0＝1－0
＝1>0，所以∀x∈R，f(x)>0 成立，即 p 是真命题．
g(x)＝ln x＋x＋1 在(0，＋∞)上为增函数，当 x→0 时，g(x)<0，g(1)
＝0＋1＋1＝2>0，则∃x0∈(0，＋∞)，使得 g(x0)＝0 成立，即命题 q
是真命题．
则綈 p：∃x0∈R，f(x0)≤0，
綈 q：∀x∈(0，＋∞)，g(x)≠0，
综上只有 C 成立．故选 C.
2．(2017·安徽皖江名校联考)命题 p：存在 x∈
[0，π
2]，使 sinx＋
cosx> 2；命题 q：“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是“∀x∈
(0，＋∞)，ln x≠x－1”，则四个命题：(綈 p)∨(綈 q)，p∧q，(綈 p)∧
q，p∨(綈 q)中，正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析 因为 sinx＋cosx＝ 2sin(x＋π
4)≤ 2，所以命题 p 是假命题；
又特称命题的否定是全称命题，因此命题 q 为真命题．则(綈 p)∨(綈
q)为真命题，p∧q 为假命题，(綈 p)∧q 为真命题，p∨(綈 q)为假命
题．
∴四个命题中正确的有 2 个命题．故选 B.
题型 3 由命题的真假求参数的取值范围
典例1 已知命题 P：函数 y＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；
命题 Q：不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对任意实数 x 恒成立．若 P
∨Q 是假命题，则实数 a 的取值范围是________．
注意分情况讨论．
答案 a≤－2 或 a>2
解析 命题 P：函数 y＝loga (1－2x)在定义域上单调递增；所以
02，所以 P∨Q 为假时 a≤－2 或
a>2.
[结论探究 1] 在本例条件下，若 P∨Q 是真命题，则实数 a 的
取值范围为________．
答案 －22，所以 P∨Q 为真时，
有－20，总有 f(x)＝a－x－|lg
x|≤0，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，lg e－lg (lg e)] B．(－∞，1]
C．[1，lg e－lg (lg e)] D．[lg e－lg (lg e)，＋∞)
用数形结合法．
答案 A
解析 对任意的 x>0，总有 f(x)＝a－x－|lg x|≤0，即 a－x≤|lg x|
恒成立，设 y＝－x＋a，g(x)＝|lg x|，如图，当直线 y＝－x＋a 与 g(x)
相切时，a 取得最大值，设切点为 A(x，y)，
则－1＝(－lg x)′，得到 x＝lg e，所以 y＝－lg (lg e)，
所以切线方程为：y＋lg (lg e)＝－(x－lg e)，令 x＝0 得到 y＝lg e
－lg (lg e)，
所以 a 的取值范围为(－∞，lg e－lg (lg e)]．故选 A.
方法技巧
利用命题真假求参数取值范围的求解策略
1．根据含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种
情况)；
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．见典例 1.
2．全称命题可转化为恒成立问题．同时注意数形结合思想的应
用．见典例 2.
冲关针对训练
(2018·寿县校级月考)已知命题 P：∀x∈(2,3)，x 2＋5>ax 是假命
题，则实数 a 的取值范围是( )
A．[2 5，＋∞) B．
[
9
2
，＋∞)
C.[
14
3
，＋∞) D．(－∞，2 5]
答案 A
解析 若∀x∈(2,3)，x2＋5>ax 恒成立，
则 a<(x＋5
x)min，x∈(2,3)．
∵f(x)＝x＋5
x
在(2， 5)上是减函数，在( 5，3)上为增函数，
∴函数 f(x)的最小值是 f( 5)＝2 5，则 a<2 5，
∵命题 P：∀x∈(2,3)，x2＋5>ax 是假命题，
∴a≥2 5，实数 a 的取值范围是[2 5，＋∞)．故选 A.
1．(2017·山东高考)已知命题 p：∀x＞0，ln (x＋1)＞0；命题 q：
若 a＞b，则 a2＞b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈 q)
C．(綈 p)∧q D．(綈 p)∧(綈 q)
答案 B
解析 ∵x＞0，∴x＋1＞1，∴ln (x＋1)＞ln 1＝0.
∴命题 p 为真命题，∴綈 p 为假命题．
∵a＞b，取 a＝1，b＝－2，而 12＝1，(－2)2＝4，此时 a2＜b2，
∴命题 q 为假命题，∴綈 q 为真命题．
∴p∧q 为假命题，p∧(綈 q)为真命题，(綈 p)∧q 为假命题，(綈
p)∧(綈 q)为假命题．故选 B.
2．(2018·郑州质检)设命题 p：∀x>0，log2x<2x＋3，则綈 p 为( )
A．∀x>0，log2x≥2x＋3 B．∃x>0，log2x≥2x＋3
C．∃x>0，log2x<2x＋3 D．∀x<0，log2x≥2x＋3
答案 B
解析 由全称命题的否定为特称命题，知綈 p 为∃x>0，log2x≥2x
＋3.故选 B.
3．(2017·石家庄质检)下列选项中，说法正确的是( )
A．若 a>b>0，则 ln a(n＋2)·2n－1”的否定是“∀n∈N*,3n≥(n＋
2)·2n－1”
D．已知函数 f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若
f(a)·f(b)<0，则 f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命
题
答案 D
解析 A 中，因为函数 y＝ln x(x>0)是增函数，所以若 a>b>0，
则 ln a>ln b，错误；B 中，若 a⊥b，则 m＋m(2m－1)＝0，解得 m＝
0，错误；C 中，命题“∀n∈N *,3n>(n＋2)·2 n－1”的否定是“∃n∈
N*,3n≤(n＋2)·2n－1”，错误；D 中，原命题的逆命题是“若 f(x)在区间
(a，b)内至少有一个零点，则 f(a)·f(b)<0”，该逆命题是假命题，如函
数 f(x)＝x2－2x－3 在区间[－2,4]上的图象是连续不断的，且在区间
(－2,4)内有两个零点，但 f(－2)·f(4)>0，正确．故选 D.
4．(2017·皖南名校联考)设命题 p：函数 f(x)＝x 3－ax－1 在区间
[－1,1]上单调递减；命题 q：函数 y＝ln (x2＋ax＋1)的值域是 R，如
果命题 p 或 q 是真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是
( )
A．(－∞，3] B．(－∞，－2]∪[2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
答案 B
解析 若 p 为真命题，则 f′(x)＝3x2－a≤0 在区间[－1，1]上恒
成立，即 a≥3x2 在区间[－1,1]上恒成立，所以 a≥3；若 q 为真命题，
则方程 x2＋ax＋1＝0 的判别式 Δ＝a2－4≥0，即 a≥2 或 a≤－2.由题
意知，p 与 q 一真一假．当 p 真 q 假时，Error!则 a∈∅；当 p 假 q 真
时，Error!则 a≤－2 或 2≤a<3.
综上所述，a∈(－∞，－2]∪[2,3)．故选 B.
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．(2018·武邑模拟)已知命题 p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则綈 p
为( )
A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1
B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1
C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1
D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1
答案 B
解析 “∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x0>0，使得(x0＋
1)ex0≤1”．故选 B.
2．下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，
(
1
2 )x0<(
1
3 )x0；
p2：∃x0∈(0,1)，log
1
2
x0>log
1
3
x0；
p3：∀x∈(0，＋∞)，
(
1
2 )x>log
1
2
x；
p4：∀x∈
(0，1
3)，
(
1
2 )x(
1
3 )x0 成立，
故 p1 是假命题；对于 p2，当 x0＝1
2
时，有 1＝log
1
2
1
2
＝log
1
3
1
3
>log
1
3
1
2
成立，
故 p2 是真命题；对于 p3，结合指数函数 y＝
(
1
2 )x 与对数函数 y＝log
1
2
x 在(0，＋∞)上的图象，可以判断 p3 是假命题；对于 p4，结合指数
函数 y＝
(
1
2 )x 与对数函数 y＝log
1
3
x 在
(0，1
3)上的图象可以判断 p4 是
真命题．故选 D.
3．已知 a>0，函数 f(x)＝ax2＋bx＋c.若 x0 满足关于 x 的方程 2ax
＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0) B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0) D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
答案 C
解析 由题知：x0＝－ b
2a
为函数 f(x)图象的对称轴方程，所以 f(x0)
为函数的最小值，即对所有的实数 x，都有 f(x)≥f(x0)，因此∀x∈R，
f(x)≤f(x0)是错误的．故选 C.
4．(2018·广东五校一诊)下列命题错误的是( )
A．若 p∨q 为假命题，则 p∧q 为假命题
B．若 a，b∈[0,1]，则不等式 a2＋b2<1
4
成立的概率是 π
16
C．命题“∃x∈R，使得 x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋
x＋1≥0”
D．已知函数 f(x)可导，则“f′(x0)＝0”是“x0 是函数 f(x)的极值
点”的充要条件
答案 D
解析 选项 A，若 p∨q 为假命题，则 p 为假命题，q 为假命题，
故 p∧q 为假命题，正确；选项 B，使不等式 a2＋b2<1
4
成立的 a，b∈
(0，1
2)，故不等式 a2＋b2<1
4
成立的概率是
1
4 × π × (
1
2 )2
1 × 1
＝ π
16
，正确；
选项 C，特称命题的否定是全称命题，正确；选项 D，令 f(x)＝x3，
则 f′(0)＝0，但 0 不是函数 f(x)＝x3 的极值点，错误．故选 D.
5．(2017·河西区三模)已知命题 p：∀x∈[1,2]，使得 ex－a≥0.若
綈 p 是假命题，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，e2] B．(－∞，e]
C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)
答案 B
解析 命题 p：∀x∈[1,2]，使得 ex－a≥0.
∴a≤(ex)min＝e，若綈 p 是假命题，∴p 是真命题，
∴a≤e.则实数 a 的取值范围为(－∞，e]．故选 B.
6．已知命题 p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题 q：∀x∈R，x2＋mx
＋1>0，若 p∧q 为真命题，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2,0)
C．(－2,0) D．(0,2)
答案 C
解析 由题可知若 p∧q 为真命题，则命题 p 和命题 q 均为真命
题，对于命题 p 为真，则 m<0，对于命题 q 为真，则 m2－4<0，即－
20，则 x>sinx 恒成立；
②命题“若 x－sinx＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若 x≠0，则 x
－sinx≠0”；
③“命题 p∧q 为真”是“命题 p∨q 为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x 0 ∈R，x 0 －ln
x0<0”．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 对于①，令 y＝x－sinx，则 y′＝1－cosx≥0，则函数 y＝
x－sinx 在 R 上递增，则当 x>0 时，x－sinx>0－0＝0，即当 x>0 时，
x>sinx 恒成立，故①正确；
对于②，命题“若 x－sinx＝0，则 x＝0”的逆否命题为“若
x≠0，则 x－sinx≠0”，故②正确；
对于③，命题 p∨q 为真即 p，q 中至少有一个为真，p∧q 为真
即 p，q 都为真，可知“p∧q 为真”是“p∨q 为真”的充分不必要条
件，故③正确；
对于④，命题“∀x∈R，x－ln x>0”的否定是“∃x0∈R，x0－ln
x0≤0”，故④错误．
综上，正确结论的个数为 3.故选 C.
8．(2017·广东七校联考)已知命题 p：∃a∈
(－∞，－1
4)，函数 f(x)
＝
|x＋ a
x＋1|在
[
1
2
，3]上单调递增；命题 q：函数 g(x)＝x＋log2x 在区间
(
1
2
，＋∞)上无零点．则下列命题中是真命题的是( )
A．綈 p B．p∧q
C．(綈 p)∨q D．p∧(綈 q)
答案 D
解析 设 h(x)＝x＋ a
x＋1
.易知当 a＝－1
2
时，函数 h(x)为增函数，
且 h(
1
2 )＝1
6
>0，则此时函数 f(x)在
[
1
2
，3]上必单调递增，即 p 是真命
题；∵g(
1
2 )＝－1
2
<0，g(1)＝1>0，∴g(x)在
(
1
2
，＋∞)上有零点，即
q 是假命题，根据真值表可知 p∧(綈 q)是真命题．故选 D.
9．已知命题 p：∃x0∈(－∞，0)，使得 3x0<4x0；命题 q：∀x∈
(0，π
2)，有 tanx>x，则下列命题中的真命题是( )
A．p∧q B．p∨(綈 q)
C．p∧(綈 q) D．(綈 p)∧q
答案 D
解析 由 3x<4x 得
(
4
3 )x>1，当 x<0 时不等式不成立，故 p 为假
命题；由图象知 tanx>x 在
(0，π
2)上恒成立，故 q 为真命题．故 D 项为
真．故选 D.
10．(2017·泰安模拟)已知命题 p：存在 x0∈R，mx20＋1<1，q：对
任意 x∈R，x2＋mx＋1≥0，若 p∨(綈 q)为假命题，则实数 m 的取值
范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0,2]
C．[0,2] D．R
答案 C
解析 对于命题 p，mx 2＋1<1，得 mx2<0，若 p 为真命题，则
m<0，若 p 为假命题，则 m≥0；对于命题 q，对任意 x∈R，x2＋mx＋
1≥0，若命题 q 为真命题，则 m2－4≤0，即－2≤m≤2，若命题 q 为
假命题，则 m<－2 或 m>2.因为 p∨(綈 q)为假命题，则需要满足命题
p 为假命题且命题 q 为真命题，即Error!解得 0≤m≤2.故选 C.
二、填空题
11．若∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使 asinθ≥a 成立，则 cos(θ－π
6)的值为________．
答案 1
2
解析 因为∀a∈(0，＋∞)，∃θ∈R，使 asinθ≥a 成立，所以
sinθ≥1.又 sinθ∈[－1,1]，所以 sinθ＝1，故 θ＝π
2
＋2 π( ∈ )．所以 cos
(θ－π
6)＝cos
[(
π
2
＋2kπ)－π
6]＝cos(
π
3
＋2kπ)＝cosπ
3
＝1
2
.
12．已知命题 p：方程 x2－mx＋1＝0 有实数解，命题 q：x2－2x＋
m>0 对任意 x 恒成立．若命题 q∨(p∧q)真、綈 p 真，则实数 m 的取
值范围是________．
答案 (1,2)
解析 由于綈 p 真，所以 p 假，则 p∧q 假，又 q∨(p∧q)真，
故 q 真，即命题 p 假、q 真．当命题 p 假时，即方程 x2－mx＋1＝0
无实数解，此时 m2－4<0，解得－21.所以所求的 m 的取值范围是 10)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－
1,2]，使 g(x1)＝f(x0)，则实数 a 的取值范围是________．
答案
(0，1
2]解析 由于函数 g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在
x0∈[－1,2]，使得 g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数 g(x)的值域是函
数 f(x)值域的子集．函数 f(x)的值域是[－1,3]，函数 g(x)的值域是[2－
a，2＋2a]，则有 2－a≥－1 且 2＋2a≤3，即 a≤1
2
.又 a>0，故 a 的取
值范围是
(0，1
2].
14．(2017·衡水调研)直线 x＝1 与抛物线 C：y 2＝4x 交于 M，N
两点，点 P 是抛物线 C 准线上的一点，记OP
→
＝aOM
→
＋bON
→
(a，b∈R)，
其中 O 为抛物线 C 的顶点．
(1)当OP
→
与ON
→
平行时，b＝________；
(2)给出下列命题：
①∀a，b∈R，△PMN 不是等边三角形；
②∃a<0 且 b<0，使得OP
→
与ON
→
垂直；
③无论点 P 在准线上如何运动，a＋b＝－1 恒成立．
其中，所有正确命题的序号是________．
答案 (1)－1 (2)①②③
解析 (1)∵OM
→
＝(1,2)，ON
→
＝(1，－2)，
∴OP
→
＝aOM
→
＋bON
→
＝(a＋b,2a－2b)．
∵OP
→
∥ON
→
，∴2a－2b＋2(a＋b)＝0，
∴a＝0.∵抛物线的准线为 x＝－1，点 P 在准线上，
∴P 点的横坐标为－1，∴a＋b＝－1，∴b＝－1.
(2)对于①，假设是等边三角形，则 P(－1,0)，|PM|＝2 2，|MN|＝
4，|MN|≠|PM|，这与假设矛盾，∴假设不成立，原结论正确；对于
②，OP
→
与ON
→
垂直，OP
→
·ON
→
＝0，得到 a＝5
3
b，∴②正确；③显然成
立．
三、解答题
15．(2018·吉林大学附中模拟)设 a 为实常数，y＝f(x)是定义在 R
上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝9x＋a2
x
＋7.若“∃x∈[0，＋∞)，f(x)0 时，9x＋a2
x
－
7≥a＋1，结合基本不等式有 6|a|－7≥a＋1，得 a≥8
5
或 a≤－8
7
，①②
取交集得 a 的取值范围是 a≤－8
7
.
16．(2018·福建晨曦中学模拟)已知命题 p：函数 y＝x2－2x＋a 在
区间(1,2)上有 1 个零点，命题 q：函数 y＝x2＋(2a－3)x＋1 的图象与 x
轴交于不同的两点．如果 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，求 a 的取
值范围．
解 若命题 p 为真，则函数 y＝x2－2x＋a 在区间(1,2)上有 1 个零
点，
因为二次函数图象开口向上，对称轴为 x＝1，
所以Error!所以 00，得 4a2－12a＋5>0，解得 a< 1
2
或
a>5
2
.
因为 p∧q 是假命题，p∨q 是真命题，所以 p，q 一真一假．
①若 p 真 q 假，则Error!所以1
2
≤a<1；
②若 p 假 q 真，则Error!
所以 a≤0 或 a>5
2
.
故实数 a 的取值范围是 a≤0 或1
2
≤a<1 或 a>5
2
.
