黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

鹤岗一中2018-2019学年度下学期期末考试高二数学（文科）试题 一、单选题 ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 集合 ‎.‎ 故选A.‎ ‎2.【2018天津上学期七校联期中联考】三个数，，的大小关系为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由指数函数的性质可得：，‎ 由对数运算性质可得：，‎ 据此可得：.‎ 本题选择C选项.‎ ‎3.已知复数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：首先根据题中所给的复数z，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得，从而求得结果.‎ 详解：根据，可得，且，所以有，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.‎ ‎4.函数的零点所在的区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断出函数的单调性，根据零点存在定理求得结果.‎ ‎【详解】由题意知：在上单调递增 当时，；；；；当时，‎ 可知：‎ 零点所在区间为：‎ ‎【点睛】本题考查利用零点存在定理判断零点所在区间，属于基础题.‎ ‎5.下列结论错误的是 A. 命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题：“， ”的否定是“， ”‎ D. 若“”为假命题，则均为假命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由逆否命题的定义考查选项A，由不等式的性质考查选项B，由全称命题的否定考查选项C，由真值表考查选项D，据此确定所给的说法是否正确即可.‎ ‎【详解】逐一考查所给命题的真假：‎ A. 同时否定条件和结论，然后以原来的条件为结论，以原来的结论为条件即可得到原命题的逆否命题，故命题：“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. 若“”，当时不满足“”，即充分性不成立，‎ 反之，若“”，则一定有“”，即必要性成立，‎ 综上可得，“”是“”的必要不充分条件 C. 特称命题的否定是全称命题，命题：“，”的否定是“，”，‎ D. 由真值表可知：若“”为假命题，则均为假命题.‎ 即结论错误的为B选项.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.‎ ‎6.已知，则等于（ ）‎ A. 0 B. C. D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，在导函数中代入，化简求出的值，再取，即可求出。‎ ‎【详解】由题可得：，‎ 取可得，解得：‎ 则 故答案选C ‎【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键是理解原函数解析式中，在这里的只是一个常数，属于基础题。‎ ‎7.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据奇偶函数的性质求出，再根据，可得，结合，求出的范围．‎ ‎【详解】是定义在上的偶函数，‎ ‎，‎ 在上为增函数，‎ 函数在上为增函数，故函数在上为减函数，‎ 则由，可得，即，‎ 求得 因为定义域为，所以，解得 综上，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的相关性质，有一定的综合性，属于中档题．‎ ‎8.函数的大致图像是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由函数为奇函数，排除B，D.‎ 当x=0.1时，,排除C，‎ 故选：A 点睛：识图常用的方法 ‎(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；‎ ‎(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；‎ ‎(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．‎ ‎9.已知函数，则（ ）‎ A. 在单调递增 B. 的最小值为4‎ C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据时，，可排除；当，，可排除；，可排除；可知正确.‎ ‎【详解】由题意知：‎ 当时，，则在上单调递减，错误；‎ 当时，，可知最小值为不正确，错误；‎ ‎，则不关于对称，错误；‎ ‎，则关于对称，正确.‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性、最值、对称轴和对称中心求解问题，考查函数性质的综合应用，属于中档题.‎ ‎10.已知函数是上的奇函数，对于都有，且时，，则的值为 A. 1 B. 2‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,得到，即函数的周期是4 ,利用函数的周期性和奇偶性即可进行求值.‎ ‎【详解】，‎ ‎，即函数的周期是4，‎ ‎，‎ 是上的奇函数，，‎ 当时，，‎ ‎，‎ 所以 ，故选C.‎ ‎【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；‎ ‎（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．‎ ‎（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；‎ ‎（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.‎ ‎11.已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性和对称性可求得的对称轴为，从而可得的单调性；求得 在时的最大值，根据函数单调性可得关于自变量的不等式，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】为偶函数 的对称轴为轴 则的对称轴为：‎ 在上单调递减；在上单调递增 由得：‎ 当时， ‎ 即 由单调性可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数的奇偶性、对称性和单调性的应用，关键是能够将恒成立的式子转变为函数值的比较，从而变成自变量的不等关系.‎ ‎12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先令，根据题中条件判断其单调性，再由，，将原不等式化为，结合单调性，即可求解.‎ ‎【详解】令，则，‎ 因为，，‎ 所以，‎ 所以函数在单调递减；‎ 因为，，‎ 所以不等式可化为不等式，‎ 即，‎ 所以，解得.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查单调性的应用，以及导数的方法判断函数单调性，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13.对不同的且,函数必过一个定点,则点的坐标是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求出函数f（x）必过的定点坐标．‎ ‎【详解】根据指数函数的图象恒过定点（0，1）,令4﹣2x＝0，x＝2，∴f（2）＝+3＝4，‎ ‎∴点A的坐标是（2，4）．‎ 故答案为：（2，4）．‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，属于基础题．‎ ‎14.已知函数f（x），若函数y＝f（x）﹣a2有3个零点，则实数a的取值范围是___.‎ ‎【答案】[﹣1，0）∪（0，1]．‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先作出函数f（x）图象，根据函数y＝f（x）﹣a2有3个零点，得到函数f（x）的图象与直线y＝a2有三个交点，结合图象即可得出结果．‎ ‎【详解】由题意，作出函数函数f（x），的图象如下，‎ 因为函数y＝f（x）﹣a2有3个零点，‎ 所以关于x的方程f（x）﹣a2＝0有三个不等实根；‎ 即函数f（x）的图象与直线y＝a2有三个交点，‎ 由图象可得：0＜a2≤1，解得﹣1≤a＜0或0＜a≤1．‎ 故答案为[﹣1，0）∪（0，1]．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点，灵活运用数形结合的思想即可求解，属于常考题型．‎ ‎15.函数的单调增区间是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，因为对称轴为 ，所以单调增区间是 ‎16.对于定义在上函数，有下列四个命题：‎ ‎①若是奇函数，则的图象关于点对称；‎ ‎②若对，有，则的图象关于直线对称；‎ ‎③若对，有，则的图象关于点对称；‎ ‎④函数与函数的图像关于直线对称.‎ 其中正确命题的序号为__________．（把你认为正确命题的序号都填上）‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的对称性，结合函数图象的平移变换判断①；根据函数是周期为2的周期函数，的图象对称性不确定，判断②；根据任意点关于的对称点仍在数图象上判断③；根据函数与函数的图象关于轴对称判断④.‎ ‎【详解】①是奇函数，的图象关于原点成中心对称，而的图象是将的图象向右平移一个单位，的图象关于点对称，故①正确；‎ ‎②对，有，可得函数是周期为2的周期函数，的图象对称性不确定，即②错误；‎ ‎③若对，有，可得函数图象上任意点关于的对称点仍在数图象上,所以的图象关于点对称，③正确；‎ ‎④函数是由的图象向左平移一个单位得到；函数的图象是由的图象向右平移一个单位得，而与的图象关于轴对称，所以函数与函数的图象关于轴对称，④错误.‎ 所以正确命题的序号为①③，故答案为①③.‎ ‎【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的对称性以及函数图象的变换法则，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.‎ 三、解答题 ‎17.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把代入，利用零点分段讨论法求解；‎ ‎（2）对任意成立转化为求的最小值可得.‎ ‎【详解】解：（1）当时，不等式可化为.‎ 讨论：‎ ‎①当时，，所以，所以；‎ ‎②当时，，所以，所以；‎ ‎③当时，，所以，所以.‎ 综上，当时，不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以.‎ 又因为，对任意成立，‎ 所以，‎ 所以或.‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎18.已知命题：，.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）命题：，，当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由一元二次不等式恒成立可得对应的二次函数开口方向向下且，解不等式得到结果；（2）首先利用分离变量求解出命题为真命题时，；根据含逻辑连接词的命题的真假性可知需真假或假真；分别在两种情况下计算的范围即可.‎ ‎【详解】（1），‎ 且，解得：‎ 为真命题时，‎ ‎（2）， ，有解 时，‎ 当时，命题为真命题 为真命题且为假命题 真假或假真 当真假时，有，解得：；‎ 当假真时，有，解得：； ‎ 为真命题且为假命题时，或 ‎【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数取值范围的问题，涉及到由含逻辑连接词的命题真假性确定各个命题的真假.‎ ‎19.已知函数 ．‎ ‎（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；‎ ‎（2）求 的单调区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）当 时， 单调增区间是 ；‎ 当时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数进行求导，把代入导函数中，求出在点 处的切线的斜率，写出直线的点斜式方程，最后化为一般方程；‎ ‎（2）对的值，进行分类讨论，求出 的单调区间．‎ ‎【详解】（1）当 时，，所以． ‎ 所以 ，， 所以切线方程为 ． ‎ ‎（2）． 当 时，在 时 ， ‎ 所以 的单调增区间是 ； ‎ 当 时，函数 与 在定义域上的情况如下：‎ ‎ 所以 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．‎ 综上所述：当 时， 的单调增区间是 ；‎ 当时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨论思想.‎ ‎20.已知是定义在上的奇函数，且当时， .‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的奇偶性求解析式， 时，，，最后分段写出即可；‎ ‎（2）根据函数的单调性得到等价于，转化为恒成立求参的问题，变量分离求函数最值即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，，又是奇函数， ，‎ 故；当时，，满足的解析式；所以，‎ ‎（2）由（1）可知图象如下图，‎ 所以在上单调递减，故等价于，分离变量得对恒成立，只需要，解得，故取值范围为.‎ ‎【点睛】（1）根据奇偶性求解函数解析式，注意一个原则：由已知求未知，比如已知解析式求解时解析式，可以通过有来求解析式，中间需借助奇偶性；‎ ‎（2） 函数值之间的关系，通过分析函数的单调性可以将其转变为自变量之间的关系，从而达到求解问题的目的.‎ ‎21.函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，‎ ‎(Ⅰ)证明是奇函数；‎ ‎(Ⅱ)证明在上是减函数；‎ ‎(III)若,，求的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)令y=-x,代入已知等式通过f(0)=0可判断奇偶性；(Ⅱ)利用函数的单调性定义作差即可得到证明；(III)利用函数的单调性列不等式求解即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)证明：由，‎ 令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x)，‎ ‎∴f(x)+f(−x)=f(0).‎ 又f(0+0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0.‎ 从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x).‎ ‎∴f(x)是奇函数.‎ ‎(Ⅱ)任取，且，‎ 则 由，∴∴<0.‎ ‎∴>0，即，‎ 从而f(x)在R上是减函数.‎ ‎(III)若，函数为奇函数得f(-3)=1,‎ 又5=5f(-3)=f(-15),‎ 所以=f(-15),‎ 由得f(4x-13)-15,解得x>-,‎ 故的取值范围为 ‎【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的证明，考查利用单调性解不等式的应用，属于基础题.‎ ‎22.已知直线.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若对任意时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在单减，在单增.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出f（x）的导数，得到f′（x），结合可解得与 的范围，即可求出函数的单调区间．‎ ‎（2）通过讨论a的范围，得到导函数的正负，进而研究函数f（x）的单调性，求得不同情况下的函数f（x）的最小值，解出满足的a的范围即可.‎ ‎【详解】（1）当时，，所以，‎ 而，且在单调递增，所以当时，；‎ 当时，，所以在单减，在单增.‎ ‎（2）因为，，而当时，.‎ ‎①当，即时，，‎ 所以在单调递增，所以，‎ 故在上单调递增，所以，符合题意，所以符合题意.‎ ‎②当，即时，在单调递增，所以，取，则，‎ 所以存在唯一，使得，‎ 所以当时，，当时，，‎ 进而在单减，在单增.‎ 当时，，因此在上单减，‎ 所以.因而与题目要求在，恒成立矛盾，此类情况不成立，舍去.‎ 综上所述，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查了恒成立问题的转化，考查分类讨论思想与分析解决问题的能力，是一道中档题．‎ ‎ ‎