专题35 带电粒子在磁场中运动的多解和临界问题-2019高考物理一轮复习专题详解

专题35 带电粒子在磁场中运动的多解和临界问题-2019高考物理一轮复习专题详解

知识回顾 ‎1．带电粒子在磁场中做圆周运动引起多解的原因 ‎(1)带电粒子的电性不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹．‎ ‎(2)磁场方向不确定形成多解，可能出现两个方向的运动轨迹．‎ ‎(3)临界状态不唯一形成多解，需要根据临界状态的不同分别求解．‎ ‎(4)圆周运动的周期性形成多解．‎ ‎2．带电粒子在磁场中运动临界问题的特点 ‎(1)带电粒子进入磁场时的速度方向不同，射出磁场的位置就会不同．‎ ‎(2)带电粒子在磁场中运动的速度大小不同，粒子的轨迹半径和运动时间就会不同．‎ ‎(3)粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹与边界相切．‎ 规律方法 ‎1．多解问题的解题方法和技巧 ‎(1)找出多解的原因．‎ ‎(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心半径的可能情况．‎ ‎(3)对于周期性形成的多解问题，注意n的可能限定范围．‎ ‎2．临界问题常用的结论 ‎(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．‎ ‎(2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．‎ ‎(3)当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长．‎ ‎3.处理带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的技巧 带电粒子进入有界磁场区域，其轨迹往往是一残缺圆，存在临界和极值问题，处理的方法是根据粒子的运动轨迹，运用动态思维，作出临界轨迹图，寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律求解，分析临界问题时应注意：‎ ‎(1)从关键词、语句找突破口，审题时一定要抓住题干中“恰好”“最大”“至少”“不脱离”等词语，挖掘其隐藏的规律；‎ ‎(2)数学方法和物理方法的结合，如利用“矢量图”“边界条件”等求临界值．利用“三角函数、不等式的性质、二次方程的判别式”等求极值．‎ 例题分析 ‎【例1】　(2017年石家庄毕业检测)如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，求粒子入射速率v的最大值可能是多少．‎ ‎【答案】v′＝ 若q为负电荷，轨迹是如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：R′＝，d＝R′＋R′cos45°，解得v′＝.‎ ‎【例2】　如图所示，两垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界，MN边界上方磁场的磁感应强度大小B1大于下方磁场的磁感应强度大小B2(未知)．有一长为l的平直挡板与MN重合，一比荷为c的带正电粒子从挡板的中点O处沿垂直挡板方向以速度v＝(k为偶数)进入上方磁场中，假设粒子与挡板发生碰撞并反弹过程没有能量损失，且粒子在下方磁场中运动时不会与挡板发生碰撞，粒子最终能回到出发点O，不计粒子重力．若k＝4，则粒子从挡板边缘进入下方磁场中．‎ ‎ (1)试画出k＝10时粒子的运动轨迹；‎ ‎(2)求两磁场的磁感应强度大小的比值.‎ ‎【答案】＝＋1‎ ‎【解析】　(1)粒子在上方磁场中运动时，有qvB1＝ 得轨迹半径R1＝＝ 当k＝10时，R1＝ ‎【例3】　如图所示，在xOy平面内，有一个圆形区域，其直径AB与x轴重合，圆心O′的坐标为(‎2a,0)，其半径为a，该区域内无磁场．在y轴和直线x＝‎3a之间的其他区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上某点射入磁场．不计粒子重力．‎ ‎ (1)若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，且粒子不经过圆形区域就能到达B 点，求粒子的初速度大小v1；‎ ‎(2)若粒子的初速度方向与y轴正向夹角为60°，在磁场中运动的时间为Δt＝，且粒子也能到达B点，求粒子的初速度大小v2；‎ ‎(3)若粒子的初速度方向与y轴垂直，且粒子从O′点第一次经过x轴，求粒子的最小初速度vmin.‎ ‎【解析】　(1)因要求粒子不经过圆形区域就能到达B点，故粒子到达B点时速度方向竖直向下，则其轨迹的圆心必在x轴正半轴上，如图 (1)所示．‎ 设粒子做圆周运动的半径为r1，由几何关系得r1sin30°＝‎3a－r1，又qv1B＝m，解得v1＝ ‎(3)设粒子从C点进入圆形区域，如图 (3)所示，O′C与O′A的夹角为θ，轨迹半径为r，由几何关系得‎2a＝rsinθ＋acosθ，故当θ＝60°时，半径最小为rmin＝a 又qvminB＝，解得vmin＝。‎ 专题练习 ‎1．(2017年高考·课标全国卷Ⅲ)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图9－8所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】：D ‎2. (2017年高考·课标全国卷Ⅱ)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场．若粒子射入的速度为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为(　　)‎ A.∶2 B.∶1‎ C.∶1 D．3∶ ‎【答案】：C ‎【解析】：由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由qvB＝m可知，R＝，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同．若粒子运动的速度大小为v1，如图所示，‎ 通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点A离P点最远时，则AP＝2R1；同样，若粒子运动的速度大小为v2，粒子的磁场出射点B离P点最远时，则BP＝2R2，由几何关系可知，R1＝，R2＝Rcos30°＝R，则＝＝，C项正确．‎ ‎3. (2017年高考·课标全国卷Ⅱ)一圆筒处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】：A ‎4．(多选)在x>0、y>0的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里，大小为B.现有一质量为m、电量为q的带正电粒子，从在x轴上的某点P沿着与x轴成30°角的方向射入磁场．不计重力影响，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 B．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 C．粒子在磁场中运动所经历的时间可能为 D．粒子一定不能通过坐标原点 ‎【答案】ACD 粒子在磁场中要想到达O点，转过的圆心角肯定大于180°，而因磁场为有界，故粒子不可能通过坐标原点，故D正确．‎ ‎5．(2017年广州市一模)不计重力的两个带电粒子M和N沿同一方向经小孔S垂直进入匀强磁场，在磁场中的径迹如图.分别用vM和vN，tM与tN，与表示它们的速率、在磁场中运动的时间、荷质比，则(　　)‎ A．如果＝，则vM>vN B．如果＝，则tM D．如果tM＝tN，则> ‎【答案】：A ‎6．(多选)如图所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝‎9.1 cm，中点O与S间的距离d＝‎4.55 cm，MN与SO直线的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4T.电子质量m＝9.1×10－‎31 kg，电荷量e＝－1.6×10－‎19C，不计电子重力．电子源发射速度v＝1.6×‎106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则(　　)‎ A．θ＝90°时，l＝‎9.1 cm B．θ＝60°时，l＝‎‎9.1 cm C．θ＝45°时，l＝‎4.55 cm D．θ＝30°时，l＝4.55 cm 答案：AD ‎7．(多选)如图所示，有一垂直于纸面向外的有界匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，其边界为一边长为L的正三角形(边界上有磁场)，ABC为三角形的三个顶点．今有一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)，以速度v＝qBL从AB边上的某点P既垂直于AB边又垂直于磁场的方向射入，然后从BC边上某点Q射出．若从P点射入的该粒子能从Q点射出，则(　　)‎ A．PBy0)，速度大小为v，方向沿＋x方向，此时撤去电场．t＝t0＋t1＋t2时刻，粒子经过x轴上x＝x0点，速度沿＋x方向．不计粒子重力，求： ‎ ‎ (1)0～t0时间内OA两点间电势差UOA；‎ ‎(2)粒子在t＝0时刻的加速度大小a0；‎ ‎(3)B1的最小值和对应t2的表达式．‎ ‎(2)设电场强度大小为E，则 UAO＝Ey0‎ t＝0时刻，由牛顿第二定律有 qv0B0－qE＝ma 解得a＝－ ‎ (3)t0～t0＋t1时间内，粒子在小的虚线圆上运动，t0＋t1时刻粒子从C点切入大圆，大圆最大半径为x0，相应小圆最大半径为R，则 R＝ 又qvB1＝m B1的最小值Bmin＝ 对应于B1取最小值，带电粒子由C点到经过x轴上x＝x0点的时间t2满足t2＝(k＝0,1,2，…)．‎ ‎10．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内有一个方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的圆形磁场区域，一质量为m、带电荷量为＋q的粒子从y轴上的A点以速度v0水平向右射出，经磁场偏转后，打在x轴上的C点，且其速度方向与x轴正方向成θ＝60°角斜向下．若A点坐标为(0,2d)，C点坐标为(3d,0)，粒子重力不计．试求该圆形磁场区域的最小面积S及粒子在该磁场中运动的时间t.‎ 设粒子从E点进入磁场，从D点离开磁场，则其运动轨迹如图所示因为θ＝60°，由几何关系可知∠EO′D＝60°，所以三角形EO′D为正三角形，ED＝R，以ED为直径时圆形磁场区域面积最小 设圆形磁场区域的半径为r，则有 r＝＝ 所以圆形磁场区域的最小面积为 S＝πr2＝ 带电粒子在该磁场中运动的时间为t＝＝.‎ ‎11．如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下磁场的水平分界线．质量为m、带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与O点的距离为‎3a.不考虑粒子重力．‎ ‎(1)求粒子射入磁场时的速度大小；‎ ‎(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；‎ ‎(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与AC间距离的可能值．‎ ‎【答案】：(1)　(2)不小于B0‎ ‎(3)4na(n＝1,2,3…)‎ ‎【解析】：(1)设粒子在OF上方做圆周运动的半径为R，由几何关系可得：R＝‎‎5a 由牛顿第二定律可知qvB0＝m 整理得v＝ ‎(2)当粒子恰好不从AC边界飞出时，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1，由几何关系得r1＋r1cos θ＝‎‎3a 而cos θ＝，所以r1＝a.‎ 根据qvB1＝，B1＝B0.‎ 当B1≥B0时，粒子不会从AC边界飞出．‎ ‎12． 2018·山东滨州一模)如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子以速率v0沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计．求：‎ ‎(1)磁场的磁感应强度B；‎ ‎(2)正方形区域的边长；‎ ‎(3)粒子再次回到M点所用的时间．‎ ‎【答案】：(1)　(2)4R　(3) ‎【解析】：(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设粒子在圆形磁场中的轨迹半径为r1，‎ qv0B＝m，由几何关系r1＝R，解得B＝.‎ ‎(2)设粒子在正方形磁场中的轨迹半径为r2，粒子恰好不从AB边射出，qv0B＝m，r2＝＝R，‎ 正方形的边长L＝2r1＋2r2＝4R.‎