2020年福建省泉州市洛江区中考数学一模试卷 (含解析)

2020年福建省泉州市洛江区中考数学一模试卷 (含解析)

2020 年福建省泉州市洛江区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分） 1. 1 的倒数是 A. 1 B. 1 C. D. 2 . 一种登革热病毒的直径约为 .Ͳ ，数据 .Ͳ 可用科学记数法表示为 A. Ͳ 1 B. Ͳ 1 C. .Ͳ 1 D. Ͳ 1 3. 一个几何体如下图，则它的左视图是 A. B. C. D. 4. 正多边形的一个内角为 14 ，则该正多边形的边数为 A. 9 B. 8 C. 7 D. 4 Ͳ. 下列说法正确的是 A. 了解某班同学的身高情况适合用全面调查 B. 数据 2、3、4、2、3 的众数是 2 C. 数据 4、5、5、6、0 的平均数是 5 D. 甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别是 甲 3. ， 乙 .⸰ ，则甲组数据更稳定 6. “今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六 . 问人数、物价各几何？”这是我国古代名 著 九章算术 中记载的古典名题，其题意是：有若干人一起买鸡 . 如果每人出 9 文钱，就多出 11 文钱；如果每人出 6 文钱，就相差 16 文钱 . 问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？若设买鸡的 人数为 x 人，则列方程正确的是 A. ⸰x 11 6x 16 B. ⸰x 11 6x 16C. ⸰x 11 6x 16 D. ⸰x 11 6x 16 . 下列计算正确的是 A. 3 3 ⸰ B. C. D. 3 6 . 在平面直角坐标系中，点 Ͳ 在 A. x 轴的负半轴上 B. y 轴的负半轴上 C. x 轴的正半轴上 D. y 轴的正半轴上 ⸰. 如图，AB 为 的直径， ʹ 4 ，则 ᦙ 的度数为 A. ⸰B. ͲC. 4ͲD. 1. 已知函数 的图像的一部分如下图所示，则 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分） 11. 计算： 1 1 1 1 3 __________． 1. 在 ᦙ 中， 3 ， ⸰ ，若 ᦙ 1 ，则 ᦙ ___________． 13. 数轴上距离 3 的点 5 个单位长度所表示的数是______． 14. 同时掷两枚质地均匀的骰子，点数之和小于 5 的概率是___． 1Ͳ. 如图，在 ᦙ 中， ᦙ ⸰ ， ᦙ ， ᦙ ， tan 1 ， 若 ᦙ 1 ，则线段 BC 的长为______ ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 y 轴上，点 C 坐标 为 Ͳ ，并且 AO： 1 ：2，点 D 在函数 的图象上， 则 k 的值为______． 三、计算题（本大题共 2 小题，共 16.0 分） 1. . 用加减法解方程组 Ͳ 3 6 6 1. 先化简，再求值： 1 1 1 ，其中 ． 四、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分） 1⸰. 如图， ᦙ ， ᦙ. 求证： ᦙ 1 ． . 如图，已知 ᦙ ，利用尺规在 BC 上找一点 P，使得 䁨 与 ᦙ䁨均为直角三角形 不写作法，保留作图痕迹 1. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 和点 F 是对角线 AC 上的两点， ʹ ᦙ ， ʹ ，且 ʹ ， 过点 C 作 ᦙ 交 AB 的延长线于点 G． 1 求证：四边形 ABCD 是平行四边形； 若 tanᦙ Ͳ ， ᦙ 4Ͳ ， ᦙ 4 ，则▱ABCD 的面积是______． . 某电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑，其中 A 型每台 2500 元、B 型每台 4000 元、C 型每台 6000 元，某中学现有资金 100500 元，计划全部用于从这家电脑公司购进 36 台两种型号 的电脑，这个学校有哪几种购买方案可选择，说明理由． 3. 甲、乙两家快递公司揽件员 揽收快件的员工 的日工资方案如下： 甲公司为“基本工资 揽件提成”，其中基本工资为 70 元 日，每揽收一件提成 2 元； 乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资．若当日揽件数不超过 40，每件提成 4 元；若当日 搅件数超过 40，超过部分每件多提成 2 元． 如图是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图： 1 现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过 4 不含 4的概率； 根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各 揽件员的揽件数，解决以下问题： 估计甲公司各揽件员的日平均揽件数； 小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学 的统计知识帮他选择，井说明理由． 4. 如图，AB 为 直径，点 D 为 AB 下方 上一点，点 C 为弧 ABD 中点，连接 CD，CA． 1 求证： ᦙ ； 过点 C 作 ᦙʹ 于 H，交 AD 于 E，求证： ʹ ʹᦙ ； 3 在 的条件下，若 ㌠ Ͳ ， 4 ，求线段 DE 的长 Ͳ. 复习课中，老师给出二次函数 1 3 1 为常数， ． 老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论 性质 写到黑板上．学生独立思考后， 黑板上出现了一些结论．老师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条： 1 函数图象过定点 1Ͳ. 函数图象与 x 轴总有两个不同的交点． 3 若 ，当 1 时， y 随 x 的增大而增大． 4 若函数有最小值，则最小值必为负数． 请你分别判断四条结论的对与错，并说明理由． 【答案与解析】 1.答案：C 解析：解： 1 1 ， 1 的倒数是 ． 故选：C． 根据倒数的定义进行解答即可． 本题考查的是倒数的定义，即乘积是 1 的两数互为倒数． 2.答案：B 解析： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 1 ，其中 1 1 ，n 为由原数左边起 第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 1 ，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 解： .Ͳ Ͳ 1 ． 故选 B． 3.答案：A 解析： 本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，从正面看到的图形是正视图，从 上往下看的视图是俯视图． 解答此题从左边看得到的应该是一个直角三角形，据此解答即可． 解：从左面看到的图形应该是一个直角三角形，如图所示： 故选 A． 4.答案：A 解析：解： 正多边形的一个内角是 14 ， 它的外角是： 1 14 4 ， 36 4 ⸰ ． 故选 A． 首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数． 此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和 定理求出求边数． 5.答案：A 解析：解：A、了解某班同学的身高情况适合全面调查，故 A 正确； B、数据 2、3、4、2、3 的众数是 2，3，故 B 错误； C、数据 4、5、5、6、0 的平均数是 4，故 C 错误； D、方差越小越稳定，乙的方差小于甲得方差，乙的数据等稳定，故 D 错误． 故选：A． 根据调查方式，可判断 A； 根据众数的意义可判断 B； 根据平均数的意义，可判断 C； 根据方差的性质，可判断 D． 本题考查了方差，方差越小数据越稳定是解题关键． 6.答案：C 解析： 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设买鸡的人数为 x 人，根据鸡的价钱不变，即可得出关于 x 的一元一次方程，此题得解． 解：设买鸡的人数为 x 人， 根据题意得： ⸰x 11 6x 16 ． 故选 C． 7.答案：D 解析：解：A、原式 6 ，不符合题意； B、原式 ，不符合题意； C、原式 1 ，不符合题意； D、原式 6 ，符合题意， 故选：D． 各项计算得到结果，即可作出判断． 此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8.答案：B 解析： 本题考查了点的坐标，y 轴上的点的横坐标等于零，y 轴的负半轴上的点的纵坐标小于零． 根据 y 轴上的点横坐标等于零，y 轴上纵坐标小于零的点在 y 轴的负半轴上，可得答案． 解：在平面直角坐标系中，点 Ͳ 在 y 轴的负半轴上， 故选：B． 9.答案：B 解析： 连接 AE，由 AB 为直径，则 ʹ ⸰ ，可得 ʹ ⸰ 4 Ͳ ，即可求出 ᦙ ʹ Ͳ ． 本题考查圆周角定理及其推论，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是 ⸰ ． 解：连接 AE， 为直径， ʹ ⸰ ， ʹ 4 ʹ ⸰ 4 Ͳ ， ᦙ ʹ Ͳ ． 故选 B． 10.答案：C 解析： 这是一道考查二次函数图象的题目，根据图象过点 Ͳ1 ，求出 c 的值；再根据过点 1Ͳ ，得到关 于 a、b 的式子，根据当 1 时，应有 ，求出 a 的取值范围，从而确定 的范围． 解：由图象可知： ，图象过点 Ͳ1 1 ， 图象过点 1Ͳ ，则 1 ， 当 1 时，应有 ，则 1 ， 将 1 代入，可得 1 1 ， 解得 1 ， 实数 a 的取值范围为 1 ， 又 ， ． 故选 C． 11.答案： 解析： 【试题解析】 本题考查的知识点是零指数幂和负整数指数幂，零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于 1，负整数指数幂：任何不等于 0 的数的 是正整数 次幂等于这个数的 n 次幂的倒数．只要按照 零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 解： 1 1 1 1 3 ， 1 3 ， 1 ⸰ ， ， 故答案为 ． 12.答案：5cm 解析： 本题考查的是直角三角形的性质有关知识，关键是得出 ᦙ 1 ᦙ ，根据含 30 度角的直角三角形性 质得出 ᦙ 1 ᦙ ，代入求出即可． 解： 在 ᦙ 中， ⸰ ， 3 ， ᦙ 1 ， ᦙ 1 ᦙ Ͳ ． 故答案为 5cm． 13.答案：8 或 ． 解析： 本题主要考查了数轴等知识，注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏 掉任一种情况．根据数轴的特点，分两种情况进行讨论：要求的点在已知点的左侧或右侧． 解：在数轴上与表示 3 的点距离 5 个单位长度的点表示的数是 3 Ͳ 或 3 Ͳ ． 故答案为 8 或 ． 14.答案： 1 6 解析： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可 能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率 所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点数的 和小于 5 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有 36 种等可能的结果，点数的和小于 5 的有 6 种情况， 点数的和小于 5 的概率是 6 36 1 6 ． 故答案为 1 6 ． 15.答案： 6 解析：解：过 D 作 ʹ 于 E， ᦙ 于 F， ᦙ ⸰ ， ᦙ ， ᦙ 4Ͳ ， ᦙ ， ʹ ᦙ 4Ͳ ， ʹ ʹ ， 设 ʹ ʹ ， tan 1 ， ʹ ， Ͳ ， ᦙ 3 ， ᦙ 3 ， 3 ， ， ᦙ Ͳ ， ᦙ ᦙ ， 3 Ͳ 1 ， ， ᦙ 6 ． 故答案为： 6 过 D 作 ʹ 于 E， ᦙ 于 F，根据等腰直角三角形的性质得到 ᦙ 4Ͳ ，根据平行线的 性质得到 ʹ ᦙ 4Ͳ ，设 ʹ ʹ ，由 tan 1 ，得到 ʹ ，根据勾股定理 得到 Ͳ ， ᦙ 3 ，求得 ᦙ 3 ，根据勾股定理得到 ᦙ ᦙ ，即 3 Ͳ 1 ，于是得到结论． 本题考查了解直角三角形，梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 16.答案：2 解析：解：如图， 点 C 坐标为 Ͳ ， 矩形 OBCE 的面积 4 ， ： 1 ：2， 矩形 AOED 的面积 ， 点 D 在函数 的图象上， ， 故答案为 2． 先根据 C 的坐标求得矩形 OBCE 的面积，再利用 AO： 1 ：2，即可求得矩形 AOED 的面积， 根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求得 k． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 为常数， 的图象是双曲线， 图象上的点 Ͳ 的横纵坐标的积是定值 k，即 . 也考查了矩形的性质． 17.答案：解： Ͳ 3 6 6将 Ͳ ，得 33 ，解得 3 ， 把 3 代入 ，得 6 3 6 ，解得 ， 所以原方程组的解为 3 ． 解析：本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组 . 由题意利用加减消元法将二元一次方程组转化 为一元一次方程，再进行求解即可． 18.答案：解：原式 1 1 1 1 1 ， 当 时， 原式 ． 解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算可得． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19.答案：证明：连接 ᦙ. 在 ᦙ 和 ᦙ 中， ᦙ ᦙ ᦙ ᦙ ， ᦙ≌ ᦙ ． ᦙ ᦙ ． ᦙ ． ᦙ 1 ． 解析：本题考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，掌握全等三角形的判定条件是解 题的关键 . 连结 AC，由三边相等证明 ᦙ≌ ᦙ ，得到 ᦙ ᦙ ，从而 ᦙ ，由平行线 的性质即可证明． 20.答案：解：如图，点 P 为所作． 解析：过 A 点作 BC 的垂线，垂足为 P，点 P 满足条件． 本题考查了作图 复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图 形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质． 21.答案：24 解析： 1 证明： ʹ ᦙ ， ʹ ʹ ᦙ ʹ ， 即 ᦙʹ ， ʹ ， ʹᦙ ， ʹ ， ≌ ᦙʹ ， ᦙ ， ᦙʹ ， ᦙ ， 四边形 ABCD 是平行四边形； 解： ᦙ ， ⸰ ， ᦙ 4Ͳ ， ᦙ 是等腰直角三角形， ᦙ 4 ， ᦙ 4 ， tanᦙ Ͳ ， 1 ， 6 ， ▱ABCD 的面积 6 4 4 ， 故答案为：24． 1 根据已知条件得到 ᦙʹ ，根据平行线的性质得到 ʹᦙ ，根据全等三角形的性质得 到 ᦙ ， ᦙʹ ，于是得到结论； 根据已知条件得到 ᦙ 是等腰直角三角形，求得 ᦙ 4 ，解直角三角形得到 1 ， 根据平行四边形的面积公式即可得到结论． 本题考查了平行相交线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形 是解题的关键． 22.答案：解：设从该电脑公司购进 A 型电脑 x 台，购进 B 型电脑 y 台，购进 C 型电脑 z 台， 则可分以下三种情况考虑： 1 只购进 A 型电脑和 B 型电脑，依题意可列方程组 6 4 1Ͳ 36 ，解得： 1.Ͳ Ͳ.Ͳ ，不合题意，应该舍去； 只购进 A 型电脑和 C 型电脑，依题意可列方程组 6 Ͳ 1Ͳ 36 ，解得： 3 33 ； 3 只购进 B 型电脑和 C 型电脑，依题意可列方程组 4 Ͳ 1Ͳ 36 ，解得： ⸰ ． 答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进 A 型电脑 3 台和 C 型电脑 33 台；第二种方案是购 进 B 型电脑 7 台和 C 型电脑 29 台． 解析： 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意充分考虑三种情况及题中的整数性，结合 等量关系：单价 数量 总价．列方程组求解． 分三种情况：一是购买 36 ，A 的单价 数量 的单价 数量 1Ͳ ；二是购买 ᦙ 36 ， A 的单价 数量 ᦙ 的单价 数量 1Ͳ ；三是购买 ᦙ 36 ，B 的单价 数量 ᦙ 的单价 数量 1Ͳ ． 23.答案：解： 1 因为今年四月份甲公司揽件员人均揽件数超过 40 的有 4 天， 所以甲公司揽件员人均揽件数超过 4 不含 4 的概率为 4 3 1Ͳ ； 甲公司各揽件员的日平均揽件数为 3133⸰⸰4441341 3 3⸰ 件； 甲公司揽件员的日平均工资为 3⸰ 14 元， 乙公司揽件员的日平均工资为 3 3⸰ 4 Ͳ 3൅ 4 1 Ͳ 3 6 3 1Ͳ⸰.4 元， 因为 1Ͳ⸰.4 14 ， 所以仅从工资收入的角度考虑，小明应到乙公司应聘． 解析：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率 所求情况数与总情况数之比及平均数的定 义及其意义． 1 根据概率公式计算可得； 根据加权平均数的定义计算可得； 根据 的结果计算甲公司的日平均工时，再根据加权平均数的定义及其意义计算乙公司的日平均 工资，比较即可得解． 24.答案：解： 1 如图 1，设 ᦙ ， ᦙ ， 则 ᦙ ᦙ ， 点 C 为弧 ABD 中点， ᦙ ᦙ ， ᦙ ᦙ ， ， 连接 AD， 为 直径， ⸰ ， ⸰ ， ⸰ ， ⸰ ⸰ ， ， ᦙ ； ᦙʹ ， ᦙʹ ᦙ ᦙ ᦙ ⸰ ， ᦙ ᦙ ， ᦙʹ ᦙ ， ᦙʹ ᦙ ， ᦙʹ ᦙʹ ， ʹ ᦙʹ ； 3 如图 2，连接 OC， ᦙ ᦙ ， ᦙ ， ᦙ ᦙ ， ᦙ ， ㌠ᦙ ⸰ ， ᦙ㌠∽ ， ㌠ ᦙ 1 ， ㌠ Ͳ ， 1 ， 6 ， 13 ， ㌠ 1 ， 又 ㌠ʹ Ͳ ㌠ʹ ， 可得 ㌠ʹ∽ ， ㌠ ʹ ，即 1 4 ʹ 6 ， ʹ 3⸰ ， ʹ ʹ ⸰ ． 解析：【试题解析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，属于较难题． 1 如图 1，设 ᦙ ， ᦙ ，根据圆周角定理得到 ᦙ ᦙ ，即可得到结论； 根据已知条件得到 ᦙʹ ᦙ ，得到 ᦙʹ ᦙʹ ，于是得到结论； 3 根据圆周角定理得到 ᦙ ᦙ ，根据勾股定理得到 6 ，由相似三角 形的性质即可得到结论． 25.答案：解： 1 结论为真，理由如下： 把 1 代入 1 3 1 ，得 所以该函数的图象过定点 1Ͳ 结论为假，理由如下： 1൅ 4 3 1 16 1 4 1 当 1 4 时， 4 1 ，函数图象与 x 轴只有一个的交点； 当 1 4 时， 4 1 ，函数图象与 x 轴有两个的不同的交点 3 结论为假．理由如下： 二次函数 1 3 1 图象的对称轴为 1 1 1 ， 若 ，显然 1 1 1 ，故当 1 1 1 时，y 随 x 的增大而减小，当 1 1 时，y 随 x 的增大而增大； 4 结论为真，理由如下： 函数有最小值， 函数开口向上， ， 二次函数 1 3 1 的最小值为 41 4 ， 解析：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质 有关知识． 利用二次函数的性质依次判断即可．