山西省大同市煤矿第四中学2020届高三下学期模拟考试（1）数学（理）

山西省大同市煤矿第四中学2020届高三下学期模拟考试（1）数学（理）

理科数学 满分 150 分 考试时间：120 分钟； 第 I 卷（选择题，共 60 分) 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．已知集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 2．已知复数 z 满足：（2＋i）z＝1－i，其中 i 是虚数单位，则 z 的共轭复数为（ ） A． － i B． ＋ i C． D． 3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（ ） A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝x2ln(x2＋1) 4．数列 中， ， ，且数列 是等差数列，则 等于（ ） A． B． C． D． 5．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为 ， ， ， ，只有通过前 一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该 节目，则该选手能进入第四关的概率为（） A． B． C． D． 2{ | 5 6 0}A x x x= − − < { | 3 1, }B x x k k Z= = + ∈ A B {2,3,4} {1,2,3} {2,5} {1,4} 1 5 3 5 1 5 3 5 1 3 i− 1 3 i+ cos , 02 2 x x xx π π − < < ≠   2 1 2 1 x x − + | |x x { }na 2 2a = 6 0a = 1 1na    +  4a 1 2 1 3 1 4 1 6 5 6 4 5 3 5 1 2 7 25 2 5 12 25 14 25 6．已知正三棱柱 的顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的 表面积为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的函数图象是（ ） A． B． C． D． 8．在如图的平面图形中，已知 OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°， ＝2 ， ＝ 2 ，则 · 的值为(　　) A．－15 B．－9 C．－6 D．0 9．已知 的最小值为 A． B． C． D． 10．已知正四棱锥 的侧棱长与底面边长都相等， 是 的中点，则 所成的角的余弦值为（ ） 1 1 1ABC A B C− O 2AB = 1 4AA = O 32 3 π 32π 64π 64 3 π lg 1( ) x xf x x −= BM MA CN NA BC OM ( ) 30, , 0, ,sin 2 sin ,cos2 2 2 π πα β α β β β   ∈ ∈ + =       5 3 5 5 1 2 2 3 S ABCD− E SB AE SD， A． B． C． D． 11．已知双曲线 ，过原点作一条倾斜角为 直线分别交双曲线左、 右两支 P，Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆过右焦点 F，则双曲线离心率为 　　 A． B． C．2 D． 12．设 表示不大于实数 的最大整数，函数 ，若关于 的 方程 有且只有 5 个解，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题，共 90 分) 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知 P 为椭圆 上任意一点， ， 是椭圆的两个焦点.则 的 最小值为________. 14．已知函数 ，若 是函数 的极小值点，则实数 的值 为________. 15．设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 ,则 的最小 值为_________． 16．设数列{an}满足 a1=1，且 an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{ }的前 10 项的和为__． 三、解答题共 70 分.解答题营写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题， 每个实体考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题.共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分 17．在 中，角 对边分别为 ，且满足 ． （1）求 的面积； 1 3 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 x y 1(a 0,b 0)a b − = > > π 3 ( ) 2 1+ 3 1+ 5 [ ]x x 2ln [ln ] 1, 0( ) ( 1), 0x x x xf x e ax x  − − >=  + ≤ x ( ) 1f x = a ( , 1)−∞ − ( , )e−∞ − ( , 1]−∞ − ( , ]e−∞ − 2 14 x y+ = 1F 2F 2 2 1 2PF PF+ ( ) 22ln 3f x x ax x= + − 2x = ( )f x a 1 na ABC∆ , , A B C , , a b c ( )221, bc a bc b c= − = − ABC∆ （2）若 ，求 的周长． 18．如图，在四面体 中， ， 分别是线段 ， 的中点， ， ， ，直线 与平面 所成的角等于 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 19．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于 2018 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第 一阶梯电量：年用电量 2160 度以下(含 2160 度)，执行第一档电价 0.5653 元/度；第二阶梯 电量：年用电量 2161 至 4200 度(含 4200 度)，执行第二档电价 0.6153 元/度；第三阶梯电量： 年用电量 4200 度以上，执行第三档电价 0.8653 元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随 机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表： 用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用电量 (度) 1000 1260 1400 1824 2180 2423 2 815 3325 4411 4600 (1)试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？ (2)现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量 的户数的分布列； (3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽 取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值. 20．已知抛物线 C： =2px 经过点 （1，2）．过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C 有两 1cos cos 4B C = ABC∆ ABCD E F AD BD 90ABD BCD∠ = ∠ =  2EC = 2AB BD= = EC ABC 30 EFC ⊥ BCD A CE B− − 2y P 个不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N． （Ⅰ）求直线 l 的斜率的取值范围； （Ⅱ）设 O 为原点， ， ，求证： 为定值． 21．已知函数 ， ， （1）求 f(x)的单调区间； （2）如果函数 有两个极值点 、 ，求证： .（参考数据： ， ， ， 为自然对数的底数） （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第 一题计分。 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）． （1）求曲线 的普通方程； （2）在以 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的方程为 ，已知直线 与曲线 相交于 两点，求 ． 23．设函数 f(x)＝|x－a|. (1)当 a＝2 时，解不等式 f(x)≥4－|x－1|； (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2]， (m>0，n>0)，求证：m＋2 QM QOλ=  QN QOµ=  1 1 λ µ+ ( ) ( )1 lnf x x x= − ( ) ( )21 02g x ax x x= + > ( ) ( ) ( )T x f x g x= − 1x 2x 1 2 16x x⋅ > 2 1.41≈ ln 2 0.69≈ 2.72e ≈ e xOy C sin cos sin cos x y α α α α = +  = − α C O x l 12 sin 04 2 πρ θ − + =   l C ,A B AB 1 1 2 am n + = 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题（本题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60） 1．D 2．B. 3．B 4．A 5．D 6．D 7．A 8．C 9. 10．C 11．B 12．A 二、填空题（本题包括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．8 14． 15． 16． 三、解答题（本题共 70 分） 17．（1）∵ ，∴ ，即 ， ∴ ； 4 分 （2）∵ ，∴ 由题意， ，∴ ， 6 分 ∵ ，∴ ， 8 分 ∴ 10 分 ∵ ，∴ ． ∴ 的周长为 ． 12 分 18．（Ⅰ）在 中， 是斜边 的中点， 所以 . 因为 是 的中点， 所以 ，且 ， 所以 ， 所以 . 又因为 ， 所以 ， A 1 2 20 11 2 2 2b c a bc+ − = 1cos 2A = 060A = 1 3sin2 4ABCS bc A∆ = = ( ) 1cos cos 2A B C= − + = 1sin sin cos cos 2B C B C⋅ − ⋅ = 1cos cos 4B C⋅ = 3sin sin 4B C⋅ = 2 4 sin sin sin 3 a bc A B C   = =   1a = ( ) ( )2 22 2 2 2 1 3b c a b c bc b c+ − = + − − = + − 2 2 2 1b c a+ − = 2b c+ = ABC∆ 1 2 3a b c+ + = + = tR BCD∆ F BD 1 12FC BD= = ,E F ,AD BD 1 12EF AB= = 2EC = 2 2 2EF FC EC+ = EF FC⊥ , / /AB BD EF AB⊥ EF BD⊥ 又 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ， 所以平面 平面 ． 6 分 （Ⅱ）方法一：取 中点 ，连 ，则 ， 因为 ， 所以 . 又因为 ， ， 所以 平面 ， 所以 平面 ． 因此 是直线 与平面 所成的角． 故 ， 所以 . 过点 作 于 ，则 平面 ， 且 ． 过点 作 于 ，连接 ， 则 为二面角 的平面角． 因为 ， 所以 ， 所以 ， BD FC F∩ = EF ⊥ BCD EF ⊂ EFC EFC ⊥ BCD AC M ME / /ME CD 1 22CE AD= = CD AC⊥ CD BC⊥ AC BC C∩ = CD ⊥ ABC ME ⊥ ABC ECM∠ EC ABC 2 2 cos30 6AC MC EC= = ⋅ = 2CD BC= = B BN AC⊥ N BN ⊥ ACD 2 3 3 AB BCBN AC ⋅= = B BH EC⊥ H HN BHN∠ A CE B− − 2BE BC EC= = = 2 23 6 6,2 2 6BH BE HN BH BN= = = − = 1cos 3 HNBHN BH ∠ = = 因此二面角 的余弦值为 ． 12 分 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴⊥BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 ． 因为 (同方法一,过程略) 则 ， , ． 所以 , , ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ，取 ,得 ． 设平面 的法向量 则 ，即 ，取 ,得 ． 所以 ， 由图形得二面角 为锐角， 因此二面角 的余弦值为 ． 12 分 19．(1)因为第二档电价比第一档电价多 0.05 元/度，第三档电价比第一档电价多 0.3 元/度， 编号为 10 的用电户一年的用电量是 4 600 度，则该户本年度应交电费为 4 600×0.565 3＋(4 200－2 160)×0.05＋(4 600－4200)×0.3＝2822.38(元). 4 分 （2）设取到第二阶梯电量的用户数为 ，可知第二阶梯电量的用户有 4 户，则 可取 0， 1，2，3，4. A CE B− − 1 3 Bxyz 2CD BC= = ( )1,1,0C ( )0,0,2A ( )0,1,1E ( )= 1,0,1CE − ( )0,1,1BE = ( )0,1, 1AE = − ACE ( )1 1 1, ,m x y z= · 0 C · 0 AE m E m  =  =     1 1 1 1 0 0 y z x z − = − + = 1 1x = ( )1,1,1m = BCE ( )2 2 2, ,n x y z= · 0 · 0 BE n CE n  =  =     2 2 2 2 0 0 y z x z + = − + = 2 1x = ( )1, 1,1n = − · 1 1cos , = 33 3 m nm n m n = = ×      A CE B− − A CE B− − 1 3 X X , ， , ， 故 的分布列为 0 1 2 3 4 所以 ． 8 分 （3）由题意可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足 ，可知 ， 由 , 解得 ， 所以当 时概率最大， 故 . 12 分 20．解：（Ⅰ）因为抛物线 y2=2px 经过点 P（1，2）， 所以 4=2p，解得 p=2，所以抛物线的方程为 y2=4x． 2 分 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0， 设直线 l 的方程为 y=kx+1（k≠0）． 由 得 ． ( ) 0 4 4 6 4 10 10 14 C CP X C = = = ( ) 1 3 4 6 4 10 81 21 C CP X C = = = ( ) 2 2 4 6 4 10 32 7 C CP X C = = = ( ) 3 1 4 6 4 10 43 35 C CP X C = = = ( ) 4 0 4 6 4 10 14 210 C CP X C = = = X X p 1 14 8 21 3 7 4 35 1 210 ( ) 1 8 3 4 1 80 1 2 3 414 21 7 35 210 5E X = × + × + × + × + × = 2~ 10, 5X B     ( ) 10 10 2 3 5 5 k k kP X k C −   = =        ( )0,1,2,3 ,10k =  10 1 9 1 10 10 10 1 11 1 10 10 2 3 2 3 5 5 5 5 2 3 2 3 5 5 5 5 k k k k k k k k k k k k C C C C − + − + − − − −         ≥                         ≥                17 22 5 5k≤ ≤ *k N∈ 4k = 4k = 2 4 1 y x y kx  =  = + ( )2 2 2 4 1 0k x k x+ − + = 依题意 ，解得 k<0 或 0 1 2 2 2 4kx x k −+ = − 1 2 2 1x x k = ( )1 1 22 11 yy xx −− = −− 1 1 1 1 2 12 21 1M y kxy x x − + − += + = +− − 2 2 1 21N kxy x − += +− =QM QOλ  =QN QOµ  =1 Myλ − 1 Nyµ = − ( ) ( ) ( ) 2 21 2 1 21 2 1 2 1 2 2 2 2 4 21 11 1 1 1 1 1 =211 1 1 1 1 1M N k x x x xx x k k y y k x k x k x x k k λ µ −+− +− −+ = + = + = ⋅ = ⋅− − − − − − 1 1 λ µ+ ( ) ( ) 211 ln 2T x x x ax x= − − − ( ) 1ln 0T x x axx = − − =′ 1x 2x 1 1 1 2 2 2 1ln 1ln x axx x axx  − =  − = ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 ln x xx x a x xx x +− = + ( )2 1 2 2 1 1 1 2 ln x x x a x xx x x   −− = −    2 1 2 1 1 2 ln 1 x xa x x x x = +− 代入①有 ， 即 ， 8 分 不妨设 ，则 ，由（1）有 . 又 ， 所以 ，即 ， 9 分 设 ，则 ， 在 单调递增， 又 ， ， ，因此 . 22．解：（1）由 得 ，将两式相加得 ， 故曲线 的普通方程为 ； 4 分 （2）由 得 ， 化为直角坐标方程为 ， 6 分 圆心到直线 的距离 ， 8 分 由垂径定理得 ． 10 分 23．(1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4. 当 x≥2 时，原不等式化为 2x－3≥4，解得 x≥ ，所以 x≥ ； ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 ln 1ln x x x xx x x xx x x x x x    +  − = + +−    ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2ln lnx x x x xx x x x x x x +  +− =  −  1 20 x x< < 2 1 1x x > ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x +− 1 2 2 2 1 1 ln 2x x x x x x  += > −  ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2ln x xx x x x +− ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4ln 2lnx xx x x xx x x x < − = − ( )1 2 1 2 42ln 2x x x x − > ( )1 2 1 2 2ln 1x x x x − > ( ) 2lnG x x x = − ( ) 2 1 2 0G x x x ′ = + > ( ) 2lnG x x x = − ( )0, ∞+ ( ) 2 14 ln 4 2ln 2 2 0.69 0.5 14 2G = − = − ≈ × − < ( ) ( )1 2 1 2 1 2 2ln 4 41 4 2lnG x x x x x x G∴ = − − => > 1 2 4x x∴ > 1 2 16x x⋅ > sin cos sin cos x y α α α α = +  = − 2 2 1 2sin cos 1 2sin cos x y α α α α  = +  = − 2 2 2x y+ = C 2 2 2x y+ = 12 sin 04 2 πρ θ − + =   1cos sin 02 ρ θ − ρ θ + = 1 02x y− + = l 1 22 42 d = = 2 22AB r d= − 1 302 2 8 2 = − = 7 2 7 2 当 1≤x＜2 时，原不等式化为 1≥4，无解； 当 x<1 时，原不等式化为 3－2x≥4， 解得 x≤－ ，所以 x≤－ . 4 分 所以原不等式的解集为 . (2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得 a－1≤x≤a＋1， 而 f(x)≤1 的解集是[0,2]， 所以 ，解得 a＝1，所以 ＝1(m>0，n>0)． 所以 m＋2n＝(m＋2n) ＝2＋ ， 当且仅当 m＝2n 时，等号成立 10 分 1 2 1 2 1 7, ,2 2    −∞ − +∞      1 0 1 2 a a − =  + = 1 1 2m n + 1 1 2m n  +   2 22 2 42 2 n m n m m n m n + ≥ + ⋅ =