第2章 第2节 力的合成与分解-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第2章 第2节 力的合成与分解-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第二节 力的合成与分解 一、力的合成 力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力等效代替几个力的共同作用，如 果这一个力的作用效果与几个力共同的作用效果相同，那么这个力就是那几个力的合力。合力与分 力是一种等效替代的关系。 1．平行四边形定则 当同一直线上的两个力同向时，合力等于这两力之和，即 1 2 F F F 合 ；当同一直线上的两个 力方向相反时，合力等于较大力与较小力之差，即 1 2 F F F 合 。 有两个力的方向不在同一直线上，则不能简单地用加、减来计算合力的 大小。实验证明，互成夹角的两个力与合力的关系符合“平行四边形定则”， 内容如下：以两分力为邻边作平行四边形，两分力所夹的对角线即表示合力 的大小与方向，如图 4.46所示。利用平行四边形定则结合数学知识可以方便地求出合力的大小和方 向。设力 1F ， 2F 的夹角为 ，则它们的合力 F 合的大小可由余弦定理求得：  2 2 1 2 1 2  2 cos 180F F F F F    合 根据  cos 180 cos    ，因此 2 2 1 2 1 2  2 cosF F F FF   合 。 (1)两个力的合成 对子一些特殊情况下的合力计算，可以根据三角形知识来求解合力。下面列举出两个等大的力 F ，夹角取下列情况时合力的大小，如图 4.47所示，请同学们利用平行四边形定则，结合数学知识 来试着验证，以掌握合力的计算方法。 从上述计算合力的过程中，还可以得出以下几个结论： ①合力不一定比分力大。实际上合力可以大于、等于或小于分力的大小。 ②合力大小的变化范围是 21 1 2F F F F F   合 。 ③当两个分力大小不变时，两分力夹角越大，合力越小。 上述几种特殊情况下的两个力的合力的值，同学们要牢记，在很多情形下都可以直接运用。 例 1 如图 4.48所示，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，已知两人手臂上的拉力大小相等 且为 F ，两人手臂间的夹角为 ，水和水桶所受总重力为G ，则下列说法中正确的是( )。 A．当 为120时， F G B．不管 为何值， 2 GF  C．当 0  时， 2 GF  D． 越大时F 越小 分析与解 两人提起水桶匀速前行时，两手臂的拉力的合力大小应等于水 桶所受重力G 的大小。由平行四边形知识可知，当 为120时，手臂拉力 F G ，当 0  时，两拉力 F 同方向， 2 GF  。当两拉力夹角变大时，由于合力不变，相当于 平行四边形的对角线不变，而两邻边夹角变大，对应的邻边长度变长，即 F 变大。本题正确选项为 AC。 (2)多个力的合成 当需要求解若于个力的合力时，我们可以先合成其中两个力，然后用这两个力的合力再与第三 个力合成……如此进行下去，可以求得这几个力的合力。但是合成的时候，可以先对这几个力进行 观察，优先合成同一直线上的力或者优先合成那些容易计算的力，这样可以简化问题。 例 2 如图 4.49所示，6个力的合力为 1F ，若去掉1N的那个分力，则其余 5个力的合力为 2F ， 关于 1F ， 2F 的大小及方向表述正确的是( )。 A． 1 0F  B． 1 1NF  ，方向与1N的力相反 C． 2 1NF  ，方向与 4N的力相同 D． 2 7NF  ，方向与 4N的力相同 分析与解 观察本题中的 6个力，发现有 3对力是共线的，若将 3对共线的力先合成，则问题 将大大简化。因此，先将3N与6N、4N与1N、2N与5N这 3对力合成，则得到如图 4.50(a)所示 的 3 个3N的力，这 3 个力中任意 2 个力的合力都与第 3 个力等大反向，因此最终的合力 1 0F  。若将1N的那个 分力撤去，则将共线的力合成后如图 4.50(b)所示，显然剩 余 5个力的合力 2 1NF  ，方向与 4N的力同向，本题正 确选项为 AC。 2．三角形定则 如图 4.51所示，在平行四边形定则中，将分力 2F 平移至其对边的位置，则可发现 1F ， 2F 首尾 相接，自 1F 的起始端指向 2F 末端的有向线段，即为 1F ， 2F 的合力这就县三角形定则。 利用三角形定则，除了可以求解合力、分力大小的问题，还可以方便地判断力的最值(即最大值 或最小值)和力的动态变化问题。 (1)合力的最小值问题． 当已知分力 1F 的大小、方向及另一个分力 2F 的方向时，合力 F 合 取最小值的条件是 F 合 与 2F 垂 直，如图 4.52所示， F 合的最小值为 1min  sinF F  合 。 (2)分力的最小值问题 当合力F 合的方向确定，而大小未知，分力 1F 的大小和方向均确定时，另一个分力 2F 取最小值 的条件是 2F 与合力 F 合 垂直，如图 4.53所示， 2F 的最小值为 2min 1 sinF F  。 例 3 如图 4.54所示，分力 1F 的大小、方向均不变， 2F 大小不变，方向变化。 1F ， 2F 与它们 合力 F 之间的夹角分别为 ， 。则当  ________时， 取最大值，其最大值应满足的关系为 ________。 分析与解 如图 4.55所示，以分力 1F 的末端为圆心， 2F 的大小为半径画半圆， 1F ， 2F 以及它 们的合力 F 围成一个矢量三角形，其中 F 即为从 1F 的起始端指向 2F 末端的有向线段，可见，当 2F 方向变化时，F 的方向、大小随之变化， 也在改变。当 F 恰和半圆相切时， 2F 与F 垂直，即 90   时， 角取得最大值，有 2 1 sin F F   。 例 4 如图 4.56所示，竖直杆 AB可在竖直面内左右摆动， A端系有两根绳子 AC 与 AD，在 绳 AC 拉力作用下整个装置处于平衡状态，若绳 AC加长，使点C缓慢向左移动，杆 AB仍竖直， 且处于平衡状态，则绳 AC 的拉力T 和杆 AB所受的压力N 与原先相比，下列说法中正确的是( )。 A．T 增大， N 减小 B．T 减小， N 增大 C．T 和 N 均增大 D．T 和 N 均减小 分析与解 杆 AB可在竖直面内左右摆动，则要使杆处于竖直平衡状 态，绳 AC 与绳 AD对杆上 A点的拉力的合力 N 必竖直向下，即沿着杆的方向， 否则杆将倒下。绳 AD对 A点的拉力大小等于重物所受重力大小，记为 0F ，画出 A 点力的矢量三角形如图 4.57所示。当绳 AC加长，使点C缓慢向左移动时，绳 AC 的拉力T 与坚直方向的夹角变大，T 逐渐变为 1T ， 2T ，对应地，合力由N 逐渐变 为 1N ， 2N 。可见，T 和N 均减小，选项 D正确。 例 5 如图 4.58所示，小球质量为m，用一细线悬挂。现用一大小恒为 1 2 F mg 的力慢慢将 小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的最大夹角 是多少？ 分析与解 当小球平衡时，重力mg与拉力F 的合力 F 合—定沿着细线的方向，且根据三角形定 则，当 F 与mg首尾相接时， F 合就是从mg的起始端指向 F 末端的有向线段。画出表示重力的有 向线段，并以重力的末端为圆心，以 F 的大小为半径画圆，则 F 合，mg， F 组成的矢量三角形如 图 4.59所示。当F 取不同方向时，F合的大小、方向均随之发生变化。只有当F 合恰与圆相切，即 F 与F 合垂直时， 最大，且满足 1sin 2 F mg    ， 30  。 二、力的分解 力的分解是力的合成的逆运算，即已知某个力，求解其分力的过程。力的分解同样遵循平行四 边形法则和三角形定则。 求解一个力的分力的过程，就像已知对角线，画出平行四边形的过程。如果不加以限制，结果 有无数种，如图 4.60所示。但是，当两个邻边的方向确定时，所画出的平行四边形就是唯一的。因 此，在分力的方向确定时，分解的情况就是唯一的，如图 4.61所示。 1．按照力的作用效果分解力 实际分解一个力时，往往根据力的作用效果来确定两个分力的方向，从而把力分解，下面举几 个例子。 (1)水平面上物体所受拉力的分解：如图 4.62所示，拉力F 实际产生了两 个作用效果——想要物体沿水平面向右运动和想把物体竖直提起离开水平面。 因此可以把力沿着水平方向和竖直方向分解为 1F ， 2F 两个分力。可求得 1 cosF F  ， 2 sinF F  。 (2)斜面上物体重力的分解：如图 4.63所示，物块的重力实际产生了两个作 用效果，一是使物体有沿斜面下滑的趋势，二是使物体压紧斜面。因此可将物 体重力G 分解为平行于斜面向下和垂直于斜面向下的两个分力 1G ， 2G ，可求 得 1 sinG G  ， 2 cosG G  。值得注意的是， 2G 并不是物体对斜面的压力， 而只是大小与物体对斜面的压力相等。 (3)被夹板夹起的球重力的分解：如图 4.64所示，球的重力的作用效果就是挤压左右两个夹板， 因此可将重力G 分解为垂直于两个夹板的分力 1F ， 2F 。设两板夹角为 ，夹板的平分线竖直，则 由对#性及平行四边形法则可知 1 2 2sin 2 GF F   。 (4)斜靠在墙壁上球的重力分解：如图 4.65所示，球固定在轻杆一端，斜靠在竖直墙壁上，轻杆 另一端通过可自由转动的铰链与水平地面相连。小球的重力产生的效果，一方面使球对墙有压力， 另一方面，使球对杆也有压力。球对轻杆的压力方向需要我们探讨：因为杆另一端与铰链相连，可 以自由转动，因此若球对杆的弹力不沿着杆，杆必转动，因此球对杆的压力沿着杆斜向下。至此， 可以将球的重力G 分解为沿着杆斜向下的分力 1F 和垂直于墙璧向右的分力 2F ，可求得 1 sin GF   ， 2 tan GF   。 例 6 如图 4.66所示，两光滑平板OM ，ON构成一具有固定夹角 0 75  的V形糟，一球置 于槽内，用 表示 NO板与水平面之间的夹角。若球对板 NO压力的大小正好等于球所受重力的大 小，则 值应该是( )。 A．15 B．30 C． 45 D．60 分析与解 将球的重力分解为垂直于OM ，ON板方向的两个分力 1F ， 2F ，其中垂直于ON板 的分力 2F G 。在图 4.67所示的平行四边形 ABCD中， 0180 105BCD    ， ACB   ， 则 180105 2 CAB ACD        ，解得 30  ，选项 B正确。 2．力的正交分解法 实际分解力时，还可以根据问题的需要，把力沿着两个相互垂直的方向进行分解，即正文分解。 分解时，要根据实际情况建立以物体所在位置为坐标原点的 xOy坐标系，并使尽量多的力出现在坐 标轴上，再把其他力沿着 x， y轴分解为 1xF ， 1yF ， 2xF ， 2yF 等。接下来可以求解 x轴、 y轴上 的合力 1 2 3x xx xF F F F   ， 1 2 3y y y yF F F F    最后求 xF 和 yF 的合力F合大小： 2 2   x yF F F 合 ， F合与 x轴方向的夹角 满足 tan y x F F   。 例 7 如图 4.68所示，三个共点力 1 10NF  ， 2 3 2NF  ， 3 15NF  ，它们的方向如图 4.68 所示，求这三个力的合力大小和方向。 分析与解 本题若用平行四边形法则逐一合成各个力，则过于烦琐，因此考虑正交分解的方法。 如图 4.69(a)所示建立 x，y坐标轴，力 3F 在 y轴负半轴上。将力 1F 沿坐标轴方向分解为 1xF 和 1yF 两 个分力，结合数学知识可得 1 1 cos53 6NxF F   ， 1 1 sin 53 8NyF F   。同样地，将力 2F 沿坐 标轴方向分解为 2xF 和 2 yF 两个分力，则 2 2 cos 45 3NxF F   ， 2 2 sin 45 3NyF F   。故 x轴上 的力的合力 1 2 3Nx x xF F F   ， y轴上的力的合力 3 1 2 4Ny yy FF F F   ，如图 4.69(b)所示。 则三个力的合力大小为 2 2 5Nx yF F F  合 ，合力方向在第四象限，与 x轴正方向夹角为53。 3．力分解的几种情况， 在对力迸行分解时，所加的附加条件不同，那么得到的分力情况也会不同，在有些附加条件下 甚至无法得到分力，即不能分解。当分力与合力所构成的三角形仅有一种情况时，只有一解，当构 成的三角形有两种或多种情况时，有两解或多解。下面介绍几种不同的附加条件下力的分解情况。 (1)已知合力和两个分力的方向，求两个分力的大小，有一组解。这种情况已在前文介绍过，不 再赘述。 (2)已知合力和一个分力的大小与方向，求另一个分力的大小和方向，有一 组解。例如，已知合力 F 和它的一个分力 1F ，则另一个分力 2F 就是从 1F 末端指 向F 末端的有向线段，显然 2F 仅有一解，如图 4.70所示。 (3)已知合力 F 和两个分力 1F ， 2F 的大小。当合力为某一定值，而分力的取值不同时，所能分 解的情况也会变化。 ①当 1 2F F F  时，有两解。分别以合力 F 的起始端与末端为圆心，以 1F ， 2F 的大小为半径 画圆，两圆有两个交点，如图 4.71(a)所示， 1F ， 2F ，F 可构成两个三角形，有两解。 ②当 1 2F F F  时，有一解。分别以合力 F 的起始端与末端为圆心，以 1F ， 2F 的大小为半径 画圆，两圆相切，则仅有一解，如图 4.71(b)所示。 ③当 1 2F F F  时，无解。此种情况下两圆相离，无交点，故无解，如图 4.71(c)所示。比如， 一个6N的力无法分解为 2N和3N的两个分力。 (4)如图 4.72所示，若已知合力 F 、一个分力 1F 的大小与另一分力 2F 的方向，求 1F 的方向和 2F 的大小，则较复杂，讨论如下： ①当 1 sinF F  时，有唯一解。由于 1F 的大小恰等于F 的末端到 2F 所在方向的距离，这也是 1F 所能取到的最小值。因此 1F ， 2F ， F 仅能构成一个直角三角形，如图 4.73(a)所示，仅有唯一解。 ②当 1sinF F F   时，有两组解。如图 4.73(b)所示，该情况下 1F ， 2F ，F 可构成两个三角 形，因此有两组解。 ③当 1F F 时，有一组解。由于要保证 2F 的方向始终不变，在该种情况下， 1F ， 2F ，F 只可 构成如图 4.73(c)所示的三角形，仅有一组解。 ④当 1 sinF F  时，无解。该种情况下 1F ， 2F ，F 构不成三角形，无法分解。 例 8 已知力 40NF  ，现要把力F 分解为两个力 1F 和 2F ，且 1F 与F 的夹角为30，若 2F 取 某一数值，可使 1F 有两个大小不同的数值，问： 2F 大小的取值范围是什么？ 分析与解 要解答此类问题，必须先画图后分析，由于已知合力F 的大小和方向，以及一个分 力 1F 的方向，因此可以试着把另一个分力 2F 的大小从小逐渐增大去画力的三角形。 如图 4.74所示，以合力 F 的末端为圆心，以 2F 的大小为半径去画圆孤与 1F 相交，分别可得到 如下几种情况： (1)当 2 20NF  时，圆弧与 1F 没有交点，即不能画出平行四边形，无解。 (2)当 2 20NF  时，圆弧与 1F 相切，有一个解，且此时 2F 取得最小值，这时 1 20 3NF  如图 4.74(a)所示。 (3)当 220N 40NF  时，圆弧与 1F 有两个交点，有两个解，即 2F 的某一数值对应着 1F 的两 个不同的数值，如图 4.74(b)所示。 (4)当 2 40NF  时，圆弧与 1F 只有一个交点，只有唯一解，如图 4.74(c)所示。 综上所述，符合条件的 2F 的取值范围为 220N 40NF  。 4．力的二次分解 力的二次分解就是将某个力分解后，将这个力的分力再分解，下面举例说明。 例 9 如图 4.75所示，为了推动一个大橱，某人找了两块木板，搭成一个人宇形，他往中问一 站，橱被推动了。设橱和墙壁间的距离为 s，两木版长均为 l ( l略大于 2 s )，人所受重力为G ，试求 木板对橱的水平推力。 分析与解 如图 4.76所示，设杆与水平地面间的夹角为 ，则由几何关系可得 2 2 2 22 4sin 2 sl l s l l         ， 2cos 2 s s l l    人对两行的压力等于其重力的大小，可以将人对杆的压力分解为沿着杆方向的 1G ， 2G 两个分力， 由几何关系可知 1 2sin GG   ，因此杆对箱子的作用力等于 1G ，方向沿杆，再将 1G 分解为水平向左 与坚直向下的分力 1F ， 2F ，则 1F 即等于木板对橱的水平推力，易得 1 1 2 2 coscos 2sin 2 4 G GsF G l s       练习题 1．一物体受到大小分别为 1F ， 2F ， 3F 的三个共点力的作用，其力的矢量关系如图 4.77所示， 则它们的合力大小是( )。 A． 12F B． 22F C． 32F D． 1 2 3F F F  2．关于力的分解，下面说法中正确的是( )。 A．一个力不可能分解成两个大小都比它大的力 B．一个力不可能分解成两个大小都与它相等的力 C．—个力分解时只要按平行四边形法则去分解一定能得到确定的解 D．已知一个力的两个分力的方向，或已知其中一个分力的大小和方向，分解这个力一定有确 定的解 3．将5N的力进行分解，若一个分力大小为10N，则另一个分力的大小可能是( )。 A．4N B．18N C．6N D．16N 4．如图 4.78所示，水平横梁的一端 A插在墙壁内，另一端装有小滑轮B，—轻绳上端固定在 墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为 10kgm  的重物，已知绳与杆的夹角 30ABO  ，滑 轮B受到绳子的作用力大小为( )。 A．50N B．86.6N C．100N D．173N 5．如图 4.79所示，用长轻绳悬挂一质量为m的小球，对小球施加一个力，使绳和竖直方向成 角并绷紧，小球处于静止状态，此力最小为( )。 A． sinmg  B． cosmg  C． tanmg  D． cotmg  6．如图 4.80所示，橡皮条的O端固定，用 A，B两弹簧秤拉橡皮条的另一端D，使其伸长至 E点， A，B两掸黉的弹力大小和方向如图所示，其中 90   。今保持 A的读数不变，当 由图示位置逐渐减小时，欲使D端仍在E点保持不动，应采用的方法是( )。 A．使 B的读数变小，同时  角减小， B．使 B的读数变小，同时  角增大 C．使 B的读数变小，同时  角先增大后减小 D．使 B的读数变大，同时  角减小 7．将一个 20NF  的力分解成两个分力 1F 和 2F ，若 1F ， 2F 的方向与 F 方向的夹角都为30， 则 1F ， 2F 的大小是________。 8．已知三个共点力的大小分别为 1 50NF  ， 2 40NF  ， 3 30NF  ，方向如图 4.81所示， 1F 与 2F 的夹角为37， 2F 与 3F 垂直，则这三个力的合力的大小为________N，方向________。 9．作用在一物体上的两个大小一定的共点力的合力的大小随夹角 变化的关系如图 4.82所示， 则这两个力的大小分别是________和________。 10．如图 4.83所示，从正六边形 ABCDEF 的一个顶点向其他 5个顶点作用着 5个力 1F ， 2F ， 3F ， 4F ， 5F 。已知 1 10NF  ，具体各力的大小跟对应的边长成正比，这 5 个力的合力大小为 ________N。 11．试用作图法将已知力 F 分解： (1)如图 4.84(a)所示，已知分力 1F 和 2F 的方向，求出两分力的大小； (2)如图 4.84(b)所示，已知分力 1F 的大小和方向，求另一个分力 2F 。 12．如图 4.85所示，已知力F 大小为10N，其中一个分力 1F 方向与F 成 30角，另一分力 2F 的最小值为________N，对应的 1F 的值为________N。 13．求解下列问题： (1)如图 4.86(a)所示，重为100N的重球放在竖直墙与斜面之间，斜面倾角 为37，所有接触面光滑，试用力的分解法求出小球对竖直墙与斜面的压力。 (2)如图 4.86(b)所示，一个人用60N的力 F 拉木箱，使木箱在氷平地面上前进，拉力与水平方 向夹角为30，求拉力在水平方向和竖直方向的两个分力。 (3)如图 4.86(c)所示，三根细绳OA，OB，OC 连接后悬挂重物G，A，B端固定于天花板上， 绳OA，OB与天花板的夹角分别为30和60，试用力的分解法求绳OA，OB的拉力。 (4)如图 4.86(d)所示，轻杆 AO， BO通过铰链与竖直墙壁连接，杆 AO水平，杆OB与墙壁夹 角为60。两杆在O点铰接在一起，在O点用细线悬挂重为G 的物体，已知两扞的受力均沿杆方向， 试用力的分解法求两杆弹力的大小。 14．如图 4.87所示，欲使一条无动力小船在河中前进，甲、乙两人分别通过绳索施加拉力 1F ， 2F 作用在船上，已知 1F 的大小为100N，方向与船前进方向的夹角为30，且为了使船受到的合力 能恰平行于河岸方向，乙的拉力 2F 与河岸垂直。 (1)求乙的拉力 2F 的大小，拉力的合力F 的大小。 (2)船前进一段时间后，乙已疲惫不堪，为了保证船所受拉力的合力不变，甲的拉力方向不变的 条件下，使乙施加的拉力 2F 最小，乙应沿着什么方向拉船？拉力 2F 最小值为多少？此时甲的拉力 1F 应调节为多少？ 15．某压榨机的结构如图 4.88所示，其中 B为固定铰链，C为滑块，可沿光滑壁移动，D为 被压榨的物体，已知O到B和C的距离都是100cm，A到OB和OC 的距离为10cm，当在铰链 A 处作用压力F 时，物体D受到的压力为多少？ 参考答案 1．A。由图 4.77知， 2F 与 3F 首尾相接，它们的合力恰等于 1F ，则三个力的合力为 12F 2．D。略。 3．C。设另一分力为 2F ，两分力之差应小于等于合力，则 2 10N 5NF   ，解得 2N 155 NF  。 4．C．滑轮B所受绳子的作用力大小等于OB段、 BP段绳子所施力的合力大小，两段绳子拉 力大小均为100N，夹角为120，由平行四边形定则可知合力为100N。 5．A。小球静止时，小球所受重力与拉力 F 的合力 F 合必沿着细线延 长线的方向斜向下，即与竖直方向夹角为 斜向下方。画出表示小球所受 重力的有向线段，自重力的末端向表示合力方向的虚线作垂线，则垂线段 即为最小的拉力 minF 。如图 4.89所示，可得 minsin F mg   ， min sinF mg  选项 A正确。 6．C。记 A，b两弹簧秤的拉力分别为 AF ， BF ，它们的合力记为 F 合，则 F 合与 AF ， BF 构成 三角形。由于橡皮筋的D端仍在E点保持不动，因此 F 合大小、方向均不变，如图 4.90所示，以 的末端为圆心，以 AF 的大小为半径画圆，当 角由图示位置逐渐减小时， AF 将逆时针转动，而 BF 是从 F 合的起始端指向 AF 末端的有向线段，可见，随着 AF 的转动， BF 逐渐减小，而 先增大，当 BF 与圆相切时  最大，然后 再逐渐 减小，因此选项 C正确。 7． 1 2 3 3 FF F  。提示：画出分解后分力与合力所形成的平行四边形， 这县一个菱形。 8．80，与 2F 相同。提示：利用正交分解法，将 1F 沿 2F 和 3F 的反方向进 行分解，然后再求合力。 9．12.5N，7.5N。当两分力夹角为0时，两分力同向， 1 2 20NF F  ，当两分力夹角头180 时，两分力反向， 1 2 5NF F  ，解得 1 12.5NF  ， 2 7.5NF  。 10．60N。由几何关系， ABC△ 与 AFE△ 是顶角为120的等腰三角形，底边长为腰长的 3 倍，结合各力的大小跟对应的边长成正比，可知 2 4 13 10 3NF F F   ， ACD△ 与 AED△ 县 直角三角形，其中 30CAD EAD    ，因此 AD的长度是长度的 2 倍， 3 12 20NF F  。为 了方便起见，可以先把 1F ， 5F 合成，再把 2F ， 4F 合成，最后把这些力的合力与 3F 加起来即可。 1F ， 5F 的合力为10N， 2F ， 4F 的合力为30N，因此这 5个力的合力为 10N 30N 20N 60NF     合 。 11．利用平行四边形定则和三角形定则，可分别画出分力 1F 和 2F 如图 4.91 所示。结合直角三 角 形 知 识 和 余 弦 定 理 ， 可 得 图 4.91(a) 中 1 tanF F  ， 2 cos FF   ， 图 4.91(b) 中 2 2 2 1 12 cosF F F FF    。 12．5，5 3。结合三角形定则，当 2F 与 1F 垂直时， 2F 取得最小值，这样 1F ， 2F 和 F 围成直 角三角形， 2min sin30 5NF F   ， 1 cos30 5 3NF F   。 13．(1)对竖直墙的压力为 3 4 G，对斜面的压力为 5 4 G。 (2)水平方向的分力为 3 2 F，竖直方向的分力为 1 2 F 。 (3)绳OA的拉力为 1 2 G，绳OB的拉力为 3 2 G。 (4)杆 AO的弹力的大小为 3G，杆 BO的弹力的大小为 2G。 14．(1) 1F ， 2F 合力的方向平行于河岸，根据平行四边形定则，画出如图 4.92(a)所示的矢量关 系，可解得合力 1 cos30 50 3NF F   ， 2 tan30 50NF F   。 (2)保证合力 F 大小和方向不变，甲的拉力方向也不变，可画出如图 4.92(b)所示的矢量三角形， 可见，从 1F 末端指向合力F 末端的有向线段即表示 2F ，当 1F 调整为不同大小时， 2F 的大小、方向 随之变化。当 2F 与 1F 垂直时 2F 取得最小值 2minF ， 2min sin 30 25 3NF F   ，方向与船前进方向 的夹角为60，对应的 1F 的大小应调整为 1 cos30 75NF F   。 15．先根据力F 的效果，把力 F 沿 AB和 AC方向分解为 ABF 和 ACF ，如图 4.93(a)所示，此时 力的平行四边形为菱形，设 AB，AC与 AO之间的夹角为 ，则 2cosAC FF   。再把分力 ACF 沿 水平和竖直方向分解，如图 4.93(b)所示，则有 2 sin tan 2AC FF F    。由几何关系可得 100tan 10 10    ，故 2 10 5 2 FF F   。