江苏省2013年高三历次考试数学试题分类汇编：立体几何
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一、填空题
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在长方体中,,,则三棱锥的体积为_______.
【答案】3
．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）已知正六棱锥的底面边长是3,侧棱长为5,则该正六棱锥的体积是________.
【答案】
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为2 cm的半圆,则该圆锥的高为____cm.
【答案】
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm,圆心角为的扇形,则此圆锥的高为___cm.
【答案】
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）已知三棱锥的所有棱长都相等,现沿,,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥的体积为____.
【答案】;
．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）在空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,表示平面,给出下列四个命题:
(1)若,则(2)若,则
(3) 若,,则(4)若,,则
【答案】①④
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,有下列四个命题:
①若,且,则;②若,且,则;
③若,且,则;④若,且,则.
则所有正确命题的序号是_________.
【答案】②
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）设是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题
①若,则, ②若,则,
③若 ④若,则,
其中正确的命题序号是____.
【答案】③④;
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）给出下列命题:
(1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
(2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
(3)若两条平行直线中的一条垂直于直线m,那么另一条直线也与直线m垂直;
(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.[来源:Zxxk.Com]
其中,所有真命题的序号为______.
【答案】、、
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若一个长方体的长、宽、高分别为、、1,则它的外接球的表面积是_____.
【答案】
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体,使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为_________.
【答案】;
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2pr,二维测度(面积)S=pr2;三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4pr2,三维测度(体积)V=pr3.应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8pr3,则其四维测度W=____.
【答案】2pr4;
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）现有如下命题:①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直;②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;③如果两个平行平面和第三个平面相交, 那么所得的两条交线平行;④如果两个平面相互垂直, 那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.
则所有真命题的序号是 .
【答案】①③④
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.
①若mα,m⊥β,则α⊥β; ②若mÌα,α∩β=n,α⊥β,则m⊥n;
③若mα,nβ,α∥β,则m∥n; ④若m∥α,mÌβ,α∩β=n,则m∥n.
上述命题中为真命题的是________(填写所有真命题的序号).
【答案】①④
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知正四棱锥的底面边长是6,高为,这个正四棱锥的侧面积是________.
【答案】 答案:48.
考查常见几何体的表面积与体积的计算.应熟练掌握常见几何体的表面积的计算,灵活应用等体积法计算点面距
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）在矩形中,对角线与相邻两边所成的角为,,则.类比到空间中一个正确命题是:在长方体中,对角线与相邻三个面所成的角为,,,则有__________.
【答案】
二、解答题
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
【答案】以O点为原点,OB为x轴,OC为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系.由题意知∠SBO=45°,SO=3.
∴O(0,0,0),C(0,,0),A(0,-,0),S(0,0,3),B(3,0,0).
A
B
O
C
D
S
x
z
y
(1)设=l(0£l£1),则=(1-l)+l=(3(1-l),0,3l),
所以=(3(1-l),-,3l).
因为=(3,,0),CD^AB,所以=9(1-l)-3=0,解得l=.
故=时, CD^AB
(2)平面ACB的法向量为n1=(0,0,1),设平面SBC的法向量n2=(x,y,z),
则,解得,取n2=(1, ,1),
所以cos
=,
又显然所求二面角的平面角为锐角,
故所求二面角的余弦值的大小为
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）三棱柱在如图所示的空间直角坐标系中,已知,,.是的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的正弦值.
【答案】
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面是等边三角形,侧面是以为斜边的直角三角形,为
的中点,为的中点.
(1)求证:平面;(2)求证:平面;[来源:学。科。网]
(3)求三棱锥的体积.
【答案】
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）
如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点.
(1)若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值;
(2)若平面ADE⊥平面PBC,求PA的长.
A
BB
CB
EB
DB
PB
（第22题）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
【答案】解(1)如图,取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC.以A为坐标原点
A
BB
CB
EB
DB
PB
（第22题）
y
x
z
F
过A且与FB平行的直线为x轴,AC为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(,1,0),
C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
从而=(,1,-2), =(0,1,1).
设直线AE与PB所成角为θ,
则cosθ=||=.
即直线AE与PB所成角的余弦值为
(2)设PA的长为a,则P(0,0,a),从而=(,1,-a),=(0,2,-a).
设平面PBC的法向量为n1=(x,y,z),则n1·=0,n1·=0,
所以x+y-az=0,2y-az=0.
令z=2,则y=a,x=a.
所以n1=(a,a,2)是平面PBC的一个法向量.
因为D,E分别为PB,PC中点,所以D(,,),E(0,1,),
则=(,,),=(0,1,).
设平面ADE的法向量为n2=(x,y,z),则n2·=0,n2·=0.
所以x+y+z=0,y+z=0.
令z=2,则y=-a,x=-a.
所以n2=(-a,-a,2)是平面ADE的一个法向量
因为面ADE⊥面PBC,
所以n1⊥n2,即n1·n2=(a,a,2)·(- a,-a,2)=-a2-a2+4=0,
解得a=,即PA的长为
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）如图,在四棱锥中,⊥平面, 于.
(Ⅰ)证明:平面⊥平面;[来源:学|科|网Z|X|X|K]
(Ⅱ)设为线段上一点,若,求证:平面
[来源:学科网]
【答案】
(Ⅰ)证:因为平面,
平面,
又,是平面内的两条相交直线,
平面,
而平面,所以平面⊥平面
(Ⅱ)证:,,和为平面内
两相交直线,平面,
连接,平面,,
⊥平面,平面,,
又共面,,
又平面,平面,平面
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,圆锥的高,底面半径,为的中点,为母线的中点,为底面圆周上一点,满足.
(1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求二面角的正弦值.
O
E
D
A
F
B
P
【答案】
．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点D为BC中点,点E为BD中点,点F在AC1上,且AC1=4AF.
(1)求证:平面ADF⊥平面BCC1B1;
(2)求证:EF //平面ABB1A1.
A
B
C
C1
A1
B1
F
E
D
(第16题图)
【答案】证明:(1) 因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1^平面ABC,
而ADÌ平面ABC, 所以CC1^AD
又AB=AC,D为BC中点,所以AD^BC,
因为BCÇCC1=C,BCÌ平面BCC1B1,CC1Ì平面BCC1B1,
所以AD^平面BCC1B1,
因为ADÌ平面ADF,
所以平面ADF⊥平面BCC1B1
(2) 连结CF延长交AA1于点G,连结GB.
因为AC1=4AF,AA1//CC1,所以CF=3FG,
又因为D为BC中点,点E为BD中点,所以CE=3EB,
所以EF//GB,
而EFË平面ABBA1,GB Ì平面ABBA1,
所以EF //平面ABBA1
A
B
C
C1
A1
B1
F
E
D
G
．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）如图,在四棱锥中,底面是矩形,四条侧棱长均相等.
(1)求证:平面; (2)求证:平面平面.
（第15题）
【答案】证明:(1)在矩形中,,
又平面,
平面,
所以平面
(2)如图,连结,交于点,连结,
在矩形中,点为的中点,
又,
故,,
又,
平面,
所以平面,
又平面,
所以平面平面
．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）如图,四棱锥P-A BCD中,底面ABCD为菱形,BD⊥面PAC,A C=10,PA=6,cos∠PCA=,M是PC的中点.
(Ⅰ)证明PC⊥平面BMD;
(Ⅱ)若三棱锥M-BCD的体积为14,求菱形ABCD的边长.
【答案】
[来源:Zxxk.Com]
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）必做题, 本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如图,在三棱柱中,,,且.
(1)求棱与BC所成的角的大小;
(2)在棱上确定一点P,使二面角的平面角的余弦值为.
（第22题）
B
A
C
A1
B1
C1
【答案】【解】(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,
则 ,
,.
,
故与棱BC所成的角是
B
A
C
A1
B1
C1
z
x
y
P
(2)P为棱中点,
设,则.
设平面的法向量为n1,,
则
故n1
而平面的法向量是n2=(1,0,0),则,
解得,即P为棱中点,其坐标为
．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD//BC,PB平面ABCD,CDBD,PB=AB=AD=1,点E在线段PA上,且满足PE=2EA.
(1)求三棱锥E-BAD的体积; (2)求证:PC//平面BDE.
【答案】
．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）在三棱锥S-ABC中,SA
平面ABC,SA=AB=AC=,点D是BC边的中点,点E是线段AD上一点,且AE=4DE,点M是线段SD上一点,
(1)求证:BCAM
(2)若AM平面SBC,求证:EM平面ABS
【答案】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,
(证到SA⊥平面SAD得5分)
(2)∵AM面SAB, AMSD,
EM∥面ABS
(证到SM=4MD得10分,得到ME‖SA得12分.)
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）如图,,均为圆的直径,圆所在的平面,.求证:
⑴平面平面;
⑵直线平面.
A
B
C
D
O
E
F
（第15题图）
【答案】⑴因为圆所在的平面,圆所在的平面,
所以,
因为为圆的直径,点在圆上,所以,
因为,平面,
所以平面,
因为平面,所以平面平面
⑵由⑴,又因为为圆的直径,
所以,
因为在同一平面内,所以,
因为平面,平面,所以平面
因为,同理可证平面,
因为,平面,
所以平面平面,
因为平面,所以平面
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）如图,在四棱锥中,平面平面,BC//平面PAD,,
.求证:
(1)平面; (2)平面平面.
A
B
C
P
（第16题）
D
[来源:学&科&网]
【答案】【证】(1)因为BC//平面PAD,
而BC平面ABCD,平面ABCD平面PAD = AD,
所以BC//AD
因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以平面
A
B
C
P
D
H
(2)自P作PHAB于H,因为平面平面,且平面平面=AB,
所以平面
因为BC平面ABCD,所以BCPH.
因为,所以BCPB,
而,于是点H与B不重合,即PBPH = H.
因为PB,PH平面PAB,所以BC平面PAB
因为BC平面PBC,故平面PBC平面AB
．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如图,在正三棱柱中,已知,,分别是棱,上的点,且,.
⑴求异面直线与所成角的余弦值;
⑵求二面角的正弦值.
（第22题图）
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
【答案】⑴以的中点为原点,分别以所在直线为轴,建立空间直角坐标系(如图). 则
（第25题图）
A
B
C
A1
B1
C1
M
N
x
y
z
O
,,,,
,,,.
所以,.
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为
⑵平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,因为,,
由得令,则.
所以,
所以二面角的正弦值为
．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB,CD∥AB, ,,直线PA与底面ABCD所成角为60°,点M、N分别是PA,PB的中点.
(1)求证:MN∥平面PCD;
(2)求证:四边形MNCD是直角梯形;
(3)求证:平面PCB .
【答案】证明:
(1)因为点M,N分别是PA,PB的中点,所以MN∥AB
因为CD∥AB,所以MN∥CD.
又CD 平面PCD, MN 平面PCD,所以MN∥平面PCD
(2)因为AD⊥AB,CD∥AB,所以CD⊥AD,
又因为PD⊥底面ABCD,平面ABCD,
所以CD⊥PD,又,所以CD⊥平面PAD
因为平面PAD,所以CD⊥MD,
所以四边形MNCD是直角梯形
(3)因为PD⊥底面ABCD,所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角,从而∠PAD=
在△中,,,,.
在直角梯形MNCD中,,,,,
从而,所以DN⊥CN
在△中,PD= DB=, N是PB的中点,则DN⊥PB
又因为,所以平面PCB
．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A=AC,D,E,F分别为线段AC,A1A,C1B的中点.
(1)证明:EF∥平面ABC;(2)证明:C1E⊥平面BDE.
A
B
C
D
E
C1
A1
B1
F
（第16题）
【答案】证明(1)如图,取BC的中点G,连结AG,FG.
（第16题）
A
B
C
D
E
C1
A1
B1
F
G
因为F为C1B的中点,所以FGC1C.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1AC1C,且E为A1A的中点,
所以FGEA.
所以四边形AEFG是平行四边形.
所以EF∥AG
因为EFË平面ABC,AGÌ平面ABC,
所以EF∥平面ABC
(2)因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC,BDÌ平面ABC,
所以A1A⊥BD.
因为D为AC的中点,BA=BC,所以BD⊥AC.
因为A1A∩AC=A,A1AÌ平面A1ACC1,ACÌ平面A1ACC1,所以BD⊥平面A1ACC1.
因为C1EÌ平面A1ACC1,所以BD⊥C1E
根据题意,可得EB=C1E=AB,C1B=AB,
所以EB+C1E=C1B2.从而∠C1EB=90°,即C1E⊥EB
因为BD∩EB=B,BD Ì平面BDE, EBÌ平面BDE,
所以C1E⊥平面BDE
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是侧面AA1B1B对角线的交点,F是侧面AA1C1C对角线的交点,D是棱BC的中点.求证:
(1)平面ABC;(2)平面AEF⊥平面A1AD.
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
【答案】解:(1)连结.
A
B
C
D
E
F
A1
B1
C1
(第15题)
因为分别是侧面和侧面的对角线的交点,
所以分别是的中点.
所以
又平面中,平面中,
故平面
(2)因为三棱柱为正三棱柱,
所以平面,所以.
故由,得
又因为是棱的中点,且为正三角形,所以.
故由,得 [来源:Zxxk.Com]
而,平面,所以平面
又平面,故平面平面
本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲评时应注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等.
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）
如图,在三棱锥中,平面.已知,点,分别为,的中点.
(1)求证:平面;
(2)若在线段上,满足平面,求的值.
【答案】
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）在直三棱柱中, , 为棱上任一点.
(1)求证:直线∥平面;
(2)求证:平面⊥平面.
【答案】(1)证明:由直三棱柱,得
而,所以直线∥平面
(2)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,
而,,且,所以
又,所以平面⊥平面
．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）正三棱柱的所有棱长都为4,D为的中点.
(1)求证:⊥平面;(2)求二面角的余弦值.
【答案】解:取BC中点O,连AO,∵为正三角形,
∴,
∵在正三棱柱中,平面ABC平面,∴平面,
取中点为,以O为原点,,,的方向为,轴的正方向,建立空间直角坐标系,则.∴,
∵,.
∴,,∴面
(2)设平面的法向量为,.
,∴,∴,,令,得为平面的一个法向量,由(1)知面,
∴为平面的法向量,,
∴二面角的余弦值为
．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）如图,在三棱柱中,已知,,分别为棱,,的中点,,平面,,为垂足.求证:
(1)平面; (2)平面.
【答案】
．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）在四棱锥中,侧面底面,,底面是直角梯形, ,,,.设为侧棱上一点,,试确定的值,使得二面角为45°.
【答案】解:因为侧面底面,平面平面,,
所以平面,所以,即三直线两两互相垂直. [来源:学_科_网]
如图,以为坐标原点,分别为轴建立直角坐标系,
则平面的一个法向量为,
,所以
,设平面的一个法向量为,由,,
得,
所以
所以,即
注意到,解得
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,在四棱柱中,已知平面平面且,
.
(1) 求证:
(2) 若为棱的中点,求证:平面.
第16题图
【答案】⑴在四边形中,因为,,所以,
又平面平面,且平面平面,
平面,所以平面,
又因为平面,所以
⑵在三角形中,因为,且为中点,所以,
又因为在四边形中,,,
所以,,所以,所以,
因为平面,平面,所以平面
．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2,E为的PC中点.
⑴求证:PA∥平面BDE; ⑵求证:平面PBC⊥平面PDC.
【答案】证明(1)连接交于,连接
∵四边形是菱形, ∴是中点,
又为中点.∴∥
又,∴∥平面
(2)在△中,易得∴,∴
∴在△中可求得,同理在△中可求得
∴在△中可得,即⊥
又,为中点, ∴⊥
⊥面,又面∴平面平面
