黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

哈师大附中2018级高二学年上学期期中考试数学试卷 一、选择题（共12个小题，每题5分，共60分）‎ ‎1.顶点在原点，焦点是的抛物线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且3，解可得p的值，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是（0，3），‎ 则抛物线开口向上且3，解可得p＝6，‎ 则要求抛物线的方程为x2＝12y；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及标准方程，属于基础题．‎ ‎2.下列叙述不正确的是（　　　　）‎ A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B. 直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°‎ C. 若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率的定义知当直线与轴垂直时，斜率不存在，得到答案.‎ ‎【详解】根据斜率的定义知：当直线与轴垂直时，斜率不存在，故错误，其他选项正确.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义，属于简单题.‎ ‎3.已知命题p：“m＝﹣2”，命题q：“直线4x﹣y＝0与直线x+m2y＝0互相垂直”．则命题p 是命题q的（　　　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直计算得到，根据范围的大小关系得到答案.‎ ‎【详解】直线4x﹣y＝0与直线x+m2y＝0互相垂直，即；‎ 故命题p是命题q的充分不必要条件 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了充分不必要条件，根据垂直得到是解题的关键.‎ ‎4.若曲线C：x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　　　）‎ A. （﹣1，0） B. （﹣∞，﹣1） C. （1，+∞） D. （0，1）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，根据所有的点均在第二象限内得到，计算得到答案.‎ 详解】曲线C：x2+y2﹣2ax+6ay+10a2﹣1＝0即 ‎ 所有的点均在第二象限内，即解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.‎ ‎5.已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆C上不存在点P使，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到恒成立，得到计算得到答案.‎ ‎【详解】椭圆C上不存在点P使，即恒成立 当在短轴顶点时最大，即，即 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键.‎ ‎6.“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以“”的否定是“”，故选D.‎ 考点：命题的否定．‎ ‎7.已知双曲线的一条渐近线方程为，且它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则双曲线的方程为（　　　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据渐近线得到，再计算抛物线的准线为得到，解得答案.‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线方程为 抛物线的准线为，故双曲线的一个焦点为 ‎ 故 双曲线方程为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线方程，抛物线的准线，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.半径为1的圆C的圆心在第四象限，且与直线y=0和均相切，则该圆的标准方程为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意设出圆心（a，﹣1），再由点到直线的距离公式求出，结合圆的标准方程以及选项即可得出答案.‎ ‎【详解】如图，‎ 由题意可设圆心坐标为（a，﹣1），r=1．‎ 则，即，‎ 解得a或．‎ 结合选项可得，所求圆的方程为．‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线与圆的位置关系，需熟记点到直线的距离公式，圆的标准方程形式.属于基础题.‎ ‎9.设双曲线的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且，则双曲线离心率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，根据直角三角形的性质，可得，得到，即即，再根据离心率的定义，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，不妨设点在双曲线的右支上，则，‎ 因为，所以， ‎ 因为点到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半可知，‎ 根据直角三角形的性质，可得，所以，‎ 即，得．所以双曲线离心率，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．‎ ‎10.已知（﹣2，1）是直线l被椭圆所截得线段的中点，则直线l的方程是（　　　　）‎ A. x﹣2y＝0 B. x﹣2y+4＝0 C. 2x+y+3＝0 D. 2x﹣3y﹣1＝0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线l与椭圆相交于，设 ，代入作差得到 解得直线方程.‎ ‎【详解】设直线l与椭圆相交于，设 ‎ 则，两式相减得到 即，故直线方程 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了利用点差法求直线方程，意在考查学生对于点差法的掌握情况和计算能力.‎ ‎11.已知点P（x，y）是直线上一动点，直线PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y＝0的两条切线，A，B为切点，C为圆心，则四边形PACB面积的最小值是（　　　　）‎ A. B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到得到半径和圆心，计算，计算最小值代入得到答案.‎ ‎【详解】 ，圆心，半径 ‎ ‎ 即当最小时面积最小 最小值为圆心到直线的距离：故 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了与圆相关的面积的最小值问题，计算得到是解题的关键.‎ ‎12.已知P为椭圆上的点，点M为圆上的动点，点N为圆上的动点，则|PM|+|PN|的最大值为（　　　　）‎ A. 28 B. 30 C. 32 D. 36‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算，计算得到答案.‎ ‎【详解】椭圆焦点坐标为， ‎ ‎，当共线和共线时等号成立 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆距离的最值问题，将距离转化为到圆心的距离是解题的关键.‎ 二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）‎ ‎13.设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是线段PF1的中点，|OM|＝2（O为坐标原点），则|PF1|＝_____．‎ ‎【答案】6．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义得到，根据中位线得到得到答案.‎ ‎【详解】椭圆，则， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了焦点三角形的长度问题，利用中位线得到是解题的关键.‎ ‎14.已知变量满足约束条件 ，则的取值范围是______________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，易知两点是最优解，当过时，为最大值，当过时，为最小值，因此的范围是．‎ ‎15.已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的倍，点在线段上，则的周长为________.‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意因为PQ过双曲线的右焦点(5，0)，‎ 所以P，Q都在双曲线的右支上，‎ 则有，‎ 两式相加，利用双曲线的定义得，‎ 所以△PQF的周长为=28＋16＝44.‎ 故答案为44.‎ ‎16.F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，P为曲线C1，C2的一个公共点，若，且，则e1∈_____．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos．4c2＝a2+3a12得到，根据范围得到答案.‎ ‎【详解】如图所示，设双曲线C2的标准方程为：1（a1，b1＞0），半焦距为c．‎ 椭圆C1：（a＞b＞0），半焦距为c．‎ 不妨设点P在第一象限，设|PF1|＝m，|PF2|＝n．‎ ‎∴m+n＝2a，m﹣n＝2a1．⇒m＝a+a1．n＝a﹣a1．‎ 在△PF1F2中，由余弦定理可得：4c2＝m2+n2﹣2mncos．4c2＝a2+3a12．‎ 两边同除以c2，得，∵，∴‎ ‎∴．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，计算得到是解题的关键，意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题（共7小题，第17题10分，其余每题12分，共70分）‎ ‎17.已知点A（a，3），圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4．‎ ‎（1）设a＝4，求过点A且与圆C相切的直线方程；‎ ‎（2）设a＝3，直线l过点A且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1) y（x﹣4）+3；(2) y＝x﹣6或yx+2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设过A的直线为y＝k（x﹣4）+3，利用d2计算得到答案.‎ ‎（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣3）+3，利用圆心到l的距离d解得答案.‎ ‎【详解】（1）a＝4时，设过A的直线为y＝k（x﹣4）+3，则圆C的圆心（1，2）到直线的距离d2，解得k，‎ 所以过点A且与圆相切的直线方程为：y（x﹣4）+3；‎ ‎（2）a＝3时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3）+3，则圆心到l的距离d，解得k＝1或，‎ 所以直线l的方程为y＝x﹣6，或yx+2．‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎ ‎18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB+sinC）（b﹣c）＝（sinA+sinC）a．‎ ‎（1）求B；‎ ‎（2）已知b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】(1) B．(2) 24．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理得到a2+c2﹣b2＝﹣ac，再利用余弦定理得到，解得答案.‎ ‎（2）根据面积公式计算得到ac＝4，再利用余弦定理得到a+c＝2，得到周长.‎ ‎【详解】（1）∵（sinB+sinC）（b﹣c）＝（sinA+sinC）a，‎ ‎∴由正弦定理可得：（b+c）（b﹣c）＝（a+c）a，∴a2+c2﹣b2＝﹣ac，‎ ‎∴cosB，∵B∈（0，π），∴B．‎ ‎（2）∵b＝4，B，△ABC的面积为acsinBac，∴解得ac＝4，‎ 由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得16＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝（a+c）2﹣4‎ 解得a+c＝2， ∴△ABC的周长a+c+b＝24．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生对于三角公式的灵活运用.‎ ‎19.设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：对任意的n∈N*，都有an+1+Sn+1‎ ‎＝1，又a1．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）令bn＝log2an，求（n∈N*）‎ ‎【答案】(1) an；(2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式化简得到，计算，得到答案.‎ ‎（2）计算得到，，利用裂项求和计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据题意，由an+1+Sn+1＝1，①，则有an+Sn＝1，②，（n≥2）‎ ‎①﹣②得：2an+1＝an，即an+1an，又由a1，‎ 当n＝1时，有a2+S2＝1，即a2+（a1+a2）＝1，解可得a2，‎ 则所以数列{an}是首项和公比都为的等比数列，故an；‎ ‎（2）由（1）的结论，an，则bn＝log2an＝﹣n，则＝（1）+（）+……+（）＝1．‎ ‎【点睛】本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）斜率为1的直线l与椭圆相交于B，D两点，若以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．‎ ‎【答案】(1)．(2) y＝x或y＝x．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率得到a2＝2 c2，根据得到，计算得到答案.‎ ‎（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，利用韦达定理得到x1+x2，x1 x2，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）∵椭圆的离心率为，∴e，即a2＝2c2①，‎ ‎∵过右焦点F与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点M，．‎ ‎∴M（c，）再代入椭圆方程得，②，又a2＝b2+c2③，‎ 联立①②③得，b2＝c2＝1，a2＝2，∴椭圆方程：．‎ ‎（2）设 l 的方程为：y＝x+m，B（x1，y1），D（x2，y2），‎ 联立，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，‎ x1+x2，x1 x2，y1+y2，y1 y2，‎ ‎∵以线段BD为直径的圆恰好过坐标原点，‎ ‎∴0，‎ ‎∴m．‎ ‎∴直线l方程为 y＝x或y＝x．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，直线方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．‎ ‎（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当点为线段的中点时，平面，利用线面平行的判定定理证明；（2）利用空间向量法求线面角．‎ 试题解析：‎ ‎（1）当点为线段的中点时，平面；‎ 取的中点，连接；‎ 因为，，‎ ‎，所以，又四边形是正方形，所以，，‎ 故四边形为平行四边形，故，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为四边形是正方形，二面角大小为，‎ 所以平面，‎ 在中，由余弦定理得，所以．‎ 如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，由 所以取，则，，得，‎ 故所求正弦值为．‎ 点睛：立体几何求线面角、二面角可以借助空间坐标系求解．首先正确建立空间坐标系，求解点坐标，然后求出对应的面的法向量、目标线向量，利用求角公式，求得线面角、二面角即可．‎ ‎22.在如图所示五面体ABCDEF中，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠ADC＝∠BCD＝120°，四边形EDCF是正方形，二面角E﹣DC﹣A的大小为90°．‎ ‎（1）求证：直线AD⊥平面BDE ‎（2）求点D到平面ABE的距离．‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2)．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明ED⊥AD，再由余弦定理得BD，根据勾股定理证明AD⊥BD得到证明.‎ ‎（2）利用等体积法VE﹣ABD＝VD﹣ABE，得到计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）证明：因为四边形EDCF为正方形，所以ED⊥CD 因为二面角E﹣DC﹣A的大小为90°，所以平面EDCF⊥平面ABCD，‎ 由面面垂直的性质定理得ED⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，‎ 所以ED⊥AD，又因为∠ADC＝120°，AB∥CD，‎ 所以∠DAB＝60°，又AB＝2AD＝2，‎ 所以由余弦定理得BD，所以AD2+BD2＝AB2，即AD⊥BD，‎ 又DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE，所以AD⊥平面BDE；‎ ‎（2）设点D到平面ABE的距离为h，则VE﹣ABD＝VD﹣ABE，‎ 所以所以h，‎ 所以点D到平面ABE的距离为．‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直，点到平面的距离，利用等体积法可以简化运算，是解题的关键.‎ ‎23.已知动点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．‎ ‎（1）求动点M的轨迹方程；‎ ‎（2）令（1）中方程表示曲线C，点S（2，0），过点B（1，0）的直线l与曲线C相交于P，Q两点，求△PQS的面积的取值范围．‎ ‎【答案】(1)，(2) 0＜S．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设M（x，y），直接根据距离比计算得到答案.‎ ‎（2）设直线l：x＝ky+1，联立方程，利用韦达定理得到y1+y2，y1y2，令t，则|AB|＝4，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）设M（x，y），由题意得，得，‎ ‎（2）设直线l：x＝ky+1，由，消去x得（4+k2）y2+2ky﹣3＝0，‎ y1+y2，y1y2，‎ ‎|PQ ||y1﹣y2|4，‎ 令t∈（0，]，‎ 上式化简为：|PQ |＝4|＝4，‎ 函数在定义域内单调递减，故当t，有最大值，‎ 所以0＜S．‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，面积的取值范围，意在考查学生的计算能力.‎ ‎ ‎