江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷 一、单选题 ‎1.已知集合 ， ，若 ，则实数 的值为（     ） ‎ A. 2                                          B. 0                                          C. 0或2                                          D. 1‎ ‎2.函数 的定义域为（    ） ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎3.已知 满足 ，则 （   ） ‎ A.                                           B.                                           C.                                           D. ‎ ‎4.设 ， ， ，则 的大小关系是（    ） ‎ A.                            B.                            C.                            D. ‎ ‎5.函数 的零点所在区间是    ‎ A.                                   B.                                   C.                                   D. ‎ ‎6.已知函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ，则 （   ） ‎ A.                                            B.                                            C.                                            D. ‎ ‎7.已知关于 的方程 的两个实根为 满足 则实数 的取值范围为（    ） ‎ A.                        B.                        C.                        D. ‎ ‎8.已知函数 ，则 （   ） ‎ A.                                          B.                                          C.                                          D. 5‎ ‎9.已知函数 ，关于 的性质，有以下四个推断： ‎ ‎① 的定义域是 ；   ② 与 的值域相同；‎ ‎③ 是奇函数；              ④ 是区间 上的增函数.‎ 其中推断正确的个数是（    ）‎ A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4‎ ‎10.性质① ；②在 对任意 ，都有 .下列函数中，性质①②均满足的是（    ） ‎ A.         B.         C.         D. ‎ 二、填空题 ‎11.函数 的单调递增区间是（   ） ‎ A.                            B.                            C.                            D. ‎ ‎12.已知一次函数 满足条件 ，则函数 的解析式为 ________. ‎ ‎13.函数 的图象恒过定点 ， 在幂函数 的图象上，则 ________. ‎ ‎14.已知函数 在 上单调递増，则 的取值范围是________. ‎ ‎15.若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的图象上的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数 ，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数 的取值范围是________. ‎ 三、解答题 ‎16.计算下列各式的值： ‎ ‎（1） ； ‎ ‎（2） . ‎ ‎17.已知集合 ， . ‎ ‎（1）求 ； ‎ ‎（2）若 ， ，求实数 的取值范围. ‎ ‎18.某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金 元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用 表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所以自行车的总收入减去管理费用后的所得）. ‎ ‎（1）求函数 的解析式及定义域； ‎ ‎（2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ ‎ ‎19.已知函数 ， ， . ‎ ‎（1）当 时，求使 的函数值为0的自变量的值； ‎ ‎（2）若 时，求 的最小值. ‎ ‎20.已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有 . ‎ ‎（1）求实数 的值； ‎ ‎（2）求函数 在区间 上的解析式，并利用定义证明证明其在该区间上的单调性； ‎ ‎（3）解关于 的不等式 . ‎ ‎21.设函数 . ‎ ‎（1）当 时，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围； ‎ ‎（2）若 为常数，且函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围. ‎ 答案解析部分 一、单选题 ‎ ‎1.【答案】 B ‎ ‎【考点】集合关系中的参数取值问题 ‎ ‎【解析】【解答】因为 ， ， ， ‎ 所以 .‎ 故答案为：B ‎【分析】根据集合的包含关系得到实数m的值.‎ ‎2.【答案】 D ‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法 ‎ ‎【解析】【解答】要使原函数有意义，则 ，解得 ， ‎ ‎ 原函数的定义域为 ， ．‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】可看出，要使得原函数有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．‎ ‎3.【答案】 A ‎ ‎【考点】函数的值 ‎ ‎【解析】【解答】 满足 ， ‎ ‎∵f（1） ．‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】由 满足 ，利用 （1） ，能求出结果 ‎4.【答案】 A ‎ ‎【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点 ‎ ‎【解析】【解答】因为 ， ， ， ‎ 所以 ．‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得 ， ， 的大小关系．‎ ‎5.【答案】 C ‎ ‎【考点】函数零点的判定定理 ‎ ‎【解析】【解答】 在 上为增函数， ‎ 且 ， ， ，‎ ‎ ，‎ ‎ 的零点所在区间为 ．‎ 故答案为：C．‎ ‎【分析】计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．‎ ‎6.【答案】 B ‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质 ‎ ‎【解析】【解答】根据题意， ，则 ， ‎ 又由函数 与函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数，‎ 则 ，‎ 故 （1） （1） ；‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】根据题意，由函数的解析式可得 ，结合函数的奇偶性可得 （1） ‎ ‎ （1），即可得答案．‎ ‎7.【答案】 D ‎ ‎【考点】二次函数的性质 ‎ ‎【解析】【解答】设 , ‎ 根据二次方程实根分布可列式: ,即 ,‎ 即 ,解得: .‎ 故答案为：D.‎ ‎【分析】利用二次方程实根分布列式可解得.‎ ‎8.【答案】 A ‎ ‎【考点】函数的值 ‎ ‎【解析】【解答】 ， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 故答案为：A.‎ ‎【分析】先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值 ‎9.【答案】 C ‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法，函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断 ‎ ‎【解析】【解答】根据题意，依次分析4个推断， ‎ 对于①，函数 ，定义域是 ，所以①正确；‎ 对于②， 的图象向右平移一个单位得到 的图象，两者的值域相同，所以②正确；‎ 对于③， ， ，则 为奇函数，所以③正确；‎ 对于④， ，则 （1） ， ，有 （1） ，故 在区间 上不是增函数，‎ 则4个推断中有3个是正确的；‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】对于①，求函数的定义域再判断；对于②，利用图象变换分析判断得解；对于③，利用函数的奇偶性判断；对于④，举出反例即可判断得解 ‎10.【答案】 D ‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断 ‎ ‎【解析】【解答】根据①知 在 上为偶函数，根据②知 在 上为减函数， ‎ 选项 的函数为非奇非偶函数， 错误；‎ 选项 的函数为奇函数， 错误；‎ 选项 的函数的定义域是 ，不是 ， 错误；‎ 排除选项 ， ， ， 正确．‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】根据①可知 在 上为偶函数，选项 不是偶函数，选项 不是偶函数，选项 的定义域不是 ，从而排除选项 ， ， ，从而只能选 ．‎ 二、填空题 ‎ ‎11.【答案】 A ‎ ‎【考点】复合函数的单调性，二次函数的性质 ‎ ‎【解析】【解答】由题可得x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2， 由二次函数的性质和复合函数的单调性可得 函数 的单调递增区间为：（-∞，1） ‎ 故答案为：A．‎ ‎【分析】由二次函数的性质和复合函数的单调性及函数的定义域可得结论．‎ ‎12.【答案】‎ ‎【考点】函数解析式的求解及常用方法 ‎ ‎【解析】【解答】设 ， ， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 即 ，‎ ‎ ，‎ 解可得， ， ，‎ 故答案为： ‎ ‎【分析】先设 ， ，然后根据 ，代入后根据对应系数相等可求 ， ，即可求解．‎ ‎13.【答案】‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点 ‎ ‎【解析】【解答】令 ， ‎ 所以 ，‎ 即 ；‎ 设 ，则 ， ；‎ 所以 ， ‎ 故答案为： ．‎ ‎【分析】先求出点P的坐标，再代入幂函数 的解析式求得 ，即可得 （9）．‎ ‎14.【答案】‎ ‎【考点】函数单调性的性质 ‎ ‎【解析】【解答】由已知得反比例函数 在 上单调递增，需 ， ‎ 二次函数 在 上单调递增，则需对称轴 ，所以 ，‎ 同时当 时， ，解得 ，‎ 所以 ，‎ 故填： 。‎ ‎【分析】先确定二次函数 在 上单调递增，需 和反比例函数在上 单调递增，需 ，与此同时还需满足当 时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出 的取值范围。‎ ‎15.【答案】‎ ‎【考点】函数的图象 ‎ ‎【解析】【解答】当 时，函数 关于原点对称的函数为 ，即 ， ， ‎ 若此函数的“友好点对”有且只有一对，‎ 则等价为函数 ， 与 ， ，只有一个交点，‎ 作出两个函数的图象如图：‎ 若 ，则 ， 与 ， ，只有一个交点，满足条件，‎ 当 时， ，‎ 若 ，要使两个函数只有一个交点，‎ 则满足 ，‎ 即 得 ，得 或 ，‎ ‎ ， ，‎ 综上 或 ，‎ 即实数 的取值范围是 ， ， ，‎ 故答案为： ， ， ，‎ ‎【分析】根据原点对称的性质，求出当 时函数关于原点对称的函数，条件转化函数 ， 与 ， ，只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．‎ 三、解答题 ‎ ‎16.【答案】 （1）解：原式 ‎ ‎ （2）解：原式 ‎ ‎ ．‎ ‎【考点】有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出．‎ ‎17.【答案】 （1）解： ， ， ‎ ‎ （2）解： ，且 ， ‎ ‎ 或 ，解得 ，‎ ‎ 实数 的取值范围为 ．‎ ‎【考点】集合关系中的参数取值问题，并集及其运算 ‎ ‎【解析】【分析】（1）可以求出集合 ， ，然后进行并集的运算即可；（2）根据 即可得出 或 ，从而解出 的范围即可．‎ ‎18.【答案】 （1）解：当 时， ，令 ，解得 ． ‎ ‎ ， ， ，且 ．‎ 当 时， ‎ 综上可知 ‎ ‎ （2）解：当 ，且 时， 是增函数， ‎ ‎ 当 时， 元．‎ 当 ， 时， ，‎ ‎ 当 时， 元．‎ 综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．‎ ‎【考点】分段函数的应用 ‎ ‎【解析】【分析】（1）函数 出租自行车的总收入 管理费；当 时，全部租出；当 时，每提高1元，租不出去的就增加3辆；所以要分段求出解析式；（2）由于函数解析式是分段函数，所以先在每一段内求出函数最大值，再比较得出函数的最大值．‎ ‎19.【答案】 （1）解： ， ‎ ‎ ， ， ‎ ‎ （2）解： ， ， ， ‎ 设 ， ，‎ 当 时， （2） ；‎ 当 时， ，‎ 当 时， ，‎ 综上： ．‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值 ‎ ‎【解析】【分析】（1）解方程 得解；（2）换元后，化为一元二次函数在闭区间上的最小值问题，按照对称轴位于区间的右侧、中间、左侧分三类讨论即可．‎ ‎20.【答案】 （1）解： 函数 是定义在 上的奇函数， ‎ ‎ ，即 ， ，‎ 又因为 （2） ，所以 （2） ，‎ 即 ，所以 ，‎ 综上可知 ， .经检验满足题意.‎ ‎ （2）解：由（1）可知当 时， ， ‎ 当 时， ，且函数 是奇函数，‎ ‎ ，‎ ‎ 当 时，函数 的解析式为 ，‎ 任取 ， ，且 ，则 ，‎ ‎ ， ，且 ，‎ ‎ ， ， ，‎ 于是 ，即 ，‎ 故 在区间 上是单调增函数 ‎ （3）解： 是定义在 上的奇函数，且 ， ‎ ‎ ，且 在 上是增函数，‎ ‎ ，解得 ，‎ ‎ 原不等式的解集为 ．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的性质 ‎ ‎【解析】【分析】（1）根据 是定义在 上的奇函数及 时的 解析式即可得出 ，并可求出 ，从而可得出 ，求出 ；（2）根据上面知， 时， ，从而可设 ，从而得出 ，从而得出 时， ，再根据函数单调性的定义即可判断 在 上的单调性.（3）不等式等价于 ，即 ，解不等式组即得解.‎ ‎21.【答案】 （1）解：当 时，若不等式 在 ， 上恒成立； ‎ 当 时，不等式恒成立，则 ；‎ 当 ，则 在 ， 上恒成立，‎ 即 在 ， 上恒成立，‎ 因为 在 ， 上单调增， ， ，‎ 则 ，解得， ；‎ 则实数 的取值范围为 ， ；‎ ‎ （2）解：函数 在 ， 上存在零点，即方程 在 ， 上有解； ‎ 设 ‎ 当 时，则 ， ， ，且 在 ， 上单调递增，‎ 所以 ， （2） ，‎ 则当 时，原方程有解，则 ；‎ 当 时， ，‎ 则 在 ， 上单调增，在 上单调减，在 ， 上单调增；‎ ‎①当 ，即 时， （2） ， ，‎ 则当 时，原方程有解，则 ；‎ ‎②当 ，即 时， ， ，‎ 则当 时，原方程有解，则 ；‎ ‎③当 时， ， ，‎ 当 ，即 时， ，‎ 则当 时，原方程有解，则 ；‎ 当 ，即 时， ，‎ 则当 时，原方程有解，则 ；‎ 综上，当 时，实数 的取值范围为 ， ；‎ 当 时，实数 的取值范围为 ；‎ 当 时，实数 的取值范围为 ， ．‎ ‎【考点】函数恒成立问题 ‎ ‎【解析】【分析】（1）当 时，不等式恒成立，当 ，由条件可得 在 ， 上恒成立，进一步得到 ，求出 的范围即可；（2）函数 在 ， 上存在零点，即方程 在 ， 上有解，设 ，然后分 和 两种情况求出 的范围．‎