重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学（文）试题

重庆市南开中学2020届高三上学期教学质量检测数学（文）试题

重庆南开中学2020级高三第二次教学质量检测考试数学（文科）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。‎ ‎1.若向量，，则与共线的向量是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求 ，根据共线向量的坐标表示求满足条件的向量.‎ ‎【详解】 ‎ 设与平行的向量是，‎ 则 ‎ 即，‎ 满足条件的只有.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，主要考查基本公式，属于基础题型.‎ ‎2.若定义形如“132”这样中间大于两边的数叫凸数，现从用2、3、7三个数组成没有重复数字的三位数中任取一个，则该数为凸数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求由2、3、7组成没有重复数字的三位数，和凸数的个数，然后求古典概型表示的概率.‎ ‎【详解】由2、3、7组成没有重复数字的三位数有种方法，‎ 其中凸数有种方法，‎ 则该数为凸数的概率为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查古典概型，属于简单题型.‎ ‎3.能使得复数位于第三象限的是（ ）‎ A. 为纯虚数 B. 模长为3‎ C. 与互为共轭复数 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析四个选项中的参数，判断是否能满足复数是第三象限的点.‎ ‎【详解】 ‎ 由题意可知，若复数在第三象限，‎ 需满足 ，解得：，‎ A.是纯虚数，则，满足条件；‎ B.，解得：，当不满足条件；‎ C. 与互为共轭复数,则，不满足条件；‎ D.不能满足复数在第三象限，不满足条件.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.‎ ‎4.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象，可知，可求的取值范围.‎ ‎【详解】若满足，‎ 则需满足 ，‎ 解得：.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查二次函数的图象和不等式的关系，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.‎ ‎5.已知向量，满足，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量数量积的公式求夹角.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算公式，主要考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎6.已知函数相邻两对称轴的距离为，则以下说法正确的是（ ）‎ A. B. 函数的一个周期是 C. 函数的一个零点为 D. 函数的图象关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，所以 ，，再判断函数性质，确定选项.‎ 详解】由题意可知，故B不正确；‎ ‎，‎ ‎，故A不正确；‎ ‎ ，‎ 当时， ，所以正确；‎ 当，解得： ，，‎ 可知函数的图象不关于对称，故D不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求法和函数性质，意在考查基础知识，属于基础题型.‎ ‎7.等比数列满足，且，，成等差数列，则该数列公比为（ ）‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式，先求，然后再列出，可求出.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎，，成等差数列，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质和基本量的计算，意在考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎8.已知点为所在平面内一点，满足，为中点，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由已知可知点是的重心，如图，根据向量的运算可知，则化简为 ，再根据和的范围得到的范围.‎ ‎【详解】如图：‎ ‎，‎ 点是的重心，点是的中点，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 当点在内（不含边界），‎ ‎ ， ‎ ‎， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算，重点考查转化与化归和化简能力，属于基础题型.‎ ‎9.若中，，，则最大值是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据向量数量积运算，将原式变形为，再根据 化简，变形为，再求函数的最值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 原式，‎ ‎，，‎ ‎ ,‎ 原式 ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎ , ‎ ‎，‎ 的最大值是2.‎ 故选：D ‎【点睛】本题向量数量积和三角函数恒等变形和性质，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型.‎ ‎10.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右支分别交于点，，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先设，根据双曲线的定义可知表示，，中，用余弦定理表示，再表示面积求比值.‎ ‎【详解】根据双曲线定义可知，‎ 设 ，则，‎ ‎ ， ，‎ 中，，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和余弦定理解三角形的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，本题的关键是设，两次用双曲线的定义表示和.‎ ‎11.已知为定义在上的奇函数，当时，，以下列命题：‎ ‎①当时， ②的解集为 ‎③函数共有2个零点 ④，都有 其中正确命题个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据奇函数，求时，函数的解析式，然后再判断②③④，再判断④时，‎ 转化为成立.‎ ‎【详解】①设， ‎ 是奇函数，‎ ‎，①不成立；‎ ‎②当时， ，解得：；‎ 当时， ，解得：，‎ 综上：不等式的解集是，故②正确；‎ ‎③由②可知有两个零点，分别是和，‎ 是上的奇函数， ，‎ 有3个零点，分别是.‎ 故③不正确；‎ ‎④当时，，‎ ‎，当时，，‎ 当时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，取得最大值，，‎ 是奇函数，的最小值是，‎ ‎ ，‎ ‎，都有，故④正确.‎ 故正确的有②④.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求函数的解析式，并判断分段函数的性质，本题的关键是①式的正确判断，根据函数的奇偶性求函数的解析式时，求的解析式，那就需设，再根据函数的奇偶性，求的解析式，本题的易错点是③，函数的零点个数，不要忘记.‎ ‎12.已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由意在可知，代入数量积的运算公式求，再根据正弦定理说明时，也取得最大值，最后求面积.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，，‎ ‎，且，‎ 当时，时，也取得最大值,‎ 此时， ，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查向量数量积和面积公式，意在考查转化与变形和分析问题，解决问题的能力，本题的关键是根据正弦定理，且，说明时，也取得最大值，后面的问题迎刃而解.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.幂函数在上为减函数，则实数的值为______.‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，，然后依次验证是否满足条件.‎ ‎【详解】由已知可知， ‎ 解得：或，‎ 当时，，在上是增函数，故不成立；‎ 当时，，在上为减函数，成立 故答案为：-3‎ ‎【点睛】本题考查根据幂函数的性质求参数，属于简单题型.‎ ‎14.已知等差数列满足，则值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列的性质可知求，再根据求值.‎ ‎【详解】由等差数列的性质可知 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质求值，意在考查转化与变形，属于基础题型.‎ ‎15.已知，且，，，则，，的大小关系是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次做出，，三个函数的图象，由图象可知，，的大小关系.‎ ‎【详解】 ，， ‎ 依次做出，，三个函数的图象，‎ 由图象可知，， ，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求函数零点并比较大小，主要考查了数形结合和转化与化归，本题的关键是首先将函数变形为，，然后再通过图象求零点大小.‎ ‎16.已知夹角为的向量，满足，，若，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据提示，可建立如图表示的坐标系，表示向量模的几何意义，再根据数形结合表示向量模的最小值.‎ ‎【详解】根据已知可建立如图坐标系，，，，，‎ 则，，，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ 点的轨迹是以为圆心，的圆，‎ ‎，‎ ‎ ， ，‎ 即点的轨迹方程是，‎ 表示两点间距离，如图，‎ 的最小值是圆心到直线的距离减半径，‎ 圆心到直线的距离是，‎ 的最小值是.‎ 故答案为： ‎ ‎【点睛】本题考查向量模最小值，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，本题的关键是将向量的模转化为直线与圆的位置关系.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）若，求的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，构造，两式相减得到，再通过构造得到，并且验证满足；‎ ‎（2）根据（1）可知，由数列形式可知用分组转化法求和.‎ ‎【详解】（1）由得：，两式相减得：‎ ‎，即，∴，‎ 由，令得，而，故，‎ 所以为首项是2，公比是2的等比数列，故，.‎ ‎（2），‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查已知数列的前项和，求，和数列求和，本题属于基础题型，但第一问需注意的取值范围，只能说明数列从第2项起是等比数列，还需验证首项满足，这点需注意.‎ ‎18.已知向量，，设函数.‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）设函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先化简函数，然后令，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）首先化简，然后求的范围，再求的值域.‎ ‎【详解】（1）由题，，∴，‎ ‎∴，‎ 令，∴，‎ 所以函数的单调增区间为，.‎ ‎（2）由题可得，‎ 故，‎ 因为，∴，∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化归和计算能力，本题的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形，所以需熟练掌握三角函数的变形公式.‎ ‎19.如图所示，正三棱柱中，，，分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求该三棱柱底面边长.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，分别取，中点，，连接，，，证明四边形是平行四边形，即可证明；‎ ‎（2）因为是的中点，所以，利用体积转化求底面边长.‎ ‎【详解】（1）法1：分别取，中点，，连接，，，‎ 则，，∴，且，‎ ‎∴为平行四边形，∴且平面，‎ 平面，所以平面；‎ 法2：取中点，连接，，则可得，，从而可证得：平面平面，且平面，‎ 所以平面；‎ ‎（2）设该三棱柱底面边长为，由正三棱柱可知，点到平面的距离为，‎ 而，，‎ ‎∴，所以三棱柱底面边长为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判断和根据体积求边长，证明线面平行的关键是线线平行，一般可根据条件构造平行四边形，或是中位线证明证明线线平行，第二问不管是求体积还是根据体积求参数，一般都需要体积转化.‎ ‎20.已知，为椭圆：的左、右焦点，离心率为，且椭圆的上顶点到左、右顶点的距离之和为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点的直线交椭圆于，两点，若以为直径的圆过，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）：.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可知和，再根据，求椭圆方程；‎ ‎（2）分斜率和两种情况讨论，当时，设直线：‎ ‎，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，，，若满足条件有，写成坐标表示的形式，求.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，椭圆的离心率为，所以，即，又，所以，由椭圆的上顶点到椭圆的左、右顶点的距离之和为，所以，即，解得，所以，故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1）知，.设，.‎ 若直线斜率为0时，弦为椭圆长轴，故以为直径的圆不可能过，所以不成立；‎ 若直线斜率不为0时，设直线：，代入椭圆方程得：‎ ‎，易知且，.‎ 故以为直径的圆过，则有，‎ ‎∴‎ ‎，∴.‎ 综上可知，：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程和直线与椭圆位置关系的综合问题，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可知，若满足条件，即有解，转化为有解，即，设，利用导数求函数的最大值；‎ ‎（2）由已知可知 ，整理为，再通过分析法将需要证明的式子转化为，若，可变形为，设，即证成立，‎ 若，即证.‎ ‎【详解】（1）由题函数存在增区间，即需有解，即有解，‎ 令，，且当时，，‎ 当时，，‎ 如图得到函数大致图象，故当，‎ ‎∴时，函数存在增区间；‎ ‎（2）法1：，为函数的两个不同极值点知，为的两根，‎ 即，，‎ ‎∴，①‎ ‎∴②，要证，即证，由①代入，‎ 即证：，，‎ 将②代入即证：③‎ 且由（1）知，‎ 若，则③等价于，令，，‎ 即证成立，‎ 而，‎ ‎∴在单调递增，∴当时，‎ ‎∴，所以得证；‎ 若，则③等价于，令，，‎ ‎，显然成立.‎ 法2：要证，又由（1）知，，‎ 当时，要证上式成立，即证，易知显然成立；‎ 当时，，故只需，即证，也即证，‎ 由于时单调递增，故即证，而，‎ 只需证，成立，令，‎ 只需证在时成立，‎ 而，故在单调递增，‎ 所以，故原不等式得证.‎ ‎【点睛】本题考查了导数研究函数性质，不等式的综合性问题，意在考查化归和转化和分类讨论的思想，属于难题，本题的难点是第二问极值点偏移问题，利用分析法将所需要证明的式子转化，再根据已知条件代入参数，转化为证明，再通过构造为的不等式恒成立的问题.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴建立直角坐标系.过点作倾斜角为的直线交曲线于，两点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程，并写出直线的参数方程；‎ ‎（2）过点的另一条直线与关于直线对称，且与曲线交于，两点，求证：.‎ ‎【答案】（1），（为参数）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据转化公式，直接转化，并且根据公式直接写成直线的参数方程；‎ ‎（2）直线的参数方程代入（1）的曲线方程；利用的几何意义表示 ‎ 再根据对称求的参数方程，同理可得，再证明结论.‎ ‎【详解】（1）由得，∴为曲线的直角坐标方程，‎ 由作倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得：‎ ‎，显然，设，两点对应的参数分别为，，‎ 则，∴，‎ 由于直线与关于对称，可设直线的参数方程为（为参数）与曲线的直角坐标方程联立同理可得：，‎ ‎∴，故得证.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化，以及用直线参数方程解决直线与圆锥曲线相交的线段长度问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若函数的最小值为，求实数的值；‎ ‎（2）当时，函数图象恒在函数图象的上方，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或者.（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），再根据最小值相等，求参数的值；（2）由题意可知不等式等价于，转化为或恒成立的问题，求参数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由（当且仅当介于-1与之间时取等号）‎ ‎∴，∴或者.‎ ‎（2）由题意，等价于，当时恒成立，即，‎ ‎，∴或，当时恒成立，‎ 由，∴，∴，‎ 由，∴，∴，‎ 综上，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】本题考查不等式含绝对值三角形不等式求最值，恒成立问题求参数范围，意在考查转化与变形，第二问的关键是分离出或恒成立，即转化为函数最值问题.‎ ‎ ‎