2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

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2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

‎2018-2019学年黑龙江省大庆铁人中学高二上学期第一次月考数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知椭圆的一个焦点为,离心率,则椭圆的标准方程为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的一个焦点为求得,根据离心率,可得的值,由可解得,从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆的标准方程为,‎ 椭圆的一个焦点为,离心率,‎ ‎,解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查待定系数求椭圆方程,属于简单题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程或 ;③找关系:根据已知条件,建立关于、、的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.‎ ‎2.已知双曲线的一条渐近线方程为,则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵双曲线的焦点在x轴上,‎ ‎∴渐近线方程为y=±,‎ 又∵渐近线方程为y= ,‎ ‎∴。‎ ‎∵b2=c2﹣a2, ‎ 故答案为:A。‎ ‎3.已知,,且与互相垂直,则的值为( ).‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意,易得k的坐标,结合向量垂直的性质,可得(k+1)+k+0=0,从而得k的值,即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,易得kk(1,1,0)(﹣1,0,2)=(k+1,k,-2),‎ ‎∵两向量垂直,∴‎ ‎∴1(k+1)+k+0=0.‎ ‎∴k,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量数量积的应用,向量垂直的坐标表示,属于基础题.‎ ‎4.如图,空间四边形的每条边和对角线长都等于1,点,,分别是,,‎ 的中点,则( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意将所求化为,判断相应向量的夹角,然后利用向量的数量积的定义即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得,,‎ 又120°‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正四面体的结构特征,两个向量的数量积的定义,体现了数形结合的数学思想,解题的关键是准确判断向量的夹角.‎ ‎5.曲线与曲线的( )‎ A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:,而曲线,是焦点在轴的椭圆,且,,可求,所以两曲线的焦距相等,故选.‎ ‎【考点】椭圆的几何性质 ‎【方法点睛】考察圆锥曲线的方程,属于基础题型,注意曲线中,所以曲线是椭圆,那么长轴和短轴长都随的变化而变化,根据,可知焦距不变,要解决这类问题,那我们就要对圆锥曲线的基本知识熟练掌握,比如方程的形式,方程与圆锥曲线的基本性质的联系,或是关于和抛物线中的的计算.‎ ‎6.过双曲线()的右焦点作圆的切线,交轴于点,切圆于点,若,则双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:如图,由(平行四边形法则)知,点M是的中点,因为点为切点,所以,则,所以,由得,,所以。故选D。‎ ‎【考点】双曲线的性质 点评:解决平面几何的题目,首先是画图。当题目出现曲线的方程时,假如不是标准形式,则需要将其变成标准形式。‎ ‎7.设F1,F2为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6,‎ 由中位线定理可得PF2⊥x轴,‎ 令x=2,可得y= ‎ 即有|PF2|=,|PF1|=,‎ 则 故选:C.‎ ‎8.已知空间三点,,,在直线上有一点满足,则点的坐标为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间向量的坐标表示与线性运算得到的坐标,利用垂直的向量满足数量积为0进行运算,求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由O(0,0,0),A(﹣1,1,0),B(0,1,1),‎ ‎∴(﹣1,1,0),‎ 且点H在直线OA上,可设H(﹣λ,λ,0),‎ 则(﹣λ,λ﹣1,﹣1),‎ 又BH⊥OA,‎ ‎∴•0,‎ 即(﹣λ,λ﹣1,﹣1)•(﹣1,1,0)=0,‎ 即λ+λ﹣1=0,‎ 解得λ,‎ ‎∴点H(,,0).‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标表示与运算问题,注意共线向量的坐标表示,是基础题.‎ ‎9.如图,在长方体中,,,点是棱的中点,则点到平面的距离为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先建立空间直角坐标系,再求出平面ACD1的法向量=(2,1,2),再求点E到平面ACD1的距离.‎ ‎【详解】‎ 如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0).‎ 从而=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1),‎ 设平面ACD1的法向量为n=(a,b,c),‎ 则即 得令a=2,则n=(2,1,2).‎ 所以点E到平面ACD1的距离为 h===.‎ 故答案为:C ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)点P到平面的距离公式为.‎ ‎10.已知、为等轴双曲线的左、右焦点,且焦距为,点是的右支上动点,过点向的一条渐近线作垂线,垂足为,则的最小值是( ).‎ A.6 B. C.12 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得a=b,又由双曲线定义将转化为|PF2|+4,只需P、H、共线时即可,此时|PF2|最小为=b=2,由此得结论.‎ ‎【详解】‎ 由双曲线的焦距为,‎ 即有2c=,可得c,‎ 由等轴双曲线可得a=b,又a2+b2=c2,∴a=b=2,‎ 又由双曲线定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a=4,‎ 则|PF2|+4,要使|PF2|最小,只需P、H、共线,‎ ‎∴过作渐近线的垂线交右支于P,此时|PF2|最小为=b=2,‎ ‎∴的最小值为6,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义的应用及性质,注意运用两点之间直线段最短的结论,考查分析问题的能力,属于基础题.‎ ‎11.如图,已知矩形与矩形全等,二面角为直二面角,为中点,与所成角为,且,则( ).‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】以A为原点,AF为x轴,AB为y轴,AD为z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2a,BC=2b,利用向量法能求出AB与BC的长度之比.‎ ‎【详解】‎ 以A为原点,AF为x轴,AB为y轴,AD为z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 设AB=2a,BC=2b,‎ 则F(2b,0,0),M(0,a,0),B(0,2a,0),‎ D(0,0,2b),‎ ‎(﹣2b,a,0),(0,﹣2a,2b),‎ ‎∵FM与BD所成角为θ,且cosθ,‎ ‎∴|cos,|,‎ 整理,得5a2b2+4b4﹣26a4=0,‎ ‎∴﹣26×()4+5×()2+4=0,‎ 解得()2,或 ()2 (舍),‎ ‎∴‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两线段长的比值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎12.已知是椭圆与双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为( )‎ A.6 B.3 C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过图象可知F1F2=F2P=2c,利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式,通过基本不等式即得结论.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知:F1F2=F2P=2c,‎ 又∵F1P+F2P=2a1,F1P﹣F2P=2a2,‎ ‎∴F1P+2c=2a1,F1P﹣2c=2a2,‎ 两式相减,可得:a1﹣a2=2c,‎ ‎∵==,‎ ‎∴===4+2+,‎ ‎∵2+≥2=2,当且仅当时等号成立,‎ ‎∴的最小值为6,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆与双曲线的定义及简单的几何性质,重要不等式,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.若、分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线与椭圆交于,两点,则的周长为______.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由椭圆的定义可得的周长为|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a,由此可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的定义可知|AF1|+|AF2|=2a=|BF1|+|BF2|‎ 又∵|AB|=|AF1|+|BF1|‎ ‎∴的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=4a,‎ 椭圆中,a=4,∴的周长为4a=16,‎ 故答案为16.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的定义及标准方程的应用,属于基础题.‎ ‎14.如图,正方体中,,点、分别是,的中点,则线段的长度为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知可得EF的长相当于一个长,宽,高分别为1,1,2的长方体的对角线,进而得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由正方体ABCD﹣A'B'C'D'中,AB=2,点E、F分别为A'D'、DC的中点,‎ 则EF的长相当于一个长,宽,高分别为1,1,2的长方体的对角线,‎ 故EF,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是棱柱的几何特征,从图中构建长方体是解题的关键,属于基础题.‎ ‎15.已知双曲线,则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出以A(2,3)为中点的弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),利用点差法可求得以A(2,3)为中点的弦所在直线的斜率,再由点斜式可求得直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设以A(2,3)为中点的弦两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),‎ 则x1+x2=4,y1+y2=6.‎ 又22,①‎ ‎22,②‎ ‎①﹣②得:2(x1+x2)(x1﹣x2)=(y1+y2)(y1﹣y2),‎ 又由对称性知x1≠x2,‎ ‎∴A(2,3)为中点的弦所在直线的斜率k,‎ 所以中点弦所在直线方程为y﹣3=(x﹣2),即.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系,求得直线P1P2的斜率是关键,考查点差法求斜率,考查分析与运算能力,属于中档题.‎ ‎16.,为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形的直角边所在直线与,都垂直,斜边以直线为旋转轴旋转,有下列结论:‎ ‎(1)当直线与成角时,与成角;‎ ‎(2)当直线与成角时,与成角;‎ ‎(3)直线与所成角的最小值为;‎ ‎(4)直线与所成角的最小值为;‎ 其中正确的是______(填写所有正确结论的编号).‎ ‎【答案】(1)(3)‎ ‎【解析】由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,构建如图所示的边长为1的正方体,|AC|=1,|AB|,斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,‎ 不妨设图中所示正方体边长为1,‎ 故|AC|=1,|AB|,‎ 斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,‎ B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,‎ 以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量(0,1,0),||=1,‎ 直线b的方向单位向量(1,0,0),||=1,‎ 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),‎ 其中θ为B′C与CD的夹角,θ∈[0,2π),‎ ‎∴AB′在运动过程中的向量为(cosθ,sinθ,﹣1),||,‎ 设与所成夹角为α∈[0,],‎ 则cosα|sinθ|∈[0,],‎ ‎∴α∈[,],∴(3)正确,(4)错误.‎ 设与所成夹角为β∈[0,],‎ cosβ|cosθ|,‎ 当与夹角为60°时,即α,‎ ‎|sinθ|,‎ ‎∵cos2θ+sin2θ=1,∴cosβ|cosθ|,‎ ‎∵β∈[0,],∴β,此时与的夹角为60°,‎ ‎∴(1)正确,(2)错误.‎ 故答案为:(1)(3).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.‎ 三、解答题 ‎17.(1)已知,,求,,;‎ ‎(2)已知空间内三点,,.求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积.‎ ‎【答案】(1),,(2)‎ ‎【解析】(1)根据空间向量的坐标表示与线性运算和数量积运算,求解即可.‎ ‎(2)由已知求出向量,的坐标,结合夹角,利用三角形面积公式,得到平行四边形的面积S;‎ ‎【详解】‎ ‎(1),‎ ‎,‎ 又 ‎∴.‎ ‎(2)∵,,∴,‎ 又∵,∴,∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是空间向量的坐标表示与线性运算,考查了利用坐标求向量的模及夹角的问题,属于基础题.‎ ‎18.如图,已知平面,为矩形,,,分别为,的中点,求证:‎ ‎(1)平面;‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】(1)利用三角形的中位线定理得,结合平行四边形的判定和性质得到,再用线面平行的判定定理即可得出结论;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,求出平面PMC的法向量,进而利用向量的夹角公式可求直线PD与平面PMC成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)取中点,连接,,则,,又因为,,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系如图,因为,所以,,,,,,.设平面法向量为,则,,解得,,令,则.设与平面所成角为,则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定定理,考查了利用空间向量法解决立体几何问题,考查了线面角,建立坐标系,用坐标表示点与法向量是关键.‎ ‎19.如图,点,的坐标分别为,,直线,相交于点,且直线,的斜率之积是,‎ ‎(1)求点的轨迹的方程;‎ ‎(2)若经过点且斜率为1的直线与曲线交于,两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)设(x,y),将kAMkBM用坐标表示,化简可得点的轨迹方程;‎ ‎(2)求出直线的方程,联立直线与曲线,通过韦达定理以及弦长公式即可求解的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设点的坐标为,‎ ‎∴直线的斜率为,直线的斜率为.‎ 由已知有.‎ 化简得点的轨迹方程为.‎ ‎(2)由已知得直线的方程为,即.‎ 消得到,∴‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹方程的求法,注意直线的斜率公式的合理运用,考查了直线与椭圆的关系,弦长公式的应用,考查分析问题解决问题的能力,是中档题.‎ ‎20.如图,三棱柱中,,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若平面平面,,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2)‎ ‎【解析】(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B,由已知可证OA1⊥AB,AB⊥平面OA1C,进而可得AB⊥A1C;‎ ‎(2)易证OA,OA1,OC两两垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正向,||为单位长,建立坐标系,求出平面平面BB1C1C的法向量,代入向量夹角公式,可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)取中点,连接,,因为,所以;‎ 因为,,故为等边三角形,所以;‎ 因为,所以平面;所以.‎ ‎(2)由(1)可知,,,又因为平面平面,交线为,所以平面,故,,两两垂直.以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图,‎ 因为,所以,所以,,,.‎ 设是平面的法向量,则,,解得,同理可得,平面的法向量,‎ ‎,,‎ 所以二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用向量求二面角的方法,涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,属于中档题.‎ ‎21.已知动圆与圆内切,与圆外切,记圆心的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程.‎ ‎(2)直线与曲线交于点,,点为线段的中点,若,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】(1)推导出|PE|+|PF|=4>|EF|=2,从而圆心P的轨迹C为以E与F为焦点的椭圆,由此能求出曲线C的方程.‎ ‎(2)设直线l:x=my+n,由方程组,得(4+m2)y2+2mny+n2﹣4=0,由此利用韦达定理、弦长公式,结合已知条件能求出直线l的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设动圆的半径为,由已知得,,则有,‎ ‎∴的轨迹是以,为焦点的椭圆,设曲线的方程为,易知,,则,‎ ‎∴曲线的方程为.‎ ‎(2)设直线,,,‎ 由得①‎ ‎,,,‎ 由中点坐标公式可知.‎ ‎,‎ ‎②,‎ 设直线与轴的交点为,则点的坐标为,‎ 则面积的平方,‎ 设,‎ 则,当,即时,的面积取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了点的轨迹方程的求法,考查满足条件的直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、根的判别式、点到直线的距离公式、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.‎
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