广东省东莞市(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

广东省东莞市(六校联考)2021届新高考模拟化学试题含解析

广东省东莞市 (六校联考） 2021 届新高考模拟化学试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知棱锥的三视图如图所示， 其中俯视图是等腰直角三角形， 则该三棱锥的四个面中， 最大面积为 （ ） A． 2 2 B． 2 3 C． 4 D． 2 6 【答案】 B 【解析】 【分析】 由三视图可知， 该三棱锥如图 , 其中底面 ABC 是等腰直角三角形， PC 平面 ABC ,结合三视图求出每个 面的面积即可 . 【详解】 由三视图可知，该三棱锥如图所示： 其中底面 ABC是等腰直角三角形， PC 平面 ABC , 由三视图知， 2, 2 2,PC AB 因为 ,PC BC PC AC , ,AC BC AC CB , 所以 2, 2 2AC BC PA PB AB , 所以 1 2 2 2 2PAC PCB ACBS S S , 因为 PAB 为等边三角形， 所以 223 3 2 2 2 3 4 4PABS AB , 所以该三棱锥的四个面中，最大面积为 2 3 . 故选： B 【点睛】 本题考查三视图还原几何体并求其面积 ; 考查空间想象能力和运算求解能力 ;三视图正确还原几何体是求 解本题的关键 ;属于中档题、常考题型 . 2．为实现国民经济新 “三步走 ”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在 2015 年以前的 年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为 70%．2015 年开始，全面实施 “精准扶贫 ”政策 后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加用户比 40% 40% 10% 10% 脱贫率 95% 95% 90% 90% 那么 2019年的年脱贫率是实施 “精准扶贫 ”政策前的年均脱贫率的（ ） A． 27 28 倍 B． 47 35 倍 C． 48 35 倍 D． 7 5 倍 【答案】 B 【解析】 【分析】 设贫困户总数为 a ，利用表中数据可得脱贫率 0 0 0 0 0 0 0 02 40 95 2 10 90P ，进而可求解 . 【详解】 设贫困户总数为 a ，脱贫率 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 40 95 2 10 90 94a aP a ， 所以 00 0 0 94 47 70 35 . 故 2019年的年脱贫率是实施 “精准扶贫 ”政策前的年均脱贫率的 47 35 倍 . 故选： B 【点睛】 本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题 . 3．已知变量 x ， y 满足不等式组 2 1 0 x y x y x ，则 2x y 的最小值为（ ） A． 4 B． 2 C． 0 D． 4 【答案】 B 【解析】 【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值 . 【详解】 解：由变量 x ， y 满足不等式组 2 1 0 x y x y x ，画出相应图形如下： 可知点 1,1A , 0,2B ， 2x y 在 B 处有最小值，最小值为 2 . 故选： B. 【点睛】 本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题 . 4．已知随机变量 X 服从正态分布 4,9N ，且 2P X P X a ，则 a （ ） A． 3 B． 5 C． 6 D． 7 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据在关于 4X 对称的区间上概率相等的性质求解． 【详解】 4Q ， 3， ( 2) ( 4 2) ( 4 2) ( 6) ( )P X P X P X P X P X a ， 6a ． 故选： C． 【点睛】 本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量 X 服从正态分布 2,N ，则 P X m P X m ． 5．如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最 大面的面积为（ ） A． 5 2 B． 2 3 C． 8 D． 8 3 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据三视图可以得到原几何体为三棱锥， 且是有三条棱互相垂直的三棱锥， 根据几何体的各面面积可得最 大面的面积． 【详解】 解：分析题意可知，如下图所示， 该几何体为一个正方体中的三棱锥 A BCD ， 最大面的表面边长为 2 2 的等边三角形 ABC ， 故其面积为 23 (2 2) 2 3 4 ， 故选 B． 【点睛】 本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题． 6．已知双曲线 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a b a b 的一条渐近线经过圆 2 2: 2 4 0E x y x y 的圆心，则双 曲线 C 的离心率为（ ） A． 5 2 B． 5 C． 2 D． 2 【答案】 B 【解析】 【分析】 求出圆心，代入渐近线方程，找到 a b、 的关系，即可求解 . 【详解】 解： 1,2E ， 2 2 2 2: 1 0, 0x yC a b a b 一条渐近线 by x a 2 1b a ， 2a b 22 2 2 2 2+b , 2 , 5c a c a a e 故选： B 【点睛】 利用 a b、 的关系求双曲线的离心率，是基础题 . 7．已知直线 2 2mx ny 0, 0m n 过圆 2 2 1 2 5x y 的圆心， 则 1 1 m n 的最小值为 （ ） A． 1 B．2 C．3 D． 4 【答案】 D 【解析】 【分析】 圆心坐标为 (1,2) ，代入直线方程，再由乘 1 法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值． 【详解】 圆 2 2( 1) ( 2) 5x y 的圆心为 (1,2) ， 由题意可得 2 2 2m n ，即 1m n ， m ， 0n ， 则 1 1 1 1( )( ) 2 4n mm n m n m n m n ⋯ ，当且仅当 n m m n 且 1m n 即 1 2 m n 时取等号， 故选： D ． 【点睛】 本题考查最值的求法，注意运用乘 1 法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与 圆的关系，考查运算能力，属于基础题． 8．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． 1 2 B． 1 3 C． 2 3 D． 5 6 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积 . 【详解】 根据三视图还原几何体的直观图如下图所示： 由图可知， 该几何体是在棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中截去四棱锥 1B ABCD 所形成的几何体， 该几何体的体积为 3 21 21 1 1 3 3 V . 故选： C. 【点睛】 本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题 . 9． 2 52 ( 2)x x 的展开式中含 4x 的项的系数为（ ） A． 20 B．60 C．70 D． 80 【答案】 B 【解析】 【分析】 展开式中含 4x 的项是由 5( 2)x 的展开式中含 4x 和 2x 的项分别与前面的常数项 2 和 2x 项相乘得到，由 二项式的通项，可得解 【详解】 由题意，展开式中含 4x 的项是由 5( 2)x 的展开式中含 4x 和 2x 的项分别与前面的常数项 2 和 2x 项相乘 得到， 所以 2 52 ( 2)x x 的展开式中含 4x 的项的系数为 1 3 3 5 52 2 2 60C C ． 故选： B 【点睛】 本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题 . 10．等腰直角三角形 ABE 的斜边 AB 为正四面体 ABCD 侧棱，直角边 AE 绕斜边 AB 旋转，则在旋转的 过程中，有下列说法： （ 1）四面体 E BCD 的体积有最大值和最小值； （ 2）存在某个位置，使得 AE BD ； （ 3）设二面角 D AB E 的平面角为 ，则 DAE ； （ 4） AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P，则点 P 的轨迹为椭圆 . 其中，正确说法的个数是（ ） A． 1 B．2 C．3 D． 4 【答案】 C 【解析】 【分析】 【详解】 解：对于（ 1），当 CD ⊥平面 ABE ，且 E 在 AB 的右上方时， E 到平面 BCD 的距离最大，当 CD ⊥平面 ABE ，且 E 在 AB 的左下方时， E 到平面 BCD 的距离最小， ∴四面体 E﹣BCD 的体积有最大值和最小值，故（ 1）正确； 对于（ 2），连接 DE，若存在某个位置，使得 AE ⊥BD ，又 AE ⊥BE，则 AE ⊥平面 BDE ，可得 AE ⊥DE ， 进一步可得 AE＝DE ，此时 E﹣ABD 为正三棱锥，故（ 2）正确； 对于（ 3），取 AB 中点 O，连接 DO ，EO ，则∠ DOE 为二面角 D﹣AB ﹣E 的平面角，为 θ， 直角边 AE 绕斜边 AB 旋转，则在旋转的过程中， θ∈[0， π）， ∠DAE ∈[ ， π），所以 θ≥∠DAE 不成立．（3）不正确； 对于（ 4）AE 的中点 M 与 AB 的中点 N 连线交平面 BCD 于点 P，P 到 BC 的距离为： dP﹣BC， 因为 ＜1，所以点 P 的轨迹为椭圆． （4）正确． 故选： C． 点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的 过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用 . 11．抛物线 2: 2 ( 0)C y px p 的焦点为 F ，点 06,A y 是 C 上一点， | | 2AF p ，则 p （ ） A． 8 B． 4 C． 2 D． 1 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据抛物线定义得 6 2 pAF ，即可解得结果 . 【详解】 因为 2 6 2 pAF p ，所以 4p . 故选 B 【点睛】 本题考查抛物线定义，考查基本分析求解能力，属基础题 . 12．已知 满足 1sin 3 ，则 cos cos 4 4 （ ） A． 7 18 B． 7 9 C． 7 18 D． 7 9 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果 . 【详解】 1sin 3 Q ， cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin 4 4 4 4 4 4 2 2 22 2 2 2 1 1cos sin cos sin cos sin 1 2sin 2 2 2 2 2 2 2 1 1 71 2 2 3 18 . 故选： A. 【点睛】 本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知实数 1, 2 a b ，且 2 2 ,a a b b 由 2 2b aM a b 的最大值是 _________ 【答案】 3 2 1 2 【解析】 【分析】 将其转化为几何意义，然后根据最值的条件求出最大值 【详解】 由 2 2a a b b 化简得 2 2 1 1 1 2 2 2 a b ，又实数 1, 2 a b ，图形为 1 4 圆，如 图 : 2 2a a b b ，可得 2 2a a b b ， 2 2b a b a 则 2 2 2 2 1 1 2b a a b a a b b b a b aM a b a b a b a b a b a b 由几何意义得 2 11 2b a ， ，则 2 11 2a b ， ，为求最大值则当过点 A 或点 B 时 a b 取最 小值，可得 1 1 2 3 22 1 1 2 2 1 2 2 2 2 M 所以 2 2b aM a b 的最大值是 3 2 1 2 【点睛】 本题考查了二元最值问题，将其转化为几何意义，得到圆的方程及斜率问题，对要求的二元二次表达式进 行化简，然后求出最值问题，本题有一定难度。 14．如果函数 22 2 8 1f x m x n x （ m , n R 且 2m , 0n ）在区间 1 , 2 2 上单调递减 , 那么 mn 的最大值为 __________． 【答案】 18 【解析】 【分析】 根据函数单调性的性质 ,分一次函数和一元二次函数的对称性和单调区间的关系建立不等式 ,利用基本不等 式求解即可 . 【详解】 解 :①当 2m 时 , 2 8 1f x n x , f x 在区间 1 , 2 2 上单调递减 , 则 8 0n ,即 0 8n , 则 0 16mn . ②当 2m 时 , 22 2 8 1f x m x n x , 函数开口向上 ,对称轴为 2 8 8 2 2 2 n nx m m , 因为 f x 在区间 1, 2 2 上单调递减 , 则 8 2 2 n m , 因为 2m ,则 8 2 2n m , 整理得 2 12m n , 又因为 2m , 0n 则 2 2 2m n mn.所以 2 2 2 m n mn 即 2 2 2 12 2 2 18 2 2 m n mn , 所以 18mn 当且仅当 3, 6m n 时等号成立 . 综上所述 , mn 的最大值为 18. 故答案为 :18 【点睛】 本题主要考查一次函数与二次函数的单调性和均值不等式 .利用均值不等式求解要注意 ”一定 ,二正 ,三相 等 ”. 15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 2 ，乙获胜的概率是 1 3 ，则乙不输的概率是 _____． 【答案】 5 6 【解析】 乙不输的概率为 1 1 5 2 3 6 ，填 5 6 . 16．函数 4 1f x x x x 的值域为 _____. 【答案】 3, 【解析】 【分析】 利用配方法化简式子，可得 2 2 1 3f x x ，然后根据观察法，可得结果 . 【详解】 函数的定义域为 0, 4 1 2 4 1f x x x x x x 2 2 1 3 3f x x 所以函数的值域为 3, 故答案为： 3, 【点睛】 本题考查的是用配方法求函数的值域问题，属基础题。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知 a ， b ， c 为正数，且 1abc ，证明： （ 1） 2 1 2 1 2 1 27a b c ； （ 2） 2 2 2 1 1 1 3 4a b c b a c c a b . 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）利用均值不等式 33a b c abc 即可求证； （ 2）利用 2 1 4 ab a b ，结合 1abc ，即可证明 . 【详解】 （ 1）∵ 3 22 1 1 3a a a a ，同理有 3 22 1 3b b ， 3 22 1 3c c ， ∴ 3 2 2 22 1 2 1 2 1 27 27a b c a b c . （ 2）∵ 2 2 22 4a b a ab b ab ，∴ 2 1 4 ab a b . 同理有 2 1 4 ac a c ， 2 1 4 bc b c . ∴ 2 2 2 1 1 1 a b c b a c c a b 2 2 2 abc abc abc a b c b a c c a b 2 2 2 bc ac ab b c a c a b 1 1 1 3 4 4 4 4 . 【点睛】 本题考查利用均值不等式证明不等式，涉及 1的妙用，属综合性中档题 . 18．在极坐标系 Ox 中，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 sin 2 sin ，直线 l 的极坐标方程为 cos sin 1，设 l 与 C 交于 A 、 B 两点， AB 中点为 M ， AB 的垂直平分线交 C 于 E 、 F .以 O 为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系 xOy . （ 1）求 C 的直角坐标方程与点 M 的直角坐标； （ 2）求证： MA MB ME MF . 【答案】 （1） 2 2 : 1 2 xC y ， 2 1, 3 3 M ；（ 2）见解析 . 【解析】 【分析】 （ 1）将曲线 C 的极坐标方程变形为 22 sin 2，再由 2 2 2 sin x y y 可将曲线 C 的极坐标方程化 为直角坐标方程，将直线 l 的方程与曲线 C 的方程联立，求出点 A、 B 的坐标，即可得出线段 AB 的中点 M 的坐标； （ 2）求得 2 2 3 MA MB ，写出直线 EF 的参数方程， 将直线 EF 的参数方程与曲线 C 的普通方程联 立，利用韦达定理求得 ME MF 的值，进而可得出结论 . 【详解】 （ 1）曲线 C 的极坐标方程可化为 22 2 sin ，即 22 sin 2 ， 将 2 2 2 sin x y y 代入曲线 C 的方程得 2 22 2x y ， 所以，曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 : 1 2 xC y . 将直线 l 的极坐标方程化为普通方程得 1x y ， 联立 2 2 1 1 2 x y x y ，得 0 1 x y 或 4 3 1 3 x y ，则点 0, 1A 、 4 1, 3 3 B ， 因此，线段 AB 的中点为 2 1, 3 3 M ； （ 2）由（ 1）得 2 2 3 MA MB ， 8 9 MA MB ， 易知 AB 的垂直平分线 EF 的参数方程为 2 2 3 2 1 2 3 2 x t y t （ t 为参数）， 代入 C 的普通方程得 23 4 2 4 0 2 3 3 t t ， 4 83 3 9 2 ME MF ， 因此， MA MB ME MF . 【点睛】 本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化， 同时也考查了直线参数几何意义的应用， 涉及韦达定 理的应用，考查计算能力，属于中等题 . 19．已知函数 ( ) 1x xf x e . （ 1）求函数 ( )f x 的单调区间； （ 2）若 0x ，证明 ln( 1) ( )x f x x . 【答案】 （1）单调递减区间为 ( ,0) ， (0, ) ，无单调递增区间（ 2）证明见解析 【解析】 【分析】 （ 1）求导，根据导数的正负判断单调性， （ 2）整理 ln( 1) ( )x f x x ，化简为 ln 1 1ln( 1) 1 x x ex x e ，令 ln( 1)( ) xh x x ，求 ( )h x 的单调性， 以及 1xx e ，即证 . 【详解】 解：（ 1）函数 ( ) 1x xf x e 定义域为 ( ,0) (0, )U ， 则 2 (1 ) 1( ) 1 x x e xf x e ，令 ( ) (1 ) 1xg x e x ， ( 0)x ，则 ( ) xg x xe ， 当 0x ， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递减；当 0x ， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递增； 故 ( ) (0) 0g x g ， 0x ， ( ) 0f x ， 0x ， 故函数 ( )f x 的单调递减区间为 ( ,0) ， (0, ) ，无单调递增区间 . （ 2）证明 ln( 1) ( )x f x x ，即为 ln( 1) 1x x x x e ， 因为 1 1 11 1 1 1 xx x x x n ex ne e e e ， 即证 ln 1 1ln( 1) 1 x x ex x e ， 令 ln( 1)( ) xh x x ，则 2 1 ( 1) 1( ) x n x xh x x ， 令 ( ) ln( 1) 1 xg x x x ，则 2 2 1 1( ) ( 1) 1 ( 1) xg x x x x ， 当 0x 时， ( ) 0g x ，所以 ( )g x 在 (0, ) 上单调递减， 则 ( ) (0) 0g x g ， 0x ， 则 ( ) 0h x 在 (0, ) 上恒成立， 所以 ( )h x 在 (0, ) 上单调递减， 所以要证原不等式成立，只需证当 0x 时， 1xx e ， 令 ( ) 1xm x e x ， 0x ， ( ) 1xm x e ，可知 ( ) 0m x 对于 0x 恒成立， 即 ( ) (0) 0m x m ，即 1xx e ， 故 ( ) 1xh x h e ，即证 ln 1 1ln( 1) 1 x x ex x e ， 故原不等式得证 . 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题． 20．△ABC 的内角 、 、A B C 的对边分别为 a b c、 、 ,已知 △ABC 的面积为 2 3sin a A (1)求 sin sinB C ; (2)若 6cos cos 1, 3,B C a 求 △ ABC 的周长 . 【答案】 (1) 2sin sin 3 B C (2) 3 33 . 【解析】 试题分析： （1）由三角形面积公式建立等式 21 sin 2 3sin aac B A ，再利用正弦定理将边化成角，从而得出 sin sinB C 的值；（ 2）由 1cos cos 6 B C 和 2sin sin 3 B C 计算出 1cos( ) 2 B C ，从而求出角 A ，根 据题设和余弦定理可以求出 bc 和 b c 的值，从而求出 ABC△ 的周长为 3 33 . 试题解析： （1）由题设得 21 sin 2 3sin aac B A ，即 1 sin 2 3sin ac B A . 由正弦定理得 1 sinsin sin 2 3sin AC B A . 故 2sin sin 3 B C . （ 2）由题设及（ 1）得 1cos cos sin sin , 2 B C B C ，即 1cos 2 B C . 所以 2 3 B C ，故 3 A . 由题设得 21 sin 2 3sin abc A A ，即 8bc . 由余弦定理得 2 2 9b c bc ，即 2 3 9b c bc ，得 33b c . 故 ABCV 的周长为 3 33 . 点睛 :在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用 面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三 角形问题常见的一种考题是 “已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围 ”或者 “已知 一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值 ”，这类问题的通法思路是：全 部转化为角的关系，建立函数关系式，如 sin( )y A x b ，从而求出范围，或利用余弦定理以 及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可 . 21．已知数列 na 和 nb 满足， 1 2a ， 1 1b ， * 1 2n na a n N ， * 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 n nb b b b b n N n L . （Ⅰ）求 na 与 nb ； （Ⅱ）记数列 nc 的前 n 项和为 nT ，且 2 1 , , 1 , , n n n n n b b c n a 为奇数 为偶数 ，若对 *n N ， 2 2n kT T 恒成立，求正 整数 k 的值 . 【答案】 （Ⅰ） 2 n na , nb n ；（Ⅱ） 1 【解析】 【分析】 （Ⅰ）易得 na 为等比数列 ,再利用前 n 项和与通项的关系求解 nb 的通项公式即可 . （Ⅱ）由题可知要求 2 nT 的最小值 ,再分析 2 2 2n nT T 的正负即可得 2nT 随 n 的增大而增大再判定可知 1k 即可 . 【详解】 （Ⅰ）因为 * 1 2n na a n N ,故 na 是以 1 2a 为首项 ,2 为公比的等比数列 ,故 2 n na . 又当 1n 时 , 1 2 1b b ,解得 2 2b . 当 2n 时 , 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 n nb b b b b n L ⋯① 1 2 3 1 1 1 1 1 2 3 1 n nb b b b b n L ⋯② ① -②有 1 1 n n nb b b n ,即 1 , 1 2n nb b n n n .当 1n 时 1 1 1 b 也满足 .故 nb n 为常数列 , 所以 1 1 1 nb b n .即 nb n . 故 2 n na , nb n （Ⅱ）因为对 *n N , 2 2n kT T 恒成立 .故只需求 2 nT 的最小值即可 . 设 0 0T ,则 2 2 2 2 1 2 ,n n n nT T c c n N , 又 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 4 1 4n n n n n n nb b a n n c n c , 又当 1n 时 2 1 1 1 1 0 4 1 4 3 4nn , 2n 时 2 1 1 1 1 0 4 1 4 15 16nn . 当 3n 时 ,因为 0 1 24 ... 2n n n n n n nC C C C 0 1 2 3 2 212 8 1 4 4 8 4 1 2n n n n nC C C n n n n . 故 2 1 1 0 4 1 4nn . 综上可知 2 1 2 0n nc c .故 2nT 随着 n 的增大而增大 ,故 2 2nT T ,故 1k 【点睛】 本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法 ,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问 题 ,需要根据题意求解 2nT 的通项 ,并根据二项式定理分析其正负 ,从而得到最小项 .属于难题 . 22．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西 部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小 区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登 记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有 50 家企事业单位， 150 家个体 经营户，普查情况如下表所示： 普查对象类别 顺利 不顺利 合计 企事业单位 40 10 50 个体经营户 100 50 150 合计 140 60 200 （ 1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法； （ 2）根据列联表判断是否有 90% 的把握认为 “此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关 ”； （ 3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择 3 家作为普查对象， 入户登记顺利的对象数记为 X ，写出 X 的分布列，并求 X 的期望值． 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d 2 0P K k 0.10 0.010 0.001 0k 2.706 6.635 10.828 【答案】 （1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） （2）有 （3）分布列见解析， ( ) 2E X 【解析】 【分析】 （ 1）根据题意可以选用分层抽样法，或者简单随机抽样法 . （ 2）由已知条件代入公式计算出结果，进而可以得到结果 . （ 3）由已知条件计算出 X 的分布列，进而求出 X 的数学期望 . 【详解】 （ 1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦可） ． （ 2）将列联表中的数据代入公式计算得 2 2 2 ( ) 200(40 50 100 10) 3.175 2.706 ( )( )( )( ) 140 60 50 150 n ad bck a b c d a c b d 所以有 90%的把握认为 “此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关 ”． （ 3）以频率作为概率，随机选择 1 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 2 3 ． X 可取 0， 1，2，3，计算可得 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 2( ) 3 2 3 E X 【点睛】 本题考查了运用数学模型解答实际生活问题，运用合理的抽样方法，计算 2k 以及数据的分布列和数学期 望，需要正确运用公式进行求解，本题属于常考题型，需要掌握解题方法 . 23．已知 na 是递增的等差数列， 2a ， 4a 是方程 的根 . （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求数列 2 n n a 的前 n 项和 . 【答案】 （1） 1 1 2na n ;（2） 1 42 2n n nS . 【解析】 【分析】 （ 1）方程 的两根为 2,3 ，由题意得 2 33, 2a a ，在利用等差数列的通项公式即可得出； （ 2）利用 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式即可求出． 【详解】 方程 x2－5x＋6＝0 的两根为 2，3. 由题意得 a2＝2，a4＝3. 设数列 {a n}的公差为 d，则 a4－a2＝2d，故 d＝ 1 2 ，从而得 a1＝ 3 2 . 所以 {a n}的通项公式为 an＝ 1 2 n＋1. （ 2）设 2 n n a 的前 n 项和为 Sn， 由（ 1）知 2 n n a ＝ 1 2 2 n n ， 则 Sn＝ 2 3 2 ＋ 3 4 2 ＋⋯＋ 1 2 n n ＋ 1 2 2 n n ， 1 2 Sn＝ 3 3 2 ＋ 4 4 2 ＋⋯＋ 1 1 2n n ＋ 2 2 2n n ， 两式相减得 1 2 Sn＝ 3 4 ＋ 3 1 1 1 2 2n － 2 2 2n n ＝ 3 4 ＋ 1 1 11 4 2 n － 2 2 2n n ， 所以 Sn＝2－ 1 4 2n n . 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】 本题主要考查了等差数列的通项公式、 “错位相减法 ”、等比数列的前 n 项和公式、一元二次方程的解法等 知识点的综合应用，解答中方程 的两根为 2,3 ，由题意得 2 33, 2a a ，即可求解数列的 通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试 题．