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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版5-2平面向量基本定理及坐标表示学案
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示 最新考纲 考情考向分析 1.了解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性.一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题. 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=. 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a,b共线⇔x1y2-x2y1=0. 概念方法微思考 1.若两个向量存在夹角,则向量的夹角与直线的夹角一样吗?为什么? 提示 不一样.因为向量有方向,而直线不考虑方向.当向量的夹角为直角或锐角时,与直线的 夹角相同.当向量的夹角为钝角或平角时,与直线的夹角不一样. 2.平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗? 提示 不一定.当两个向量共线时,这两个向量就不能表示,即两向量只有不共线时,才能作为一组基底表示平面内的任一向量. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.( × ) (2)若a,b不共线,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.( √ ) (3)在等边三角形ABC中,向量与的夹角为60°.( × ) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可表示成=.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( √ ) 题组二 教材改编 2.已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________. 答案 (1,5) 解析 设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y), 即解得 3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=________. 答案 - 解析 由向量a=(2,3),b=(-1,2), 得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1). 由ma+nb与a-2b共线, 得=,所以=-. 题组三 易错自纠 4.设e1,e2是平面内一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则λ1+λ2=________. 答案 0 5.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=________. 答案 (-7,-4) 解析 根据题意得=(3,1), ∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 6.已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=________. 答案 -6 解析 因为a∥b, 所以(-2)×m-4×3=0,解得m=-6. 题型一 平面向量基本定理的应用 例1 如图,已知△OCB中,A是CB的中点,D是将分成2∶1的一个内分点,DC和OA交于点E,设=a,=b. (1)用a和b表示向量,; (2)若=λ,求实数λ的值. 解 (1)由题意知,A是BC的中点, 且=,由平行四边形法则, 得+=2, 所以=2-=2a-b, =-=(2a-b)-b=2a-b. (2)由题意知,∥,故设=x. 因为=-=(2a-b)-λa =(2-λ)a-b,=2a-b. 所以(2-λ)a-b=x. 因为a与b不共线,由平面向量基本定理, 得解得 故λ=. 思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来. (2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. (3)强化平行向量基本定理的应用. 跟踪训练1 在△ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为________. 答案 解析 ∵=+, ∴3=2+, 即2-2=-, ∴2=, 即P为AB的一个三等分点,如图所示. ∵A,M,Q三点共线, ∴=x+(1-x) =+(x-1), 而=-,∴=+. 又=-=-+, 由已知=t,可得 +=t, 又,不共线, ∴解得t=. 题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) 答案 A 解析 设N(x,y),则(x-5,y+6)=(-3,6), ∴x=2,y=0. (2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,a=mb+nc(m,n∈R),则m+n=________. 答案 -2 解析 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). ∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴解得 ∴m+n=-2. 思维升华 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用“向量相等,则坐标相同”这一结论,由此可列方程(组)进行求解. 跟踪训练2 线段AB的端点为A(x,5),B(-2,y),直线AB上的点C(1,1),使||=2||,则x+y=________. 答案 -2或6 解析 由已知得=(1-x,-4),2=2(3,1-y). 由||=2||,可得=±2, 则当=2时,有 解得此时x+y=-2; 当=-2时,有 解得此时x+y=6. 综上可知,x+y=-2或6. 题型三 向量共线的坐标表示 命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________. 答案 (3,3) 解析 方法一 由O,P,B三点共线, 可设=λ=(4λ,4λ), 则=-=(4λ-4,4λ). 又=-=(-2,6), 由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0, 解得λ=,所以==(3,3), 所以点P的坐标为(3,3). 方法二 设点P(x,y),则=(x,y), 因为=(4,4),且与共线,所以=, 即x=y. 又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线, 所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3, 所以点P的坐标为(3,3). 命题点2 利用向量共线求参数 例4 (2018·乌海模拟)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)∥c,则实数k的值为( ) A.- B. C.2 D. 答案 B 解析 因为a=(2,-1),b=(1,1), 所以a+kb=(2+k,-1+k), 又c=(-5,1), 由(a+kb)∥c 得(2+k)×1=-5×(k-1),解得k=,故选B. 思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”. (2)在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R). 跟踪训练3 (1)已知a=(2,m),b=(1,-2),若a∥(a+2b),则m的值是( ) A.-4 B.1 C.0 D.-2 答案 A 解析 a+2b=(4,m-4), 由a∥(a+2b), 得2(m-4)=4m,m=-4,故选A. (2)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是________. 答案 - 解析 =-=(4-k,-7), =-=(-2k,-2). ∵A,B,C三点共线, ∴,共线, ∴-2×(4-k)=-7×(-2k), 解得k=-. 1.已知M(3,-2),N(-5,-1),且=,则P点的坐标为( ) A.(-8,1) B. C. D.(8,-1) 答案 B 解析 设P(x,y),则=(x-3,y+2). 而=(-8,1)=, ∴解得 ∴P.故选B. 2.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于( ) A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3) 答案 B 解析 =+=(3,1), 又=-=(-1,1), 则=+=(1,1), 所以+=(4,2).故选B. 3.(2018·赤峰质检)已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则|a+b|等于( ) A. B. C. D.5 答案 B 解析 根据题意可得1×t=2×(-2),可得t=-4, 所以a+b=(-1,-2), 从而可求得|a+b|==,故选B. 4.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 答案 D 解析 由题意知向量a,b不共线, 故2m≠3m-2,即m≠2. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第一象限内一点,∠AOC=,且|OC|=2,若=λ+μ,则λ+μ等于( ) A.2 B. C.2 D.4 答案 A 解析 因为|OC|=2,∠AOC=, 所以C(,), 又=λ+μ, 所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ), 所以λ=μ=,λ+μ=2. 6.(2019·呼伦贝尔期中)已知向量m=与向量n=(3,sin A+cos A)共线,其中A是△ABC的内角,则角A的大小为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵m∥n, ∴sin A(sin A+cos A)-=0, ∴2sin2A+2sin Acos A=3, ∴1-cos 2A+sin 2A=3, ∴sin=1, ∵A∈(0,π), ∴2A-∈. 因此2A-=,解得A=,故选C. 7.若三点A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共线,则实数a的值为________. 答案 - 解析 =(a-1,3),=(-3,4), 根据题意知∥, ∴4(a-1)=3×(-3), 即4a=-5,∴a=-. 8.设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为________. 答案 (-4,-2) 解析 ∵b=(2,1),且a与b的方向相反, ∴设a=(2λ,λ)(λ<0). ∵|a|=2, ∴4λ2+λ2=20,λ2=4,λ=-2. ∴a=(-4,-2). 9.(2018·全国Ⅲ)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=________. 答案 解析 由题意得2a+b=(4,2), 因为c∥(2a+b), 所以4λ=2,得λ=. 10.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是________. 答案 k≠1 解析 若点A,B,C能构成三角形, 则向量,不共线. ∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1×(k+1)-2k≠0,解得k≠1. 11.已知a=(1,0),b=(2,1), (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线; (2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值. 解 (1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ∵ka-b与a+2b共线, ∴2(k-2)-(-1)×5=0, 即2k-4+5=0,得k=-. (2)方法一 =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m), ∵A,B,C三点共线, ∴∥, ∴8m-3(2m+1)=0, 即2m-3=0, ∴m=. 方法二 ∵A,B,C三点共线, ∴=λ, 即2a+3b=λ(a+mb), ∴解得m=. 12.如图,已知平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=||=1,||=2.若=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值. 解 方法一 以O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(1,0),B, C(3,). 由=λ+μ, 得解得 所以λ+μ=6. 方法二 如图,作平行四边形OB1CA1, 则=+, 因为与的夹角为120°,与的夹角为30°, 所以∠B1OC=90°. 在Rt△OB1C中,∠OCB1=30°,||=2, 所以||=2,||=4, 所以||=||=4, 所以=4+2, 所以λ=4,μ=2,所以λ+μ=6. 13.如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的中点,且=λ+μ,则λ+μ等于( ) A.3 B. C.2 D.1 答案 B 解析 由题意,设正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图, 则B(1,0),E(-1,1), ∴=(1,0), =(-1,1), ∵=λ+μ=(λ-μ,μ), 又∵P为CD的中点, ∴=,∴ ∴λ=,μ=1, ∴λ+μ=. 14.(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( ) A.3 B.2 C. D.2 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系, 则C点坐标为(2,1). 设BD与圆C切于点E,连接CE,则CE⊥BD. ∵CD=1,BC=2, ∴BD==, EC===, 即圆C的半径为, ∴P点的轨迹方程为(x-2)2+(y-1)2=. 设P(x0,y0),则(θ为参数), 而=(x0,y0),=(0,1),=(2,0). ∵=λ+μ=λ(0,1)+μ(2,0)=(2μ,λ), ∴μ=x0=1+cos θ,λ=y0=1+sin θ. 两式相加,得 λ+μ=1+sin θ+1+cos θ =2+sin(θ+φ)≤3, 当且仅当θ=+2kπ-φ,k∈Z时,λ+μ取得最大值3. 故选A. 15.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E,F分别为AB,BC的中点,点P在以A为圆心,AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-μ的取值范围是( ) A.[-,1] B.[-,] C. D. 答案 C 解析 建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),E(2,0), D(0,2),F(3,1), P(cos α,sin α), 即=(cos α,sin α),=(-2,2),=(3,1). ∵=λ+μ, ∴(cos α,sin α)=λ(-2,2)+μ(3,1), ∴cos α=-2λ+3μ,sin α=2λ+μ, ∴λ=(3sin α-cos α),μ=(cos α+sin α), ∴2λ-μ=sin α-cos α=sin. ∵-≤α≤, ∴-≤α-≤. ∴-≤sin≤. 16.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量=m+n(m,n为实数),求m+n的最大值. 解 如图所示, ①设点O为正六边形的中心,则=+. 当动圆Q的圆心经过点C时,与边BC交于点P,点P为边BC的中点.连接OP, 则=+, ∵与共线, ∴存在实数t,使得=t, ∴此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值. ②当动圆Q的圆心经过点D时, 取AD的延长线与圆Q的交点P时, ===+, 此时m+n=5取得最大值.查看更多