广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一下学期第二次统考数学试卷

广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一下学期第二次统考数学试卷

三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考 数学科试题 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人： 审题人： ‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，1~10题只有一项是符合题意的；11~12题有多项是符合题意的，请把你认为正确的答案填写在答题框内。）‎ ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A．B． C． D．‎ ‎2．已知数列‎2‎‎、‎6‎、‎10‎、‎14‎、3‎‎2‎……那么‎7‎‎2‎是这个数列的第（ ）项 A．23 B．24 C．19 D．25‎ ‎3．满足的的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．在某学校组织的校园十佳歌手评选活动中，八位评委为某学生的演出打出的分数的茎叶统计图如图所示.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ）‎ A．85， B．86， C．85，3 D．86，3‎ ‎5．设为等差数列的前n项和，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在中，内角的对边是，若，，则等于（ ） A． B． C． D．‎ ‎7．设中，三个角对应的三边分别是，且成等比数列，则角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在‎∆ABC中，角的对边分别为，向量m‎=(a,cosB)‎，n‎=(cosA,-b)‎，若m‎⊥‎n，则‎∆ABC一定是（ ）‎ A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎9．已知数列为等差数列，首项，若，则使得的的最大值为（ ） A．2007 B．2008 C．2009 D．2010‎ ‎10．已知‎∆ABC是边长为1的等边三角形，若对任意实数，不等式|kAB‎+tBC|‎>‎1恒成立，则实数的取值范围是（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且AE‎=‎EB，AD=2DC，与交于点，则下列说法正确的是（ ）‎ A．AB‎∙CE=-1‎ B．‎OE‎+OC=‎‎0‎ C．OA‎+OB+‎OC‎=‎‎3‎‎2‎ D．ED在BC方向上的投影为 ‎12．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． ‎ D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ 13． 某学校高一年级举行选课培训活动，共有1024名学生、家长、老师参加，其中家长256人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取64人，进行某问卷调查，则抽到的家长有______人 14． 已知向量、满足，，且()，则_____．‎ 15． 数列中，，其前项和为，且对任意正整数都有，则Sn‎=‎_______．‎ ‎16．已知且,则a+b的取值范围是_______．‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17、18题满分10分，第22题满分14分，其余小题满分12分，共70.0分）‎ ‎17．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ； (2)若＝a，＝b，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知在等比数列中，，且是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前项和.‎ ‎19．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷，现从某市使用和两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：‎ ‎(1)使用订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家有多少个？‎ ‎(2)试估计该市使用款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数；‎ ‎(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从和两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？‎ ‎(第19题图) (第21题图)‎ ‎20．在中，已知，其中角所对的边分别为．求 ‎（1）求角的大小； （2）若， 的面积为，求的值．‎ ‎21．如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）． （1）求该自行车手的骑行速度； ‎ ‎（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由． ‎ ‎22．已知数列的前项和，函数对任意的都有，数列满足. ‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，是数列的前项和，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在请求出的取值范围；若不存在请说明理由．‎ 三水中学高一级2019-2020学年度下学期第二次统考 数学科试题答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D B D A C C D B B BCD ABD 二、 填空题 ‎13. 16 14. ‎5‎ 15.‎ ‎‎2‎n+1‎ 16. ‎ 三、解答题 ‎17．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，‎ 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61…………..1分 又|a|＝4，|b|＝3，‎ 所以64－4a·b－27＝61，所以a·b＝－6，…………..2分 所以cos θ＝＝＝－.…………..4分 又0≤θ≤π，所以θ＝.…………..6分 ‎ (2)因为与的夹角θ＝，‎ 所以∠ABC＝π－＝.…………..8分 又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，‎ 所以S△ABC＝×4×3×＝3.…………..10分 ‎18．解:（1）设等比数列的公比为，则，则，，‎ 由于是和的等差中项，即，…………..2分 即，解得.…………..3分 因此，数列的通项公式为；.…………..5分 ‎（2），‎ ‎.‎ ‎.…………..10分 ‎19.解:（1）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过30分钟的商家共有个。…………..3分 ‎（2）依题意可得，使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，…………..4分 设中位数为x，则（x-30）0.012=0.1，解得x=。…………..7分 ‎（3）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎.…………..9分 使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 ‎………11分 ‎ 所以选款订餐软件．…………..12分 ‎20.解：（1） 由正弦定理，得，…………..2分 ‎∵， ∴. 即，而 …………..4分 ‎ ∴， 则 …………..6分 ‎（2）由，得，…………..8分 由及余弦定理得，‎ 即，…………..10分 所以．…………..12分 ‎21、 解:‎ ‎（1）由题意知：OA=2，OC， ∠AOC=α，sinα=．‎ 由于0°＜α＜90°，‎ 所以．…………..1分 在△AOC中，由余弦定理得 ‎，所以，…………..3分 所以该自行车手的行驶速度为（千米/小时）．…………..4分 ‎（2）如图， ‎ 设直线OE与AB相交于点M．‎ 在△AOC中，由余弦定理得 cos∠OAC …………..6分 从而 sin∠OAC． …………..7分 在△AOM中，由正弦定理得， ‎ 所以，…………..9分 由于OE=27.5＞40=OM，‎ 所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7.5．…………..10分 过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离． ‎ 在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）．‎ 所以该自行车手会进入降雨区．…………..12分 ‎22.解：（1） ‎ 时满足上式，故 …………..3分 ‎ ‎∵=1∴ ‎ ‎∵ 　　　 ①‎ ‎∴ 　　　②‎ ‎∴①+②，得. …………..6分 ‎（2）∵，∴ ‎ ‎∴ 　　　 ①‎ ‎， ②‎ ‎①－②得 ‎ 即 …………..10分 ‎ 要使得不等式恒成立，‎ 恒成立对于一切的恒成立，‎ 即 ，令，则 当且仅当时等号成立，故 所以为所求. …………..14分