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文档介绍
2009年北京市东城区中考数学一模试卷
6 2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题(8个小题,每小题4分,共32分) 下列各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. 1.计算|-2009|的结果是( ) A.-2009 B. C.2009 D. 2.函数的自变量x的取值范围是( ) A.x≠-2 B.x≥-2 C.x>-2 D.x<-2 3.我国2008年国内生产总值超过300 000亿元,比上一年增长9%.将数据300000亿元用科学记数法表示为( ) A.3×105亿元 B.30×104亿元 C.0.3×106亿元 D.3×104亿元 4.下列运算正确的是( ) A.a2+a4=a6 B.a2·a4=a6 C.(a4)2=a6 D.a6÷a2=a3 5.若一个正n边形的一个外角为36°,则n等于 A.4 B.6 C.8 D.10 6.如图,点O在⊙A外,点P在线段OA上运动.以OP为半径的(⊙O与⊙A的位置关系不可能是下列中的( ) 第6题图 A.外离 B.相交 C.外切 D.内含 7.在共有15人参加的“我爱祖国”演讲比赛中,参赛选手要想知道自己是否能进入前8名,除了需要了解自己的成绩外,还需要了解全部成绩的( ) A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 8.在正方体的表面上画有如图①中所示的粗线,图②是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图①中剩余两个面中的粗线画入图②中,画法正确的是( ) 第8题图 二、填空题(4个小题,每小题4分,共16分) 9.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=30°,∠2=50°,则∠3=________. 第9题图 第11题图 10.在实数范围内分解因式:x2y-6xy+9y=________. 11.如图,AB、CD是水平放置的轮盘(俯视图)上两条互相垂直的直径,一个小钢球在轮盘上自由滚动,该小钢球最终停在阴影区域的概率为________. 12.按一定规律排列的一列数依次为:,,,,,…,按此规律排列下去,这列数中的第9个数是________. 三、解答题(5个小题,每小题5分,共25分) 13.计算:. 14.解不等式组 15.解方程:. 16.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,FC∥AB,DF交AC于点E,DE=EF.求证:E是AC的中点. 第16题图 17.已知:x-2y=0,求的值. 四、解答题(2个小题,每小题5分,共10分) 18.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,∠D=120°,CD=4cm,求AB的长. 第18题图 19.阅读对人成长的影响是巨大的,一本好书往往能改变人的一生.每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”.如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图,其中八年级人数为350人,表(1)是该校学生阅读课外书籍情况统计表.请你根据图表中的信息,解答下列问题: (1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率. (2)求出表(1)中A、B的值. (3)该校学生平均每人读多少本课外书? 图书种类 频数 频率 科普常识 B 0.2 名人传记 500 0.25 漫画丛书 800 A 其他 300 0.15 第19题图 五、解答题(3个小题,每小题5分,共15分) 20.某商场用36万元购进A,B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表: A B 进价(元/件) 1200 1000 售价(元/件) 1380 1200 (注:获利=售价-进价) 求该商场购进A,B两种商品各多少件. 21.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D是边BC的中点.以BD为直径作圆O,交边AB于点P,连结PC,交AD于点E. (1)求证:AD是圆O的切线; (2)若PC是圆O的切线,BC=8,求DE的长. 第21题图 22.如图,反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B,OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA∶OC=2∶1. (1)设矩形OABC的对角线交于点E,求出E点的坐标; (2)若直线y=2x+m平分矩形OABC面积,求m的值. 第22题图 六、解答题(3个小题,共22分) 23.(本题满分7分)已知:关于x的一元二次方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0. (1)若m>0,求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若12<m<40的整数,且方程有两个整数根,求m的值. 24.(本题满分7分)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(-1,0),如图所示,抛物线y=ax2+ax-2经过点B. (1)求点B的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 第24题图 25.(本题满分8分)请阅读下列材料: 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.即如图①,若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD.请你根据以上材料,解决下列问题. 已知⊙O的半径为2,P是⊙O内一点,且OP=1,过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作⊙O的切线m和n,作PQ⊥m于点Q,PR⊥n于点R.(如图②) (1)若AC恰经过圆心O,请你在图③中画出符合题意的图形,并计算:的值; (2)若OP⊥AC,请你在图④中画出符合题意的图形,并计算:的值; (3)若AC是过点P的任一弦(图②),请你结合(1)(2)的结论,猜想:的值,并给出证明. ① ② 第25题图 答 案 6.2009年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 二、填空题 9.20° 10.y(x-3)2 11. 12. 三、解答题 13.原式=4-2-1+1=2 14.解: 解不等式①得x<-1 解不等式②得x≥-4 ∴原不等式组的解集为-4≤x<-1. 15.解:方程两边都乘以x(x-1), 得x2+2(x-1)=x(x-1), 解这个方程,得x=. 经检验,x=是原方程的根. ∴原方程的根是x=. 16.证明:∵FC∥AB,∴∠ADF=∠F. 又∵∠AED=∠CEF,DE=EF,∴△ADE≌△CEF(SAS).∴AE=CE. 即E是AC的中点. 17.解: . ∵x=2y, ∴原式. 四、解答题 18.解:过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC,垂足分别为点E、F. ∴∠AEB=∠DFC=90°. ∵AD∥BC,∠D=120°, ∴∠C=60° 在Rt△DFC中,∠DFC=90°,∠C=60°,CD=4. . 易证:四边形AEFD为矩形.∴AE=DF=6. 在Rt△AEB中,∠AEB=90°,∠B=45°, . 第18题答图 19.解:(1)1-25%-35%=40% (2)A=1-0.2-0.25-0.15=0.4 500÷0.25=2000 B=2000-500-800-300=400 ∴A的值为0.4,B的值400 (3)350÷35%=1000 2000÷1000=2 ∴该校学生平均每人读2本课外书. 五、解答题 20.解:(1)设购进A种商品x件,B种商品y件. 根据题意,得 化简,得 解得 答:该商场购进A,B两种商品分别为200件和120件. 21.(1)证明:∵AB=AC,点D是边BC的中点, ∴AD⊥BD. 又∵BD是圆O直径, ∴AD是圆O的切线. (2)解:连结OP,由BC=8,得CD=4,OC=6,OP=2. ∵PC是圆O的切线,O为圆心, ∴∠OPC=90°. 由勾股定理,得PC=4. 在△OPC中,. 在△DEC中,∵, . 第21题答图 22.解:(1)由题意,设B(2a,a)(a≠0),则a=,∴a=±2. ∵B在第一象限, ∴a=2,B(4,2), ∴矩形OABC对角线的交点E为(2,1). (2)∵直线y=2x+m平分矩形OABC必过点(2,1), ∴1=2×2+m.∴m=-3. 第22题答图 六、解答题 23.(1)证明:Δ=[-2(2m-3)]2-4(4m2-14m+8)=8m+4. ∵m>0,∴8m+4>0. ∴方程有两个不相等的实数根. (2). ∵方程有两个整数根,必须使为整数且m为整数. 又∵12<m<40,∴25<2m+1<81. . 令,. 令,. 令,. ∴m=24 24.解:(1)过点B作BD⊥x,垂足为D, ∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠OAC=90°, ∴∠BCD=∠CAO. 又∵∠BDC=∠COA=90°;CB=AC, ∴△BCD≌△CAO, ∴BD=OC=1,CD=OA=2, ∴点B的坐标为(-3,1). (2)抛物线y=ax2+ax-2经过点B(-3,1), 则得到1=9a-3a-2, 解得,∴抛物线解析式为. 第24题答图 (3)方法一: ①若以AC为直角边,点C为直角顶点, 则可以设直线BC交抛物线于点P1, 由题意,直线BC的解析式为:, 解得(舍) ∴P1(1,-1). 过点P1作P1M⊥x轴于点M, 在Rt△P1MC中, ∴CP1=AC. ∴△ACP1为等腰直角三角形. ②若以AC为直角边,点A为直角顶点; 则过点A作AF∥BC,交抛物线于点P2, 由题意,直线AF的解析式为, 解得(舍) ∴P2(2,1). 过点P2作P2N⊥y轴于点N, 在Rt△AP2N中,, ∴AP2=AC, ∴△ACP2为等腰直角三角形. 综上所述,在抛物线上存在点P1(1,-1)P2(2,1),使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形. 方法二: ①若以AC为直角边,点C为直角顶点, 则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,过点P1作P1M⊥x轴. ∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°, ∴△MP1C≌△DBC, ∴CM=CD=2,∴P1M=BD=1,可求得点P1(1,-1); 经检验点P1(1,-1)在抛物线上,使得△ACP1是等腰直角三角形. ②若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC, 得到等腰直角三角形△ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO, ∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1), 经检验点P2(2,1)也在抛物线上,使得△ACP2也是等腰直角三角形. 25.解:(1)AC过圆心O,且m,n分别切⊙O于点A,C,如图①所示, 第25题答图 ∴AC⊥m于点A,AC⊥n于点C,∴Q与A重合,R与C重合,OP=1,AC=4, . (2)连结OA,如图②所示, OP⊥AC于点P,且OP=1,OA=2, ∴∠OAP=30°, ∴AP=. OA⊥直线m,PQ⊥直线m, ∴OA∥PQ,∠PQA=90°, ∴∠APQ=∠OAP=30°, ∴在Rt△AQP中,. 同理,, . (3)猜想 证明:过点A作直径交⊙O于点E,连结CE,如图③所示,∴ECA=90°. AE⊥直线m,PQ⊥直线m, ∴AE∥PQ且∠PQA=90°. ∴∠EAC=∠APQ. ∴△AEC∽△PAQ. 同理可得:∴ ①+②,得 , . 过点P作直径交O于点M,N 由阅读材料可知:AP·PC=PM·PN=3.查看更多