上海市2021届高三一模暨春考数学模拟试卷六 PDF版含答案

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公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ C1 D1 B1A1 C A B D E 2021 届高三一模暨春考数学模拟试卷六 2020.10.5 一、填空题： 1、已知数列 na 的前 n 项和为 2 1n nS   ，则此数列的通项公式为___________． 2、函数   1f x x  的反函数是_____________． 3、 61 2x 的展开式中 3x 项的系数为___________．（用数字作答） 4、如右图，已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ， 1 2AA  ， E 为棱 1CC 的 中点，则三棱锥 1D ADE 的体积为________________． 5、一个袋子中共有 6 个球，其中 4 个红色球，2 个蓝色球. 这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取 2 个球，则所抽的球都是红色球的概率是__________. 6、已知直线l ： 0x y b   被圆 C： 2 2 25x y  所截得的弦长为 6，则b _____. 7、若复数 (1 )(2 )ai i  在复平面上所对应的点在直线 y x 上，则实数 a ______. 8、函数 ( ) ( 3sin cos )( 3 cos sin )f x x x x x   的最小正周期为_______. 9、若函数 22 1y ax a x    存在零点，则实数 a 的取值范围是____________． 10、已知数列 na 中， 1 11, ( 1) 1n na na n a    ，若对于任意的 [ 2,2]a  、 *n N ，不 等式 1 3 21 tna an     恒成立，则实数t 的取值范围为_____________． 11、若   axaxxf 3 ，且  1,0x 上的值域为   1,0 f ，则实数 a 的取值范围 是______________； 12、设函数    0,06sin       AxAxf  ，  2,0x ，若  xf 恰有 4 个零点，则 下列结论中： ①若    xfxf 0 恒成立，则 0x 的值有且仅有 2 个； ②  xf 在     19 8,0  上单调递增； ③存在 和 1x ，使得           211 xfxfxf 对任意  2,0x 恒成立； 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ ⑤“ 1A ”是“方程   2 1xf 在 2,0 内恰有五个解”的必要条件. 所有正确结论的编号是_____________； 二、选择题： 13.“ {1,2}m ”是“ ln 1m  ”的成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 设集合 { || | 1}A x x a   ， {1, 3, }B b  ，若 A B ，则对应的实数对 ( , )a b 有（ ） A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 15．设 na 是等差数列，下列命题中正确的是 ( ) （A）若 1 2 0a a  ，则 2 3 0a a  （B）若 1 3 0a a  ，则 1 2 0a a  （C）若 1 20 a a  ，则 2 1 3a a a （D）若 1 0a  ，则  2 1 2 3 0a a a a   16．元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元，而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；设购买 2 只玫瑰花所需费 用为 A 元，购买 3 只康乃馨所需费用为 B 元，则 A 、 B 的大小关系是 ( ) （A） A B （B） A B （C） A B （D） A 、 B 的大小关系不确定 三、解答题： 17、在长方体 ABCD － 1 1 1 1A B C D 中（如图）， 11  AAAD ， 2AB= ，点 E 是棱 AB 的 中点． （1）求异面直线 1AD 与 EC 所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的 四面体称为鳖臑. 试问四面体 1D CDE 是否为 鳖臑？并说明理由. A B CD E A1 B1 C1 D1 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ 河 流 A B 20km 河 流 A B 污水处理厂★ x 18、已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2F 的一条直线交椭 圆于 P 、Q 两点，若 1 2PF F 的周长为 4 4 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2 :1. （1）求椭圆C 的方程； （2）若 1 2F P F Q PQ    ，求直线 PQ 的方程. 19、如图所示，沿河有 A、B 两城镇，它们相距 20 千米．以前，两城 镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放．两 城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污水处理厂（在两城镇之间 或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）．依 据经验公式，建厂的费用为 0.7( ) 25f m m  （万元）， m 表示污水流 量；铺设管道的费用（包括管道费） ( ) 3.2g x x （万元），x 表示输 送污水管道的长度（千米）． 已知城镇 A 和城镇 B 的污水流量分别为 1 3m  、 2 5m  ， A 、 B 两城镇连接污水处理厂的管道总长为 20 千米．假定：经管道 输送的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中． 请解答下列问题（结果精确到 0.1）： （1）若在城镇 A 和城镇 B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A 到拟建厂的距离 为 x 千米，求联合建厂的总费用 y 与 x 的函数关系式，并求 y 的 取值范围． 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ 20、已知函数 )(xfy  ,若存在实数 m 、 k （ 0m ），使得对于定义域内的任意 实数 x ，均有 )()()( kxfkxfxfm  成立，则称函数 )(xf 为“可平衡”函 数，有序数对  km, 称为函数 )(xf 的“平衡”数对. （1）若 1m ，判断 xxf sin)(  是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若 a R， 0a ，当 a 变化时，求证： 2)( xxf  与 xaxg 2)(  的“平衡” 数对相同； （3）若 1m 、 2m R，且      2,1 m 、      4,2 m 均为函数 xxf 2cos)(  的“平衡”数 对.当 40  x 时，求 2 2 2 1 mm  的取值范围. 21. 数列{ }na 与{ }nb 满足： 1a a ， 1n n nb a a  ， nS 是数列{ }na 的前 n 项和（ *n N ）. （1）设数列{ }nb 是首项和公比都为 1 3  的等比数列，且数列{ }na 也是等比数列，求 a 的值； （2）设 1 2 1n n nb b    ，若 3a  且 4na a 对 *n N 恒成立，求 2a 的取值范围； （3）设 4a  ， 2nb  ， 2 2 n n n SC  （ *n N ， 2   ），若存在整数 k 、l ，且 1k l  ， 使得 k lC C 成立，求  的所有可能值. 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ 参考答案： 一、填空题： 1． 12n na  ； 2．    21 1 ( 1)f x x x    ； 3．160； 4． 4 3 ；5、 2 5 ；6、 4 2 ； 7、3；8、 ；9、 3[0, ]3 ；10、  , 1  ；11、     4 1,0 ；12、①②③； 二、选择题： 13、A；14、D；15、C；16、A； 三、解答题： 17、解：（1）作 CEEA // 交CD 于 E ， 因为 1 1AD AA DE'   ，所以 1 2AE D E   ， 故  EAD 1 为正三角形，异面直线 1AD 与 EC 所成角为 60…………………6 分 （2） E 是棱 AB 上的中点，则  ADE 、 CBE 均为等腰直角三角形， 故 90DEC   ，所以 DEC 为直角三角形.………………………………………9 分 由 1DD  平面 ABCD ， DE CE ，知 CE  平面 1DD E ，故 1CE D E ，所以 ECD1 为直角三角形…………………………………………………………………………13 分 而显然  1DD E 、  1DD C 均为直角三角形，故四面体 1D CDE 四个面均为直角三角形， 为鳖臑. …………………………………………………………………………………14 分 18、解：（1）由条件知： 2 2 4 4 2a c   ， : 2 :1a b   222 cba  解得： 2 2, 2, 2a b c   ，…………4 分 所以椭圆C 的方程为 2 2 18 4 x y  ………………6 分 （2）设直线 2PF 的方程为： 2,x ty  1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y ； 因为 1 2 1 2F P F Q FO OP F O OQ OP OQ              ， 所以 OP OQ PQ    ，所以 OP OQ ,所以 1 2 1 2 0x x y y  。…………9 分 2 2 18 4 2 x y x ty         2 22 4 4 0t y ty    1 2 1 22 2 4 4,2 2 ty y y yt t      ………………………………………11 分 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！    2 1 2 1 2 1 2 1 21 2 4 0x x y y t y y t y y       解得： 2 1 2,2 2t t   …………………………………………………………13 分 所以直线 PQ 的方程为 2 2 2 0x y   …………………………………14 分 19．[解] （1）分别单独建厂，共需总费用 0.7 0.7 1 25 3 25 5 131.1y      万元 …………………………4 分 （2）联合建厂，共需总费用  0.725 3 5 3.2 3.2 20y x x       （ 0 20x  ） 所以 y 与 x 的函数关系式为  0.725 8 3.2 20y x x     （ 0 20x  ）……8 分 令   20h x x x   （ 0 20x  ）        22 20 2 20 20 2 10 100 20,40h x x x x         ………10 分 0.7 0.7121.5 25 8 3.2 20 25 8 3.2 40 127.4y          y 的取值范围为 121.5,127.4 ． …………………………14 分 20、【解】（1）若 1m ，则 xxfm sin)(     kxkxkxfkxf  sinsin)()( kxcossin2 要使得 )(xf 为“可平衡”函数，需使故   0sincos21  xk 对于任意实数 x 均成 立，只有 2 1cos k ……3 分，此时 32   nk ， Zn  ，故 k 存在，所以 xxf sin)(  是“可平衡”函数 （2） 2)( xxf  及 xaxg 2)(  的定义域均为 R 根据题意可知，对于任意实数 x ，     22222 22 kxkxkxmx  即 222 22 kxmx  ,即   022 22  kxm 对于任意实数 x 恒成立 只有 0,2  km ，故函数 2)( xxf  的“平衡”数对为  0,2 对于函数 xaxg 2)(  而言， 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！    kkxkxkxx aaaam   2222222 所以    kkxx aam  22222      02222   mam kkx ，        02 22 ma m kk ， 即      2 2 m m ，故 2m ，只有 0k ，……9 分， 所以函数 xaxg 2)(  的“平衡”数对为  0,2 综上可得函数 2)( xxf  与 xaxg 2)(  的“平衡”数对相同 （3）            2cos2coscos 222 1  xxxm ，所以 xxm 22 1 sin2cos             4cos4coscos 222 2  xxxm ，所以 1cos2 2 xm 由于 40  x ，所以 1cos2 1 2  x ， 故 xm 2 1 tan2  2,0 ,  2,1sec 2 2  xm 2 2 2 1 mm       1tan2tan5tan4tan1 222422  xxxx 5 4 5 1tan5 2 2       x ， 由于 40  x ，所以 1tan0 2  x 时， 5 6tan5 1 5 1 2  x   832tan21 22  x ，所以 1 2 2 2 1 mm  8 21.（1） 由条件得 1( )3 n nb   ， *Nn ，即 1 1( )3 n n na a    ，………………1 分 则 2 1 1 3a a   ， 2 3 2 1 1( )3 9a a    ，设等比数列 na 的公比为 q ， 则 3 2 2 1 1 3 a aq a a    ，又 1( 1) 3a q    ，则 1 4a  . …………………………3 分 当 1 4a  ， 1 3q   时， 11 1( )4 3 n na   ， *Nn ， 则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( )4 3 4 3 3 4 4 3 3 n n n n n na a                满足题意， 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ 故所求的 a 的值为 1 4 . ………………………………………4 分 （2）当 2n  时， 1 1 2 1n n nb b     ， 2 1 2 2 1n n nb b      ，， 2 1 2 1b b   ， 以上 1n  个式子相加得， 1 2 3 1 2 2 2 2 ( 1)n n n nb b n          ， ………2 分 又 1 2 1 2 3b a a a    ，则 1 2 2 2(1 2 ) ( 1) 3 2 41 2 n n nb n a n a          ， 即 22 4n nb n a    . 由 1 2 1 0n n nb b     知数列 nb 是递增数列，………4 分 又 1n n nb a a  ，要使得 4na a 对 *Nn 恒成立， 则只需 3 4 3 4 5 4 0 0 b a a b a a        ，即 3 2 4 2 1 0 8 0 b a b a        ，则 28 1a    . …………………6 分 （3） 由条件得数列 na 是以 4 为首项， 2 为公差的等差数列， 则 4 2( 1) 2 2na n n     ， 2(4 2 2) 32n n nS n n    ， 则 22 3 2 2 2 n n n n S n nC      . ………………………………2 分 则 2 2 2 1 1 1 ( 1) 3( 1) 2 3 2 4 2 2 2 2n n n n n n n n n n nC C                    ， 当 3n  时， 2 24 2 3 3 4 2 8 2 8 2 ( 2) 4 0n n                       ， 即 3n  时， 1n nC C  ， 则当 3k l  时， k lC C 与 k lC C 矛盾. ………………………4 分 又 1l  ，即 2l  时， 2 3 2 5 2 2k k k     . 当 5k  时， 2 2 5 3 2 5 3 5 2 20 2 2 16k k k          ， 又 20 5 20 7 20 7 ( 2) 3 016 2 16 16 8                ， 即当 5k  ， 2l  时， 2 3 2 5 2 2k k k     ，与 2 3 2 5 2 2k k k     矛盾. 又 2k l  ，则 3k  或 4 ， 公众号：上海 maths 做上海学生身边给力的辅助！！ 当 3k  时， 2 2 3 3 2 3 3 3 2 5 2 2 2k k k          ，解得 1   ； 当 4k  时， 2 2 4 3 2 4 3 4 2 5 2 2 2k k k          ，解得 2   . 综上得  的所有可能值为 1 和 2 . …………………………………8 分