专题08 立体几何-备战2018高考高三数学（文）全国各地优质模拟试卷分项精品

专题08 立体几何-备战2018高考高三数学（文）全国各地优质模拟试卷分项精品

一、选择题 ‎1．【2018衡水金卷高三联考】如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）‎ ‎【答案】A ‎ 2．【2018湖南永州市一模】关于直线l,m及平面α,β，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若l⊥α，l//β，则α⊥β B. 若l//α，m//α，则l//m C. 若l//α，l⊥m，则m⊥α D. 若l//α，α∩β=m，则l//m ‎【答案】A ‎ ‎【解析】对于A，若l⊥α，l//β，根据线面垂直、线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β；故A正确；对于A，若l//α，m//α，则与m平行、相交或者异面；故B错误；对于C，若l//α，l⊥m，则m与α可能平行，故C错误；对于D，若l//α，α∩β=m，则与m可能相交，平行或者异面，故D错误，故选A. ‎ ‎3．【2018河南中原名校质检二】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）‎ A. ‎4π B. ‎6π C. ‎12π D. ‎‎24π ‎【答案】B ‎ 4．【2018广西教育质量诊断性联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为 ，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.‎ ‎5．【2018吉林百校联盟九月联考】如图,点是正方形外的一点,过点作直线,记直线与直线， 的夹角分别为， ，若 ，则满足条件的直线（ ）‎ A. 有1条 B. 有2条 C. 有3条 D. 有4条 ‎【答案】D ‎ 6．【2018吉林百校联盟九月联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ 7．【2018辽宁沈阳育才学校一模】某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】根据三视图恢复几何体为一个个四棱锥，其中一条侧棱垂直底面，四棱锥的表面积为，选C. ‎ ‎8【2018广西柳州市一模】已知直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3，AC=4‎ AB⊥AC,AA‎1‎=12‎,则球O的半径为 （ ）‎ A. ‎3‎‎17‎‎2‎ B. ‎2‎‎10‎ C. ‎13‎‎2‎ D. ‎‎3‎‎10‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知条件可知直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面，且BC和B‎1‎C‎1‎分别是两小圆的直径，则BC=5，设球的半径为R，则R =‎(BC‎2‎)‎‎2‎‎+‎‎(AA‎1‎‎2‎)‎‎2‎‎=‎‎(‎5‎‎2‎)‎‎2‎‎+‎‎(‎12‎‎2‎)‎‎2‎=‎13‎‎2‎,故选C.‎ ‎9．【2018广东珠海高三摸底】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为： ‎10．【2018超级全能生全国联考】若正四棱锥内接于球，且底面过球心，则球的半径与正四棱锥内切球的半径之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎ ‎ ‎【点睛】求锥体的内切球半径，我们常用的方法是等体积法，求出r.‎ ‎11．【2018吉林长春一模】已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB=6,BC=2‎‎3‎，且四棱锥O-ABCD的体积为‎8‎‎3‎，则R等于（ ）‎ A. 4 B. ‎2‎‎3‎ C. ‎4‎‎7‎‎9‎ D. ‎‎13‎ ‎【答案】A ‎ 12．【2018吉林长春一模】《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（ ）‎ A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 12立方丈 ‎【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B. ‎ 二、解答题 ‎13．【2018百校联盟高三摸底】如图所示，菱形与正三角形所在平面互相垂直， 平面，且， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）3.‎ ‎∵平面⊥平面， 平面，平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面， ，∴.‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵平面 ， 平面，∴平面.‎ ‎（2）连接，由题意得为正三角形，∴.‎ ‎∵平面⊥平面，平面，平面平面，‎ 平面.∵，平面 ， 平面，∴平面，‎ 同理，由可证平面，‎ ‎∵， 平面， 平面，‎ ‎∴平面∥平面，∴到平面的距离等于的长.‎ ‎∵为四棱锥的高，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎14．【2018江苏南京高三调研】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ）平面AB1E⊥平面B1BCC1；‎ ‎（Ⅱ）A1C//平面AB1E．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 所以CC1^AE． ‎ 因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE^BC． ‎ 因为BCÌ平面B1BCC1，CC1Ì平面B1BCC1，‎ 且BC∩CC1＝C，‎ 所以AE^平面B1BCC1． ‎ 因为AEÌ平面AB1E，‎ 所以平面AB1E^平面B1BCC1. ‎ ‎（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．‎ 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，‎ 所以F为A1B的中点． ‎ 又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C． ‎ 因为EFÌ平面AB1E，A1CË平面AB1E，‎ 所以A1C∥平面AB1E.‎ ‎15．【2018衡水金卷高三联考】如图，在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AA‎1‎⊥‎平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC‎1‎=2‎，点D为AB的中点.‎ ‎（1）证明：AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD；‎ ‎（2）求三棱锥A‎1‎‎-CDB‎1‎的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎ ‎ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，四边形BCC‎1‎B‎1‎是平行四边形.‎ ‎∴点O是BC‎1‎的中点.‎ ‎∵点D为AB的中点，‎ ‎∴OD∥AC‎1‎.‎ 又OD⊂‎平面B‎1‎CD，AC‎1‎⊄‎平面B‎1‎CD，‎ ‎∴AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD.‎ ‎ ‎ ‎16．【2018广东茂名五校联考】如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1‎，BC=2‎，G为BC中点，平面ADFE⊥‎平面ADCB.‎ ‎(1)证明：AC⊥BE；‎ ‎(2)求三棱锥A-GFC的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎3‎‎12‎.‎ 同理可证AB∥DG，因此AC⊥AB，‎ 由于四边形ADFE为正方形，所以EA⊥AD，又平面ADFE⊥‎平面ABCD，‎ 平面ADFE∩‎平面ABCD=AD，‎ 故EA⊥‎平面ABCD，从而EA⊥AC，‎ 又EA∩AB=A，故AC⊥‎平面ABE，所以AC⊥BE..‎ ‎(2)因为VA-GFC‎=VF-AGC=VE-AGC=‎‎1‎‎2‎VE-ABC，‎ VE-ABC‎=‎1‎‎3‎×1×‎1‎‎2‎×1×‎3‎=‎‎3‎‎6‎‎.‎ 所以，三棱锥A-GFC的体积为‎3‎‎12‎.‎ ‎17．【2018湖南永州一模】已知三棱锥S-ABC，SA=SB，AC=BC，O为AB的中点，SO⊥‎平面ABC，AB=4‎，OC=2‎，N是SA中点，CN与SO所成的角为α，且tanα=2‎.‎ ‎（1）求证：OC⊥ON；‎ ‎（2）求三棱锥S-ABC的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎‎4‎‎5‎‎3‎ ‎ 18．【2018河南中原名校质检二】在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥‎平面ABCD，AB∥CD，ΔPAD是等边三角形，已知AD=2‎，BD=2‎‎3‎，AB=2CD=4‎.‎ ‎（1）设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥‎平面PAD.‎ ‎（2）求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）3‎ ‎ 19．【2018湖南两市九月调研】如图，在四棱锥中， 底面，底面为菱形， ， 为的中点 ‎. ‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ．‎ ‎ 20．【2018广西教育质量诊断性联考】如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）中，点是的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若， ，求证： ．‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形中位线定理可得 平面；（2）先证．，再证平面，再证平面．‎ 试题解析：‎ 证明：（1）连接交于，连接．‎ 在中，因为， 分别为， 的中点，所以，‎ ‎ 21．【2018吉林百校联盟九月联考】如图所示，四棱锥中，平面平面， ， ， ．‎ ‎（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；‎ ‎（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，易得：四边形是平行四边形，从而，所以平面；（2）∵是的中点，∴到平面的距离等于到平面的距离的一半从而易得三棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面， ， 平面，故平面，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，且平面， ，‎ ‎∴三棱锥的高是2， ，‎ 在等腰中， ， ， 边上的高为，‎ ，∴到的距离为，∴，‎ ‎∴．‎ 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．‎ ‎22．【2018辽宁沈阳育才学校一模】如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直， ，且， .‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）3‎ 所以四边形为平行四边形，故， ‎ 而平面， 平面，所以平面；‎ ‎（Ⅱ）因为平面，所以： ‎ ‎ ‎23．【2018超级全能生全国联考】如图，四边形为等腰梯形， ，将沿折起，使得平面平面， 为的中点，连接.‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）到平面的距离为 ‎ ‎