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文档介绍
辽宁省丹东市2020届高三二模考试数学(理)试卷 Word版含解析
- 1 - 2020 年辽宁省丹东市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题 1.已知集合 2| 2 0A x x x , 3, 2, 1,0,1,2,3B ,则 A B ( ) A. 3, 2 B. 3, 2,3 C. { }1,0,1,2- D. 3, 2,2,3 【答案】B 【解析】 【分析】 解一元二次不等式求得集合 A ,由此求得 A B . 【 详 解 】 由 2 2 2 1 0x x x x , 解 得 1x 或 2x , 所 以 , 1 2,A ,所以 A B 3, 2,3 . 故选:B 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题. 2.“ 2 2log loga b ”是“ a b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求得条件“ 2 2log loga b ”的等价条件,由此判断出充分、必要条件. 【详解】条件“ 2 2log loga b ”等价于“ 0a b ”,所以“ 2 2log loga b ” 是 “ a b ”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,属于基础题. 3.已知复数 2 1 11 i az a i i 为纯虚数,则实数 a ( ) A. 0 B. C. 1 D. -1 【答案】C - 2 - 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算进行化简,根据纯虚数的概念求得 a 的值. 【详解】依题意 2 1 11 i az a i i 2 2 2 21 1 1 1 11 1 i a ia a i ai a a ii i i i , 由于 z 为纯虚数,所以 2 1 0 1 0 a a ,解得 1a . 故选:C 【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查纯虚数的概念,属于基础题. 4.天文学家开普勒的行星运动定律可表述为:绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长 轴 a 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等,即 3 2 a kT , 24 GMk ,其中 M 为 中心天体质量,G 为引力常量,已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 1.5 亿千米,地球的公转周期为 1 年,距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的 半长轴长约为 60 亿千米,取 10 3.1 ,则冥王星的公转周期约为( ) A. 157 年 B. 220 年 C. 248 年 D. 256 年 【答案】C 【解析】 【分析】 利用 3 2 24 a GM T 列方程组,化简后求得冥王星的公转周期 2T . 【详解】设地球椭圆轨道的半长轴为 1a ,公转周期 1T .设冥王星椭圆轨道的半长轴为 1a ,公转 周期 1T . 则 3 1 2 2 1 3 2 2 2 2 4 4 a GM T a GM T ,两式相除并化简得 33 2 22 2 13 1 60 1 6400 101.5 aT Ta ,所以 2 80 10 80 3.1 248T 年. - 3 - 故选:C 【点睛】本小题主要考查椭圆的基本概念,属于基础题. 5.已知平面向量 a ,b 满足 0a b a b ,那么 a 与b 的夹角为( ) A. 3 B. 2 3 C. 6 D. 5 6 【答案】B 【解析】 【分析】 设 a 与b 的夹角为 ,由题得 21 2a b b ,再代入向量的夹角公式化简即得解. 【详解】由题得 a b a ,所以 2 21+2 =0 2b a b a b b , . 设 a 与b 的夹角为 , 所以 2 2 22 1 12cos = = = 2| || | | | ba b a b a b a b b b b . 因为 [0, ] , 所以 2 3 . 故选:B. 【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,考查向量的夹角的计算,意在考查学生对这些知 识的理解掌握水平. 6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A. y x B. 3xy C. 3y x D. 1y xx 【答案】C 【解析】 【分析】 分别讨论四个函数的奇偶性及单调性,可选出答案. 【详解】对于选项 A, y x 是 R 上的偶函数,不符合题意; - 4 - 对于选项 B, 3xy 是非奇非偶函数,不符合题意; 对于选项 C, 3y x 是奇函数,又是 R 上增函数,符合题意; 对于选项 D,因为函数 1y xx 在( ),0-¥ 和( )0,+¥ 上都单调递减,在其定义域上不是单 调函数,不符合题. 故选:C. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用,考查学生的推理能力,属于基础题. 7.如图是某圆锥的三视图,其正视图是一个边长为 1 的正三角形,圆锥表面上的点 M,N 在正 视图上的对应点分别是 A、B.则在此圆锥的侧面上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知几何体的直观图为圆锥,则圆锥的侧展图如图所示,再根据三视图中的数据, 即可得答案; 【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥, 圆锥的底面周长为 12 2 ,圆锥侧展图的圆心角为 , 由三视图可得,点 ,A B 在侧展图的位置,如图所示, 1OA OB , OA OB , 2AB . - 5 - 故选:B. 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离,考查空间想 象能力、运算求解能力. 8.在 ABC 中, 1cos sin 5A A ,则 tan 4A ( ) A. 7 B. 1 7 C. 7 D. 1 7 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件求得 cos ,sinA A,由此求得 tan A ,进而求得 tan 4A . 【详解】由 1cos sin 5A A ①两边平方并化简得 242sin cos 025A A ,由于 0 A , 所以sin 0,cos 0A A . 所以 2 7cos sin cos sin 1 2sin cos 5A A A A A A ②. 由①②得 3 4cos ,sin5 5A A ,所以 sin 4tan cos 3 AA A . 所以 4 1tan tan 34tan 744 1 tan tan 14 3 A A A . 故选:A 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正切公式,属于中档题. 9.5 名志愿者中有组长和副组长各 1 人,组员 3 人,社区将这 5 人分成两组,一组 2 人,一组 3 人,去两居民小区进行疫情防控巡查,则组长和副组长不在同一组的概率为( ) A. 1 10 B. 1 5 C. 2 5 D. 3 5 【答案】D - 6 - 【解析】 【分析】 先求得基本事件的总数,然后求得事件“组长和副组长不在同一组”包含的基本事件数,再 由古典概型概率计算公式,计算出所求概率. 【详解】5 名志愿者,安排到两个社区,一组 2 人,一组 3 人,基本事件的总数为 2 5 2 20C . 事件“组长和副组长不在同一组”包含的基本事件数为 1 32 2 12C . 所以组长和副组长不在同一组的概率为 12 3 20 5 . 故选:D 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算,属于基础题. 10.已知函数 2 ,0 1 ln , 1 x xf x x x ,若存在实数 s ,t 满足 0 s t ,且 f s f t ,则 4t s 的最小值为( ) A. 1 B. 2e 1 C. 2 ln 2 D. 2 2ln 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据 题意,画 出函数图 象,利 用 f s f t ,得 到 2 ln ,(0 2)s t m m ,可 得 ,2 mms t e ,构造函数 4 2 ( )mt s e m h m ,利用导数求得结果. 【详解】作出函数 ( )f x 的图象,如图所示: 因为 f s f t , - 7 - 结合图象可知 2 ln ,(0 2)s t m m ,可得 ,2 mms t e , 4 2 ( )mt s e m h m , '( ) 2mh m e , 令 '( ) 2 0mh m e ,解得 ln 2m , 可以判断函数 ( )h m 在 (0,ln 2) 上单调减,在 (ln 2,2) 上单调增, 所以 ( )h m 在 ln 2m 处取得最小值,且 ln2(ln 2) 2ln 2 2 2ln 2h e , 故选:D. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题,涉及到的知识点有利用函数值相等,找出自变量所 满足的条件,构造函数,利用导数求最值,属于中档题目. 11.已知 F 为双曲线C : 2 2 2 2 1 0x y a b a b 的一个焦点,过 F 作C 的一条渐近线的垂线 l ,垂足为点 A ,l 与C 的另一条渐近线交于点 B ,若 3AB a ,则C 的离心率为( ) A. 2 B. 6 2 C. 2 3 3 D. 15 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据 3AB a 列方程,求得 tan AOB ,由此求得 b a ,进而求得椭圆的离心率. 【详解】依题意 ,0F c ,双曲线的渐近线方程为 by xa 或 by xa .不妨设过 F 作C 的一 条渐近线 by xa 的垂线l ,垂足为点 A ,l 与C 的另一条渐近线 by xa 交于点 B ,如下图 所示. 点 F 到渐近线 by xa 即 0bx ay 的距离为 2 2 bc bc bca b .所以 2 2OA c b a . 由于 3AB a , 所以 3tan 3AB aAOB OA a .设 AOF BOF ,则 tan 2 tan 3AOB , - 8 - 即 2 2tan 31 tan ,即 23 tan 2tan 3 0 ,解得 3tan 3 (负根舍去), 即 3 3 b a ,所以 22 3 2 31 1 3 3 c be a a .故 C 选项正确. 依题意 ,0F c ,双曲线的渐近线方程为 by xa 或 by xa .不妨设过 F 作C 的一条渐近线 by xa 的垂线l ,垂足为点 A ,l 与C 的另一条渐近线 by xa 交于点 B ,如下图所示. 点 F 到渐近线 by xa 即 0bx ay 的距离为 2 2 bc bc bca b .所以 2 2OA c b a . 由于 3AB a ,所以 3tan 3AB aAOB OA a .所以 3AOB . 根据双曲线渐近线的对称性可知: 1 3AOF BOF ,所以 tan tan 33 b AOFa , 此时 3b a ,即 0b a 不符合题意. - 9 - 故选:C 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,属于中档题. 12.关于函数 ( ) sin ( 0)6f x x ,有下述四个结论: ①若 f x 在 0, 内单调递增,则 10,3 . ②若 f x 在 0, 内单调递减,则 1 ,3 . ③若 f x 在 0, 内有且仅有一个极大值点,则 1 7,3 3 . ④若 f x 在 0, 内有且仅有一个极小值点,则 1 10,3 3 . 其中所有正确结论的序号是( ) A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角函数的单调性判断①②的正确性;根据三角函数的极值点判断③④的正确性. 【详解】依题意函数 ( ) sin ( 0)6f x x , - 10 - 由 2 22 6 2k x k ,解得 22 23 3k k x ( k Z ), 若 f x 在 0, 内单调递增,则 22 3 0 2 3 k k 1 3 10 2 3 k k 0 10 3 k 10 3 .所以①正确. 由 32 22 6 2k x k ,解得 42 23 3k k x ( k Z ), 若 f x 在 0, 内单调递减,则 2 3 0 42 3 k k 1 6 40 2 3 k k ,此不等式组无解.所 以②错误. 对于③,由 26 2x k ,解得 2 3k x ( k Z ),依题意 2 3k x 在 0, 内有且仅有一个解,即 0 0 3 k 且 1 2 3 k k , 即 1 3 且 1 10 2 3 k k ,即 1 3 且 70 3 ,所以 的取值范围是 1 7,3 3 ,所以③ 正确. 对于④,由 26 2x k ,解得 22 3k x ( k Z ),依题意 22 3k x 在 0, 内有且仅有一个解,即 1 40 3 k 且 2 22 3 k k , - 11 - 即 4 3 且 2 20 2 3 k k ,即 4 3 且 100 3 ,所以 的取值范围是 4 10,3 3 ,所以 ④错误. 故正确的为①③. 故选:A 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性和极值点,属于中档题. 二、填空题 13.某医院职工总数为 200 人,在 2020 年1月份,每人约有 25 次到超市或市场购物,为调查 职工带口罩购物的次数,随机抽取了 40 名职工进行调查,得到这个月职工带口罩购物次数的 频率分布直方图,根据该直方图估计,2020 年1月份,该院职工带口罩购物次数不低于15 次 的职工人数约为______. 【答案】 60 【解析】 【分析】 根据频率分布直方图求出院职工带口罩购物次数不低于15 次的频率,即可求得该院职工带口 罩购物次数不低于15 次的职工人数. 【详解】根据频率分布直方图院职工带口罩购物次数不低于15 次的频率为: 0.01 5 0.05 5 0.3 医院职工总数为 200 人 该院职工带口罩购物次数不低于15 次的职工人数: 200 0.3 60 故答案为: 60 . 【点睛】本题解题关键是掌握频率分布直方图求频率的方法,考查了分析能力和计算能力, - 12 - 属于基础题. 14. ABC 内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c ,若 2 2 2 2c a b ab , 3sin 3C , 则 B ______. 【答案】 6 【解析】 【分析】 首先利用余弦定理将题中条件整理得到 cosc B b ,根据正弦定理可得 3sin tan3C B , 结合三角形内角的取值范围,最后求得结果. 【详解】 ABC 内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c , 且 2 2 2 2c a b ab , 整理得 2 2 2 2 2cosac a c Bb ab ,所以 cosc B b , 由正弦定理得 sin cos sinC B B 整理得 3sin tan3C B , 因为 (0, )B ,所以 6B , 故答案为: 6 . 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有余弦定理、正弦定理、已知 三角函数值求角,属于简单题目. 15.经过抛物线 2: 2 0C y px p > 的焦点 F ,倾斜角为30 的直线l 与C 交于 A , B 两点, 若线段 AB 的中点 M 的横坐标为 7,那么 p __________. 【答案】2 【解析】 【分析】 由已知条件写出直线方程与抛物线方程联立,由韦达定理及 1 2 72 x x ,即可求得结果. - 13 - 【 详 解 】 根 据 题 意 可 以 得 过 焦 点 的 倾 斜 角 为 30 直 线 方 程 为 3 ( )3 2 py x , 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y , 联立 2 2 3 ( )3 2 y px py x 可得: 2 2 7 04 px px AB 的中点 M 的横坐标为 7, 1 2 7 =14x x p , 计算得出: 2p , 故答案为:2. 【点睛】本题考查直线和抛物线的关系,考查中点问题,考查韦达定理的应用,属于基础题. 16.已知球O 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 内,且与该正方体的六个面都相切, E 为底面正方 形 ABCD 的中心, 1A E 与球 O 表面相交于点 F ,若 2AB ,则 EF 的长为______. 【答案】 2 6 3 【解析】 【分析】 球与该正方体的六个面都相切,则球的直径为 4,所以半径 2OE 在直角三角形 1A KE 中计 算出 1 2cos 6 KEA ,在直角三角形 OGE 中计算得到 GE 从而得解. - 14 - 【详解】 因为球与该正方体的六个面都相切,由球的对称性得 KE 过球心O ,且 KE 平面 1111 DCBA 所以 1EK A K 在直角三角形 1A EK 中 1 2, 2A K EK , 所以 1 2cos 6 KEA 作OG EF ,由球的对称性得 2EF GE ,又 1 2cos 6 GE EO KEA 2 2 62 2 36 EF GE 故答案为: 2 6 3 【点睛】与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点 的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体时,切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体时,正方体的各个顶点均 在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时,通常作它们的轴截面 解题;球与多面体组合时,通常过多面体的一条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图 进行解题. 三、解答题 17.在数列 na 中, 1 1 2a , 1(4 2) (2 1)n nn a n a . - 15 - (1)设 2 1 n n ab n ,证明: nb 是等比数列,并求 na 的通项公式; (2)设 nS 为数列 na 的前 n 项和,证明: 3nS . 【答案】(1)证明见解析; 2 1 2n n na (2)证明见解析; 【解析】 【分析】 (1)根据题意,得到 1 1 2 n n b b ,进而可证明结论成立;得出 nb ,从而可求出 na ; (2)由(1)的结果,得到 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nS ,根据错位相减法,即可求出 nS , 从而可证明结论成立. 【详解】(1)因为 1 1 2 1 n n ab n , 1(4 2) (2 1)n nn a n a ,所以 1 1(2 1) 1 (2 1) 2 n n n n b n a b n a . 又 1 1b ,所以 nb 是首项为 1 2 ,公比为 1 2 的等比数列. 于是 11 1 1 2 1 2 2 2 n n n n a bn ,故 2 1 2n n na . (2) 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n nS . 两边同乘以 1 2 得 2 3 4 1 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nS . 以上两式相减得 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2n n n nS 1 1 1 1 1 2 12 2 2 12 21 2 n n n . 故 2 33 32n n nS . 【点睛】本题主要考查等比数列的证明,以及错位相减法求数列的和,属于常考题型. 18.如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 底面 ABCD ,四边形 ABCD 是菱形,点 E 在线段 PC 上. - 16 - (1)证明:平面 EBD 平面 PAC ; (2)若 60ABC ,二面角 B PC D 的余弦值为 4 5 ,求 AB PA 的值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 2 【解析】 【分析】 (1)根据菱形的对角线垂直以及直线与平面垂直的性质可证 BD 平面 PAC ,再根据平面 与平面垂直的判定定理可证平面 EBD 平面 PAC ; (2)以OB ,OC 为 x 轴,y 轴,以平行于 PA 的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系O xyz , 根据平面的法向量可解得结果. 【详解】(1)因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC BD . 因为 PA 平面 ABCD ,所以 PA BD . 因为 PA AC A ,所以 BD 平面 PAC . 因为 BD 平面 EBD ,所以平面 EBD 平面 PAC . (2)因为 BD AC ,设 BD AC O ,分别以OB ,OC 为 x 轴, y 轴,以平行于 PA 的 直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ,设 2AB , PA t , - 17 - 设 2AB , PA t ,则 3,0,0B , 0,1,0C , 3,0,0D , 0, 1,P t , 3, 1,0CB , 3, 1,0CD , 0, 2,CP t . 设平面 PBC 的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z ,则 0 0 m CB m CP ,即 1 1 1 1 3 0 2 0 x y y tz , 取 1x t ,则 1 3y t , 1 2 3z ,则 , 3 ,2 3m t t . 设平面 PDC 的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z ,则 0 0 n CD n CP ,即 2 2 2 2 3 0 2 0 x y y tz 取 2x t ,则 2 3y t , 2 2 3z ,则 , 3 ,2 3n t t . 2 2 2 12cos , 4 12 tm n t ,因为 4cos , 5m n ,所以 2 2 2 12 4 4 12 5 t t ,所以 2 2t , 所以 2t . 于是 2AB PA . 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定定理,考查了二面角的向量求法,属于中档题. 19.2019 年 10 月,工信部颁发了国内首个 5G 无线电通信设备进网许可证,标志着5G 基站设 备将正式接入公用电信商用网络.某 4G 手机生产商拟升级设备生产5G 手机,有两种方案可供 选择,方案 1:直接引进5G 手机生产设备;方案 2:对已有的 4G 手机生产设备进行技术改造, 升级到5G 手机生产设备.该生产商对未来5G 手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟,得 到如下统计表: 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 1 3p p 预期年利润数值 (单位:亿元) 方案 1 70 40 -40 方案 2 60 30 -10 (1)以预期年利润的期望值为依据,求 p 的取值范围,讨论该生产商应该选择哪种方案进行 设备升级? - 18 - (2)设该生产商升级设备后生产的5G 手机年产量为 x 万部,通过大数据模拟核算,选择方 案 1 所生产的5G 手机年度总成本 2 1 0.0002 0.2 50y x x (亿元),选择方案 2 所生产的5G 手机年度总成为 2 2 0.0001 0.1 60y x x (亿元).已知 0.2p ,当所生产的5G 手机市场 行情为畅销、平销和滞销时,每部手机销售单价分别为 0.8 万元, 0.8 0.001x (万元), 0.8 0.002x (万元),根据(1)的决策,求该生产商所生产的5G 手机年利润期望的最大值? 并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数值. 【答案】(1) 10 3p ;选择方案见解析(2)最大值 40 亿元;这个年利润期望的最大值可 以达到预期年利润数值 【解析】 【分析】 (1)根据概率的性质可得 p 的取值范围,根据期望公式求出两种方案下的期望,再通过对 p 进行讨论可得答案; (2)根据 0.2p 可知选择方案 1,利用期望公式求出手机生产商年销售额的期望,接着求出 年利润期望值的最大值,再与方案 1 的预期平均年利润期望值进行比较可得答案. 【详解】(1)由 0 2 1 0 1 3 1 0 1 p p p ,可得 p 的取值范围为 10 3p . 方案 1 的预期平均年利润期望值为 1 2 70 (1 3 ) 40 ( 40) 40 20E p p p p 亿元. 方案 2 的预期平均年利润期望值为 2 2 60 (1 3 ) 30 ( 10) 30 20E p p p p 亿元. 当 10 4p 时, 1 2E E ,该手机生产商应该选择方案 1; 当 1 4p 时, 1 2E E ,该手机生产商可以选择方案 1,也可以以选择方案 2; 当 1 1 4 3p 时, 1 2E E ,该手机生产商应该选择方案 2; (2)因为 10.2 0, 4p ,该手机生产商将选择方案 1,此时生产的5G 手机的年度总成本 为 2 1 0.0002 0.2 50y x x (亿元). - 19 - 设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 1X , 2X , 3X (亿元), 那么 1 0.8X x , 2 2 0.8 0.001X x x , 2 3 0.8 0.002X x x . 因为 0.2p ,所以手机生产商年销售额 X 的分布列为 X 0.8x 20.8 0.001x x 20.8 0.002x x P 0.4 0.4 0.2 所以 2 2( ) 0.4 0.8 0.4 0.8 0.001 0.2 0.8 0.002E X x x x x x 20.0008 0.8x x . 2 1 0.0002 0.2 50y x x 年利润期望值 2 2 2 1( ) ( ) 0.0008 0.8 0.0002 0.2 50 0.001 0.6 50f x E X y x x x x x x (亿 元). 当 300x 时,年利润期望 f x 取得最大值 40 亿元. 方案 1 的预期平均年利润期望值为 40 20 0.2 36 (亿元). 因为 40 36 ,因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值. 【点睛】本题考查了概率的性质,考查了离散型随机变量的期望公式,属于中档题. 20.设函数 lnxf x e a x a . (1)设 1x 是 f x 的极值点,求 a ,并讨论 f x 的单调性; (2)若 0 a e ,证明:在区间 ,1a e 内, f x 存在唯一的极小值点 0x ,且 0 0f x . 【答案】(1)a e , f x 的单调减区间是 0,1 ,单调递增区间是 1, (2)证明见解析; 【解析】 【分析】 (1)利用可导函数在极值点处的导数值等于 0 可得 a e ,再验证函数在 1x 处取得极值, 再根据导数符号可求得单调区间; - 20 - (2)根据导函数在 ,1a e 内的单调性以及零点存在性定理可得导函数在 ,1a e 内有唯一零 点,从而可得函数 f x 在 ,1a e 内存在唯一的极小值点,根据极值点的范围可证极值为正数. 【详解】(1) f x 定义域为 0, , x ae xf x . 由题设 1 0f ,所以 a e . 此时 ( ) x ef x e x ,当 0 1x 时, 0f x , f x 单调递减,当 1x 时, 0f x , f x 单调递增,所以 1x 是 f x 的极小值点. 综上, a e , f x 的单调递减区间是 0,1 ,单调递增区间是 1, . (2)因为 0 a e ,所以 x ae xf x 在 ,1a e 内单调递增. 因为 0e aaf e ee , '(1) 0f e a ,所以存在 0 ,1ax e ,使得 0' 0f x . 当 0,ax xe 时, ' 0f x ,当 0 ,1x x 时, ' 0f x , 所以 f x 在 0,a xe 上单调递减,在 0 ,1x 上单调递增, 所以 f x 在区间 ,1a e 内有唯一的极小值点 0x ,没有极大值点. 由 0' 0f x 得 0 0exa x ,于是 0 0 0 0 01 lnxf x e x x x . 因为当 0 1a xe 时, 0 0 01 ln 0x x x ,所以 0 0f x . 综上, f x 在区间 ,1a e 内有唯一的极小值点 0x ,没有极大值点,且 0 0f x . 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值,考查了零点存在性定理的应用,属 于中档题. 21.已知椭圆C : 2 2 2 2 1 0x y a ba b 经过点 13, 2P ,两个焦点为 1 3,0F , - 21 - 2 3,0F . (1)求C 的方程; (2)设圆 D : 2 2 2x y r b r a ,若直线l 与椭圆C ,圆 D 都相切,切点分别为 A 和 B , 求 AB 的最大值. 【答案】(1) 2 2 14 x y (2)1 【解析】 【分析】 (1)由 3c 、 2 2 2a b c 以及点 13, 2P 在椭圆上可解得 2 4a , 2 1b ; (2)设l : y kx m ,利用直线与椭圆相切求出切点 A 的坐标,根据 2 2| | | |AB OA r 以 及基本不等式可得 AB 最大值. 【详解】(1)由题意 3c ,所以 2 2 3a b ,C 的方程可化为 2 2 2 2 1( 0)3 x y bb b . 因为C 经过点 13, 2 ,所以 2 2 3 1 13 4b b ,解得 2 1b 或 2 3 4b (舍去)., 所以 2 4a ,于是C 的方程为 2 2 14 x y . (2)设 l : y kx m ,代入 2 2 14 x y 得 2 2 24 1 8 4 4 0k x kmx m . 由 2 2 2 2 2 264 4(4 1)(4 4) 16 4 01k m mm k k ,得 2 21 4m k ①. 设 0 0,A x y ,则 0 2 4 4 4 1 km kx k m , 0 0 1y kx m m . 因为 l 与圆 D 相切,所以圆心 D 到l 距离 21 m r k ,即 2 2 21m r k ②. 由①②得 2 2 2 3 4 rm r , 2 2 2 1 4 rk r . - 22 - 所以圆 D 的切线长 2 2 2 2 2 2 0 0 4 1A kx y r mB rm 2 2 45 rr . 因为 2 2 2 2 4 42 4r rr r ,当 2r 时取等号,因为 2 1,2r ,所以 AB 的最大 值为 1. 【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆相切的位置关系,考查了直线与 圆相切的位置关系,考查了基本不等式,属于中档题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为 1 3 3 x t y t (t 为参数).以O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 2C 的极坐标方程 2 21 sin 2p . (1)求曲线 1C 的极坐标方程; (2)设 A ,B 为曲线 2C 上位于 x 轴上方的两点,且OA OB ,射线OA,OB 分别与 1C 相 交于点 D 和点C ,当 AOB 面积取最小值时,求四边形 ABCD 的面积. 【答案】(1) sin 26 ;(2) 22 3 【解析】 【分析】 (1)消去参数 t 得曲线 1C 的普通方程,代入 cosx , siny 后可得极坐标方程; (2)用极坐标求解,不妨设 1,A , 2 , 2B , 3 ,D , 4 , 2C ,求出 1 2 3 4, , , ,由 ABCD OCD OABS S S 可得. 【详解】(1)消去 1 3 3 x t y t 中的参数 t 得 3 4x y . 将 cosx , siny 代入 1C 得的极坐标方程为 sin 26 . (2)不妨设 1,A , 2 , 2B , 3 ,D , 4 , 2C , - 23 - 则 1 2 2 1 sin , 2 2 2 1 cos . AOB 面积为 1 2 2 1 1 2 2 312 sin 24 , 4 时, AOB 面积取最小值为 2 3 . 此时 3 sin 24 6 , 4 cos 24 6 , 3 4 5 5sin cos 412 12 ,可得 3 4 16 , COD△ 面积为 3 4 1 82 ,因此四边形 ABCD 的面积为 2 228 3 3 . 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化,考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,考 查极坐标的应用.极坐标方程与直角坐标方程之间通过公式 cosx , siny 实现互 化. 23.已知函数 ( ) ( 1) 1 ( )f x x a x x x a . (1)当 0a 时,求 ( ) 0f x 的解集; (2)若 0f x 在 ,0 上恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】(1) 0x x ;(2) 0a . 【解析】 【分析】 (1)当 0a 时, ( ) ( 1) 1f x x x x x .分别讨论 1x ,0 1x 和 0x 时 ( ) 0f x , 即可求得答案; (2)由(1)可知当 0a 时,在 ,0x 内 ( ) 0f x 恒成立;讨论 0a 和 0a 时, 0f x 在 ,0 上是否恒成立,即可求得答案. 【详解】(1)当 0a 时, ( ) ( 1) 1f x x x x x . 当 1x 时, 2( ) ( 1) ( 1) 2f x x x x x x ,此时 ( ) 0f x 的解集为 1x x ; 当 0 1x 时, ( ) ( 1) (1 ) 2f x x x x x x ,此时 ( ) 0f x 的解集为 0 1x x ; 当 0x 时, 2( ) ( 1) ( 1) 2f x x x x x x ,此时 ( ) 0f x 的解集为 - 24 - 综上所述 ( ) 0f x 的解集为: 0x x (2)由(1)可知当 0a 时,在 ,0x 内 ( ) 0f x 恒成立; 当 0a 时,在 ,0x 内 ( ) ( )( 1) ( 1)( ) 2 ( ) 0f x x a x x x a x x a 恒成立; 当 0a 时,在 ,0x a 内 ( ) ( )( 1) ( 1)( ) 2( ) 0f x x a x x x a x a ,不满足 ( ) 0f x 在 ( ,0) 上恒成立的条件 综上所述 0a . 【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌 握不等式基础知识和讨论法解不等式步骤,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. - 25 -查看更多