2018-2019学年湖北省襄阳市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年湖北省襄阳市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 湖北省襄阳市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知直线，则直线的倾斜角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线l：y-=0，可得直线l与x轴平行，即可得出斜率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l：y-=0，∴直线l与x轴平行，‎ 则直线的倾斜角为0°．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎2．下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（　　）‎ A．点、2，的距离为 B．点与点关于轴对称 C．点与点关于平面对称 D．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间坐标系两点多额距离公式、空间点的对称性及空间直角坐标系的概念对题目中的命题进行分析，判断正误即可．‎ ‎【详解】‎ 对于A，点P（1，-1，0）、Q（1，2，3）的距离为，A错误；‎ 对于B，点A（-3，-1，4）与B（3，-1，-4）关于y轴对称，B正确；‎ 对于C，点A（-3，-1，4）与B（3，-1，-4）不关于平面xOz对称，C错误；‎ 对于D，空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，D错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间直角坐标系的概念与应用问题，是基础题．‎ ‎3．某校高一年级从1815名学生中选取30名学生参加春节联欢晚会的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1815人中剔除15人，剩下的1800人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（　　）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抽样的定义和性质得到每个个体被抽到的概率都是相同的，进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 无论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都是相同的，都是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的应用，结合每个个体被抽到的概率都是相同的进行判断是解决本题的关键．‎ ‎4．某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（　　）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数和方差的计算公式可判断.‎ ‎【详解】‎ 某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为 ‎3．‎ 又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为s2，‎ 则，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平均数、方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．下列说法的错误的是（　　）‎ A．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为 B．经过定点的倾斜角不为的直线的方程都可以表示为 C．不经过原点的直线的方程都可以表示为 D．经过任意两个不同的点、直线的方程都可以表示为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点斜式方程可判断A；由直线的斜截式可判断B；讨论直线的截距是否为0，可判断C；‎ 由两点的直线方程可判断D．‎ ‎【详解】‎ 经过定点P（x0，y0）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y-y0=k（x-x0），故A正确；‎ 经过定点A（0，b）的倾斜角不为90°的直线的方程都可以表示为y=kx+b，故B正确；‎ 不经过原点的直线的方程不一定都可以表示为，比如x=a或y=b，故C错误；‎ 过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）直线的方程都可以表示为：‎ ‎（y-y1）（x2-x1）=（x-x1）（y2-y1），故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的适用范围，注意直线的斜率是否存在，以及截距的定义，考查判断能力和推理能力，是基础题．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的和的值分别是（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】第一次循环，是，∴；‎ 第二次循环，是，∴；‎ 第三次循环，是，∴；‎ 第四次循环，是，∴；‎ 第五次循环，是，∴；‎ 否，故输出和的值分别是 ， .‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．‎ ‎7．在进制中，数记为，则（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把2个数字转化成十进制数字，解方程即可得解k的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵167（8）=1×82+6×81+7×80=119．‎ ‎∴由题意可得：315（k）=3×k2+1×k1+5×k0=3k2+k+5=119，‎ ‎∴可得：3k2+k-114=0，‎ ‎∴解得：k=6或k=（舍）‎ ‎∴k=6．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，属于基本知识的考查．‎ ‎8．点是圆上的不同两点，且点关于直线对称，则该圆的半径等于（　　）‎ A． B． C．3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即可求出k，然后求出半径．‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心坐标，‎ 因为点M，N在圆上，且点M，N关于直线l：x-y+1=0对称，‎ 所以直线l：x-y+1=0经过圆心，‎ 所以，k=4．‎ 所以圆的方程为：，圆的半径为3．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．‎ ‎9．湖北新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则该同学选到物理这门功课的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数n==20，该同学选到物理这门功课包含的基本事件个数m==10，由此能求出该同学选到物理这门功课的概率．‎ ‎【详解】‎ 湖北新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史六门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，‎ 假设每门功课被选到的概率相等，‎ 基本事件总数，‎ 该同学选到物理这门功课包含的基本事件个数，‎ ‎∴该同学选到物理这门功课的概率为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎10．已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（　　）‎ A． B． C．或 D．0或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，求得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线l1：mx+2y-4-m=0（m＞0）在x轴、y轴上的截距相等，‎ ‎∴，∴m=2，故直线l1即：2x+2y-4-2=0，即 x+y-3=0，‎ 则直线l1与直线l2：x+y-1=0间的距离为，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题．‎ ‎11．已知圆，圆，圆与圆的公切线的条数的可能取值共有（　　）‎ A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出两圆的圆心距以及两圆半径之和和半径之差，结合两圆位置关系和切线条数关系进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 两圆的圆心和半径分别为A（0，0），半径R=1， B（2，0），半径为r， ‎ ‎|AB|=2，半径之和为1+r，半径之差为r-1， ‎ 若两圆相外切，即1+r=2，即r=1时，此时两圆公切线有3条， ‎ 若两圆外离，则1+r＜2，即0＜r＜1时，两圆公切线有4条， ‎ 若两圆相交，则r-1＜2且2＜1+r，即0＜r＜3时，两圆相交，此时公切线有2条， ‎ 若两圆内切，即r-1=2，即r=3时，此时两圆公切线有1条， ‎ 若两圆内含，即r-1＞2，即r＞3，此时两圆公切线为0条， ‎ 即圆A与圆B的公切线的条数的可能取值有5种， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆切线条数的计算，结合两圆位置关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．‎ ‎12．已知圆，圆，且圆与圆存在公共点，则圆与直线的位置关系是（　　）‎ A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由圆的方程分析两圆的圆心与半径，由B的圆心分析可得圆心B在直线ax-y+4a-2=0上；据此可得若两圆有公共点，则必有圆心A到直线ax-y+4a-2=0的距离d=≤2，解可得a的取值范围，求出圆心A到直线l的距离，结合a 的范围分析可得圆心A到直线l：x+y=a的距离d′＜1，由直线与圆的位置关系分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，圆A：x2+y2=1，圆心A（0，0），半径为1，‎ 圆B：（x-t+4）2+（y-at+2）2=1，圆心B（t-4，at-2），半径为1，‎ 其圆心B在直线ax-y+4a-2=0上，‎ 若两圆有公共点，则必有圆心A到直线ax-y+4a-2=0的距离d=，‎ 变形可得：0≤a≤，‎ 圆A的圆心A到直线l：x+y=a的距离d′=，‎ 又由0≤a≤，则有d′=＜1，‎ 则圆A与直线l：x+y=a相交；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，注意分析a的取值范围，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．用秦九韶算法计算函数,当时的值，则______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由秦九韶算法可得：f（x）=7x7+5x5+4x4+2x2+x+2=（（（（（（7x）x+5）x+4）x）x+2）x+1）x+2．进而得出v3．‎ ‎【详解】‎ 由秦九韶算法可得：f（x）=7x7+5x5+4x4+2x2+x+2=（（（（（（7x）x+5）x+4）x）x+2）x+1）x+2． ‎ 当x=1时的值，则v0=7，v1=7×1=7，v2=7×1+5=12，v3=12×1+4=16． ‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了秦九韶算法、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎14．观察下列事实：平面坐标系中，所围成的区域面积为2，所围成的区域面积为8，则所围成的区域面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性求出在第一象限内区域的面积即可．‎ ‎【详解】‎ 由对称性值|x|+|y|≤n对应的区域是不等式组对应区域的4倍，‎ 即直线x+y=n与坐标轴的坐标为（0，n），（n，0），‎ 对应区域面积，‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，根据对称性求出第一象限内区域的面积是解决本题的关键．‎ ‎15．有下列说法 ‎①互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 ‎②演绎推理是从特殊到一般的推理，它的一般模式是“三段论”‎ ‎③残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高 ‎④若，则事件与互斥且对立 ‎⑤甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为．‎ 其中正确的说法是______（写出全部正确说法的序号）．‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由事件的互斥和对立的概念可判断①；由演绎推理的定义可判断②；由残差图的形状可判断③；考虑几何概型事件的概率可判断④；设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率，可判断⑤．‎ ‎【详解】‎ 对于①，互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，故①正确；‎ 对于②，演绎推理是从一般到特殊的推理，它的一般模式是“三段论”，故②错误；‎ 对于③，残差图的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，故③正确；‎ 对于④，若P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，则事件A与B不一定互斥且对立，‎ 例如几何概型：在[-1,1]任取实数，则事件A；事件B：则有P（A∪B）=P（A）+P（B）=1，但事件A与B不互斥，故④错误；‎ 对于⑤，设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y则所有的基本事件构成的 区域Ω满足，‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域A满足，作出对应的平面区域如图，‎ 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 ‎，故⑤正确．‎ 故答案为：①③⑤．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断，主要是事件的互斥和对立，以及几何概率的求法，考查判断能力和推理能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．近年空气质量逐步雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 ‎5‎ 女 ‎10‎ 合计 ‎50‎ 已知按性别采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到男士的人数为5．‎ ‎（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（Ⅱ）能否在犯错概率不超过的前提下认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由．‎ 下面的临界值表供参考：‎ 参考公式：‎ ‎，其中 ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）不能.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设男生共有x人，则=，所以x=25，所以50人中，男生为25人，由此可得列联表；‎ ‎（Ⅱ）计算出K2，结合临界值表可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设男生共有x人，则=，所以x=25，所以50人中，男生为25人，故列联表为：‎ 患病心肺疾病 ‎ 不患心肺疾病 合计 男 ‎ 20‎ ‎5‎ ‎ 25‎ ‎ 女 ‎ 10‎ ‎15‎ ‎ 25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎ 50‎ ‎（Ⅱ）K2=≈8.333＜10.828，‎ 故在犯错概率不超过0.001的前提下不能认为患心肺疾病与性别有关．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验，属中档题．‎ ‎17．某校高一年级从某次的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）求这100份数学试卷成绩的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）从总分在和的试卷中随机抽取2份试卷，求抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）100,100；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图能求出这100份数学试卷成绩的众数和中位数． ‎ ‎（Ⅱ）总分在[55，65]共有0.002×10×100=2（份），记为A，B，总分在[135，145]的试券共有0.004×10×100=4（份），记为a，b，c，d，利用列举法能求出抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由频率分布直方图得这100份数学试卷成绩的众数为：=100，‎ 记这100份数学试卷成绩的中位数为x，‎ 则0.002×10+0.008×10+0.013×10+0.015×10+（x-95）×0.024=0.5，‎ 解得x=100，‎ ‎∴众数为100，中位数为100．‎ ‎（Ⅱ）总分在[55，65]共有0.002×10×100=2（份），记为A，B，‎ 总分在[135，145]的试券共有0.004×10×100=4（份），记为a，b，c，d，‎ 则从上述6份试卷中随机抽取2份的抽取结果为：‎ ‎{A，B}，{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，b}，{B，c}，‎ ‎{B，d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，共15个，‎ 相差超过10分的有8种，分别为：‎ ‎{A，a}，{A，b}，{A，c}，{A，d}，{B，a}，{B，d}，{B，c}，{B，d}，‎ ‎∴抽取的2份试卷总分相差超过10分的概率p=．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．某幼儿园雏鹰班的生活老师统计2018年上半年每个月的20日的昼夜温差，和患感冒的小朋友人数（/人）的数据如下：‎ 温差 患感冒人数 ‎8‎ ‎11‎ ‎14‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎26‎ 其中，，.‎ ‎（Ⅰ）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎（Ⅱ）建立关于的回归方程（精确到），预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会有什么变化？（人数精确到整数）‎ 参考数据：．‎ 参考公式：相关系数：，‎ 回归直线方程是， ,‎ ‎【答案】(Ⅰ)线性回归模型拟合与的关系；(Ⅱ)人数会增加10人 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求相关系数，在通过相关系数进行说明。‎ ‎（Ⅱ）求出线性回归方程，将代入线性回归方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)，‎ ‎．‎ 故，∴可用线性回归模型拟合与的关系；‎ ‎(Ⅱ)，，，‎ ‎∴关于的回归方程为．当时，．‎ 预测当昼夜温差升高时患感冒的小朋友的人数会增加10人．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查相关系数于线性回归方程，用线性回归模型拟合与的关系， 越接近于1，拟合效果越好。‎ ‎19．已知函数的图象所过的定点为，光线沿直线射入，遇直线后反射，且反射光线所在的直线经过点，求的值和的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数y=1+loga（x+6）（a＞0，a≠1），令x+6=1，解得x=-5．可得定点M（-5，1）．联立，解得直线l1与l2的交点．设点M关于直线l的对称点设M0（x0，y0），可得，解得交点．可得直线l1的斜率k1．解得m即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数y=1+loga（x+6）（a＞0，a≠1），令x+6=1，解得x=-5．∴定点M（-5，1）．‎ 联立，解得，‎ ‎∴直线l1与l2的交点为．‎ 设点M关于直线l的对称点设M0（x0，y0），‎ 则，解得，即（-1-m，5-m）．‎ ‎∴直线l1的斜率k1==2，解得m=-5．‎ 此时l2的方程为：x-2y+7=0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数函数过定点问题、直线方程、对称问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知直线截圆所得的弦长为．直线的方程为．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线过定点，点在圆上，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，求出圆心到直线l的距离，由直线与圆的位置关系可得2×=，代入圆的方程，解可得r的值，即可得答案，‎ ‎（Ⅱ）根据题意，将直线l1的方程变形可得（x-y）+m（2x+y-3）=0，进而解可得P的坐标，设MN的中点为Q（x，y），分析可得OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，化简可得：（x-）2+‎ ‎（y-）2=，可得点Q的轨迹，据此结合直线与圆的位置关系分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）根据题意，圆O：x2+y2=r2（r＞0）的圆心为（0，0），半径为r，‎ 则圆心到直线l的距离d==，‎ 若直线l：x+y-1=O截圆O：x2+y2=r2（r＞0）所得的弦长为，则有2×=，‎ 解可得r=2，则圆的方程为x2+y2=4；‎ ‎（Ⅱ）直线l1的方程为（1+2m）x+（m-1）y-3m=0，即（x-y）+m（2x+y-3）=0，‎ 则有，解可得，即P的坐标为（1，1），‎ 设MN的中点为Q（x，y），则|MN|=2|PQ|，‎ 则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2，即4=x2+y2+（x-1）2+（y-1）2，‎ 化简可得：（x-）2+（y-）2=，‎ 则点Q的轨迹为以（，）为圆心，为半径的圆，P到圆心的距离为，‎ 则|PQ|的取值范围为[，]，‎ 则|MN|的取值范围为[-，+]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交时弦长的计算，属于基础题．‎ ‎21． 是虚数单位，且．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设复数，且满足复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求a、b的值； ‎ ‎（Ⅱ）利用复数代数形式的乘除运算，再由实部与虚部相等列式求得y，则z可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）∵a+bi=，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵z=-1+yi，∴（a+bi）z=（3-i）（-1+yi）=（-3+y）+（3y+1）i，‎ 由题意，-3+y=3y+1，即y=-2．‎ ‎∴z=-1-2i．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．‎