2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一下学期期中考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省衡阳市第八中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题 ‎1．的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，故选D．‎ ‎【考点】1、三角函数的诱导公式；2、特殊角的三角函数值．‎ ‎2．已知向量，，若，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据向量数量积运算的定义可求得夹角的余弦值，从而得到夹角.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ ‎，解得：‎ 与的夹角为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量夹角的求解，关键是能够熟练掌握向量数量积的定义，属于基础题.‎ ‎3．已知角的终边经过点，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据任意角三角函数定义求得，利用两角和差正切公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由任意角的三角函数定义可知：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角和差正切公式求解正切值，涉及到三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎4．已知，，则在上的投影为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用直接求得结果.‎ ‎【详解】‎ 在上的投影为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量在上的投影，关键是能够应用向量数量积得到投影公式，根据坐标运算求得结果.‎ ‎5．中，角所对的边分别为，已知，A，则（　　）‎ A． B． C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理，可得：，进而可求解角B的大小，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，因为，，，‎ 由正弦定理，可得：，‎ 又因为，则，可得：，所以或．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数的应用，其中解答中利用正弦定理，求得是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎6．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分子分母同时除以，可将所求式子化为关于的式子，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过除法运算构造出关于正切值的式子，属于常考题型.‎ ‎7．已知中，，，是边上一动点，则（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据平面向量基本定理可将问题变为，根据垂直关系和数量积运算的性质可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的求解，关键是能够根据平面向量基本定理将问题转化为夹角和模长已知的向量的数量积的求解问题.‎ ‎8．已知向量，（其中，），若函数为偶函数，则的取值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据数量积运算、二倍角和辅助角公式整理出，根据函数奇偶性可得，，结合的范围求得结果.‎ ‎【详解】‎ 为偶函数 ， ，‎ 又 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据三角函数的性质求解函数解析式的问题，涉及到向量的数量积运算、根据二倍角和辅助角公式化简的问题，属于常考题型.‎ ‎9．已知内角所对的边分别为，满足，且，则的外接圆半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据余弦定理化简条件得，再根据正弦定理求外接圆半径.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以，从而外接圆半径为,选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理以及正弦定理，考查基本求解能力,属基本题.‎ ‎10．在中，若，则是( )‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．非等腰三角形 D．直角三角形]‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角恒等变换的公式，化简得到,求得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，在中，若，‎ 即，‎ 化简得，即,‎ 所以，即，所以是等腰三角形，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角形形状的判定，其中解答中熟练应用三角恒等变换的公式，化简得到是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎11．若对于任意都有，则函数的图象的对称中心为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（–x）=3cosx–sinx①，用–x代替x，得f（–x）+2f（x）=‎ ‎3cos（–x）–sin（–x），即f（–x）+2f（x）=3cosx+sinx②；①②联立，解得f（x）=sinx+cosx，所以函数y=f（2x）–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x，图象的对称中心为（，0），k∈Z，故选D．‎ ‎12．如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由平面向量基本定理可知，结合垂直关系和数量积运算性质可知，根据数量积的定义，可得，从而求得范围.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ ‎ ‎ 的半径为 ‎ 又，∴‎ ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积取值范围的求解问题，关键是能够通过平面向量基本定理和垂直关系将所求数量积转化为，通过数量积的定义，结合三角函数的范围求得对应的取值范围.‎ 二、填空题 ‎13．设平面向量，，若，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据向量共线的性质构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线定理的应用，属于基础题.‎ ‎14．若的三边长为2，4，5，则的最大角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角形大边对大角可知所对的角为的最大角，利用余弦定理求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由三边长可知：所对的角为的最大角，设此角为 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点.‎ ‎15．已知对任意恒成立，则的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将问题转变为，利用二次函数，的性质可求得，从而得到所求范围.‎ ‎【详解】‎ 由得：‎ 设，，可知对称轴为：‎ 即 ，即的取值范围为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒成立问题的求解，涉及到与余弦函数有关的二次函数的最值求解，关键是能够通过分离变量将问题转化为所求参数与函数最值的大小关系上.‎ ‎16．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据模长关系可求得，通过平方运算可将恒成立的不等式化为，根据的取值范围，可知若不等式恒成立，则当时，不等式均成立，从而构造出不等式组求得范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 由得：‎ 即：‎ 则：‎ 为非零向量 ‎ 则：恒成立 ‎ ，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查恒成立问题的求解，关键是能够通过平方运算将向量的模长关系转化为数量积运算的形式，进而将不等式转化为与夹角余弦值有关的不等式，进而根据余弦值的取值范围构造出不等式.‎ 三、解答题 ‎17．已知，，均为锐角，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】（1） ；（2）．‎ ‎【解析】（1）计算出，，对进行平方，根据两角和差余弦公式可构造出关于的方程，解方程求得结果；（2）根据角的范围可求得，，根据，利用两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：，‎ 解得：‎ ‎（2） ‎ 由，可得：，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据两角和差余弦公式化简、求值的问题，涉及到向量数量积运算、同角三角函数值的求解，易错点是忽略角的范围，造成求解同角三角函数值时出现符号错误.‎ ‎18．在中，内角所对的边分别为，已知．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）12.‎ ‎【解析】（1）由正弦定理化简边角关系式可求得，根据的范围可求得；（2）利用三角形面积公式可求得；利用余弦定理构造出关于的方程，求出；根据周长等于求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由三角形面积可知：‎ 由余弦定理可知：‎ 解得：‎ 的周长为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、三角形面积公式、余弦定理的应用，属于常考题型.‎ ‎19．已知函数= 的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的单调增区间;‎ ‎(3)求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) ;（2）单调递增区间为 (3) 时, 取得最大值1; 时,f(x)取得最小值．‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用图象的最高点和最低点的纵坐标确定振幅,由相邻对称轴间的距离确定函数的周期和值;‎ ‎(2)利用正弦函数的单调性和整体思想进行求解;‎ ‎(3)利用三角函数的单调性和最值进行求解．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由图象知 由图象得函数的最小正周期为= ,‎ 则由= 得．‎ ‎(2)令 ‎. ‎ ‎. ‎ 所以f(x)的单调递增区间为 ‎（3）‎ ‎.‎ ‎.‎ 当即时, 取得最大值1;‎ 当即时,f(x)取得最小值．‎ ‎20．如图，在中，已知为线段上的一点，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，，且与的夹角为时，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据平面向量基本定理可得，整理可得结果；（2）根据平面向量基本定理可求得，，根据数量积的运算法则代入模长和夹角，整理可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由得：‎ ‎，‎ ‎（2）由得： ‎ 又，，且与的夹角为 则 ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量基本定理的应用、平面向量数量积的求解，关键是能将所求向量的数量积通过平面向量基本定理转化为已知模长和夹角的向量的数量积运算.‎ ‎21．已知函数，‎ ‎（1）求函数的最小正周期；‎ ‎（2）设的内角的对边分别为，且，，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式可将函数整理为，利用求得结果；（2）由，结合的范围可求得；利用两角和差正弦公式和二倍角公式化简已知等式，可求得；分别在和两种情况下求解出各边长，从而求得三角形面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 的最小正周期：‎ ‎（2）由得：，即：‎ ‎，，解得：，‎ ‎ ‎ 由得：‎ 即：‎ 若，即时，‎ 则： ‎ 若，则 由正弦定理可得：‎ 由余弦定理得：‎ 解得： ‎ 综上所述，的面积为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦型函数的最小正周期、三角形面积的求解，涉及到正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、两角和差正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，考查学生对于三角函数、三角恒等变换和解三角形知识的掌握.‎ ‎22．已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到：先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度.‎ ‎（1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程；‎ ‎（2） 已知关于的方程在内有两个不同的解、.‎ ‎（i）求实数的取值范围；‎ ‎（ii）证明：.‎ ‎【答案】(1), 的对称轴方程为.‎ ‎ (2)（i）,（ii）证明见解析.‎ ‎【解析】解法一：（1）将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为 ‎（2）1）‎ ‎（其中）‎ 依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当 ‎，故m的取值范围是.‎ ‎2）因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时,‎ 所以 解法二：（1）同解法一.‎ ‎（2）1） 同解法一.‎ ‎2） 因为是方程在区间内有两个不同的解，‎ 所以，.‎ 当时，‎ 当时,‎ 所以 于是 ‎【考点】1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．‎