2018-2019学年河南省豫南九校高二下学期第二次联考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年河南省豫南九校高二下学期第二次联考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 河南省豫南九校2018-2019学年高二下学期第二次联考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若是函数的导函数，则的值为（ ）‎ A．1 B．3 C．1或3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的导函数，然后求出函数值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的求法，解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式和求导法则，属于简单题．‎ ‎2．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了焦点在轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式。‎ ‎3．的一个必要不充分条件是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解不等式，然后确定其必要不充分条件即可.‎ ‎【详解】‎ 求解不等式可得，‎ 结合所给的选项可知的一个必要不充分条件是.‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件的理解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎4．函数的单调减区间是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，令，解不等式即可。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，‎ 由得，得，得，‎ 即函数的单调递减区间为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题。‎ ‎5．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的几何运算可得结果．‎ ‎【详解】‎ 根据向量的三角形法则得到 ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量以及线性运算，属于基础题.‎ ‎6．在等差数列中，，则该数列前9项的和等于（ ）‎ A．15 B．18 C．21 D．27‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据微积分基本定理可求得，由等差数列的求和公式结合等差数列的性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查微积分基本定理的应用、等差数列的性质以及等差数列的求和公式，属于中档题. 解等差数列有关的问题时，一定要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系.‎ ‎7．下列有关命题的叙述错误的是（ ）‎ A．命题“，”的否定是“，”‎ B．命题“，则”的逆否命题为“若，则”‎ C．命题“，”是真命题 D．若“”为真命题，则命题、中至多有一个为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“，”，故A正确；“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故B正确；因为的判别式，所以函数与轴有两个交点，即不可能恒成立，故C错误；因为“”为真命题，所以为假命题，所以、中至多有一个为真命题，故D正确.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假的判断、含有全称量词命题的否定和写出一个命题的逆否命题。‎ ‎8．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于、（在 轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）‎ A． B．3 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出抛物线的准线，设A、B在l上的射影分别是、，过B作于由抛物线的定义结合题中的数据，可算出中，得，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 设A、B在l上的射影分别是、，‎ 过B作于由抛物线的定义可得出中，得，‎ ‎，解得．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了转化思想，是中档题．‎ ‎9．已知函数为上的可导函数，且，均有，则有（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，．，根据，均有，可得函数的单调性，进而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：令，．‎ ‎，‎ ‎，均有，‎ 在上单调递增，‎ ‎，‎ 可得：，．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎10．已知函数，则不正确的选项是（ ）‎ A．在处取得极大值 B．在上有两个极值点 C．在处取得极小值 D．函数在上有三个不同的零点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，让导函数为零，求解方程。然后利用函数的单调性，判断函数极值情况。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，令，得或，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数递增。故函数在处取得极小值，在处取得极大值。 ‎ 方程有两个不相等的实根，故函数在上有两个不同的零点.根据以上得出的结论可以判断选项D说法不正确，故本题选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用函数的导数判断函数极值、单调性问题。‎ ‎11．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线右支于点，且为线段的中点，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得点的坐标，根据中点坐标公式求得点坐标，将点坐标代入双曲线方程，化简后求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由于双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以，由于是的中点，故，代入双曲线方程并化简得，即，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线焦点到渐近线的距离是一个定值，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线的离心率.‎ ‎12．已知函数，，方程在内有两个不同的实根，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把关于的方程在上有两个不同的解，转化为函数与的图象在有两个不同交点，利用导数求出函数在上的单调性及值域，数形结合得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为方程在内有两个不同的实根，所以在上有两个不同的实数解，即：在上有两个不同的实数解，令，所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎，，，‎ 要使在上有不同的实数解，则，解得：‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查转化思想，利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知在处的切线方程为，则实数的值为_______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，通过已知可以求出切线方程的斜率，然后把代入导函数中，求出实数的值。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，由题意有，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的导数的几何意义。‎ ‎14．在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题意，建立坐标系，运用向量的数量积公式，计算夹角余弦值，即可。‎ ‎【详解】‎ 结合题意，绘制图形，建立坐标系，得到点的坐标分别为：‎ 故 ‎ ‎，所以 ‎【点睛】‎ 本道题考查了向量数量积公式，考查了异面直线所成角余弦值计算方法，难度中等。‎ ‎15．已知椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上不同于，的一点，若直线与直线的斜率之积等于，则椭圆的离心率为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出M坐标，由直线AM，BM的斜率之积为得一关系式，再由点M在椭圆上变形可得另一关系式，联立后结合a、b、c的关系求得椭圆的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由椭圆方程可知，A（﹣a，0），B（a，0），‎ 设M（x0，y0），∴，，‎ 则，整理得：，①‎ 又，得，‎ 即，②‎ 联立①②，得，即，解得e．‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的简单性质及椭圆方程的应用，考查了数学转化思想方法，是中档题．‎ ‎16．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导，让导函数为零。得到一个一元二次方程，根据两根分步情况，列出满足条件的不等式组，得到一个可行解域，令，通过平移函数的图象，最后确定的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为的两个极值点分别在区间与内，‎ 即的两个根分别在区间与内，‎ 则，令，则问题转化为在约束条件下，‎ 求的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），‎ ‎ ‎ 目标函数转化为，由图可知，在处取得最大值，‎ 在处取得最小值，因为可行域不包含边界，‎ ‎∴的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数极值问题、以及线性归划问题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.‎ ‎【答案】（1）圆的圆心坐标为，‎ 即抛物线的焦点为,……………………3分 ‎∴∴抛物线方程为……………………6分 ‎1. 由题意知直线AD的方程为…………………7分即代入得=0‎ 设，则，‎ ‎……………………11分 ‎∴‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；‎ ‎（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设抛物线方程为， ‎ 圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴． ‎ 抛物线的方程为：； ‎ ‎（2）依题意直线的方程为 ‎ 设，，则，得， ‎ ‎，． ‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）求函数图像过点的切线的方程；‎ ‎（2）求函数的图像与直线所围成的封闭图形的面积.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为或(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设切点为，切线斜率，即可求得曲线在 点处的切线方程，把点代入解出即可；（2）联立函数与直线的方程，从而可得函数的图象与直线所围成的封闭图形的面积：，利用微积分基本定理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设切点为，切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，把点代入，得或，所以切线方程为或.‎ ‎（2）由或 所以所求的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题. 应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.‎ ‎19．已知命题：函数在上单调递减；命题：曲线为双曲线.‎ ‎（1）若“”为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“” 为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）对函数求导，利用分离常数法求得命题中的取值范围，利用双曲线的标准方程的概念求得命题中的取值范围. 若“且”为真命题则均为真命题，求中两个的取值范围的交集，得到题目所求的取值范围.（II）若“或”为真命题，“且”为假命题，则一真一假，分别根据“真假”或者“假真”两类，结合（I）的数据，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）若为真命题，在恒成立，即在恒成立，∵在的最大值是3， ①‎ 若为真命题，则，解得，②‎ 若“且”为真命题，即，均为真命题，所以，解得，‎ 综上所述，若“且”为真命题，则实数的取值范围为； ‎ ‎（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，即，一真一假，‎ 当真假时，，解得，‎ 当假真时，，解得，‎ 综上所述，实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有简单逻辑连接词命题真假性求参数，考查导数和双曲线的有关知识，属于中档题.‎ ‎20．如图，在直三棱柱中，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是正三角形，且，求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，通过证明可证到线面平行。（2）可求得，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.由空间向量求得线面角。‎ 试题解析：（1）连接，设与的交点为，则为的中点，连接，又是的中点，所以.又平面，平面，所以平面 ‎.‎ ‎（2）是的中点，是正三角形，则，，，‎ 设，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.‎ 则，，，，，， .‎ 设是平面的法向量，则，可取平面的法向量为，则 ‎ ，所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】空间向量在立体几何中的应用 ‎(1)两条异面直线所成角的求法：设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．‎ ‎(2)直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ ‎(3)求二面角的大小：①如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝‎ ‎②如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．‎ ‎21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用待定系数法求出椭圆方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系求出的中点的坐标，根据得出点横坐标的表达式，利用基本不等式得出的取值范围.‎ 试题解析：(1)由已知得，解得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎(2)设，的中点为，点，使得,‎ 则.‎ 由得，由，得.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎∵∴，即，‎ ‎∴.‎ 当时，（当且仅当，即时，取等号），‎ ‎∴；‎ 当时，（当且仅当，即时，取等号），‎ ‎∴，∴点的横坐标的取值范围为.‎ ‎22．已知函数在处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数的值，并判断函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有两个零点，且，求证：.‎ ‎【答案】（1）在上是单调递减；在上是单调递增. （2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，利用导数可求的单调区间.‎ ‎（2）由可得，，令，则且，构建新函数，利用导数可以证明即.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数的定义域：，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ 令，解得，故在上是单调递减；‎ 令，解得，故在上是单调递增. ‎ ‎（2）由为函数的两个零点，得 两式相减，可得 ‎ 即，， ‎ 因此， ‎ 令，由，得.‎ 则， ‎ 构造函数， ‎ 则 所以函数在上单调递增，故，‎ 即，可知.故命题得证.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎（2）函数有两个不同的零点，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设，再利用得到、‎ 与的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．‎