2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

2017-2018学年江西省崇仁县第二中学高二上学期第一次月考数学（文）试题

崇仁二中2017-2018学年高二上学期第一次月考 文科数学试卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.一个人投篮时连续投两次，则事件“至多投中一次”的互斥事件是（ ）‎ A．只有一次投中 B．两次都投中 ‎ C. 两次都不中 D．至少投中一次 ‎2.已知角的终边上一点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体300名职工中抽取20名职工进行一项安全生产调查，现将300名职工从1到300进行编号，已知从31到45这15个编号中抽到的编号是36，则在1到15中随机抽到的编号应是（ ）‎ A．4 B．‎5 C．6 D．7‎ ‎4．记为等差数列的前项和．若， ，则的公差为（ ）‎ A． 2 B． ‎4 C． 6 D． 8‎ ‎5.已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，以下能推出“”的是（ ）‎ A．，， B．，， ‎ C. ，， D． ，， ‎ ‎6. 圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7. 的内角的对边分别是，已知，，则等于( )‎ A. 2 B. ‎3 C. 4 D. 5‎ ‎8．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个白球的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 执行如图的程序框图，则输出的值为（ ）‎ 结束 开始 shi 始 A． B． C．2 D．‎ ‎ 甲组 乙组 ‎8 7 9‎ ‎ 6 4 8　 8 3 n 8‎ ‎ ‎5 m 2　 9 2 2 5‎ ‎10. 我校奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中 两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，‎ 乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）‎ A．10　　　　 B．‎11　　　‎　 C．12　　　　　 D．13‎ 11. 设实数满足约束条件，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 12. 已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项使得，‎ 则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字3是这三个不同数字的中位数的概率是 ．‎ ‎14．若样本，的平均数为10，方差为2，则对于样本，‎ 其平均数和方差的和为　　 ．‎ ‎15.圆上的点到直线的距离的最小值为 ．‎ ‎16.某单位为了了解用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温 ‎（如表），并求得线性回归方程为．不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知　 　．‎ 气温 ‎13‎ ‎10‎ ‎﹣1‎ 电量 ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 抚州市某学校在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限（单位：年，）和所支出的维护费用（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：‎ 使用年限（年）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 维护费用（万元）‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若规定当维护费用超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用 年限的最大值.（参考公式：最小二乘估计线性回归方程中系数计算公式：）‎ ‎，‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列的首项，前项和为．‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 国庆期间，高速公路堵车现象经常发生.某调查公司为了了解车速，在临川收费站从7座以下小型汽车中按进收费站的先后顺序，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40辆汽车进行抽样调查，将他们在某段高速公路的车速）分成六段后，得到如图的频率分布直方图.‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从这40辆车速在的小型汽车中任意 抽取2辆，求抽出的2辆车车速都在的概率．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ P B E D C A 如图，在底面是矩形的四棱锥P‒ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA = AB = 2，BC = 4， E是PD的中点，‎ ‎（1）求证：平面EAC； ‎ ‎（2）求证：平面PDC⊥平面PAD； ‎ ‎（3）求多面体的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众 中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有个人，把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组 ‎，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.‎ ‎（1）求和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；‎ ‎（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；‎ ‎（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知圆O：和圆C：．‎ ‎（1）判断圆O和圆C的位置关系；‎ ‎（2）过圆C的圆心C作圆O的切线，求切线l的方程；‎ ‎（3）过圆C的圆心C作动直线m交圆O于A，B两点．试问：在以AB为直径的所有圆中，是否 存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．‎ 一．选择题：BDCACD BDACAD 二．填空题：13. 14. 13 15. 2 16. 100 ‎ 三．解答题：‎ ‎17. 【解析】（1）， ……………4分 ‎ ‎ ‎ ‎ ………………7分 ‎ ………………8分 ‎ 故线性回归方程为. ………………9分 ‎ ‎（2）当维护费用超过13.1万元时，即 ‎ 从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年. ‎ 答：该批空调使用年限的最大值为11年. ………………12分 ‎ 18．解：由题意得 两式相减得，………………3分 所以当时，是以为公比的等比数列.因为 所以，，对任意正整数成立，是首项为，公比为的等比数列，所以得.……7分 ‎（2），………………8分 所以，………………9分 ‎………………12分 ‎19.解：(1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为………2分 由题图可知，中位数应该在之间，设为，‎ 则，解得：‎ 即中位数的估计值为……………………………………………………6分 ‎(2)这辆车中，车速在 的共有 (辆)，‎ 其中车速在 的有(辆)，记为 车速在 的有 (辆)，记为……………………8分 从车速在 的这辆汽车中任意抽取辆的可能结果有种不同的结果，‎ 其中抽出的辆车车速都在 的结果有种………………10分 因为抽到每种结果都是等可能的，所以从这辆车速在的汽车中任意抽取辆，‎ 抽出的辆车车速都在 的概率为…………………………………12分 20. 解：（1）连接BD交AC于点G,连接EG，因为E为PD的中点，G为BD的中点，‎ 所以,又因为,，‎ 所以.………………4分 ‎（2），，. ‎ ‎　　　 , . 而, 平面 ‎ . . ………………8分 ‎ ‎（3）,因为E为PD的中点，,‎ 所以点E到平面ADC的距离是,即,‎ 所以………………12分 ‎21.解：（1）由题意可知，，………………1分 由，解得，………………3分 由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；………………4分 ‎（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1‎ 则从第1组抽取的人数为,从第3组抽取的人数为，‎ 从第4组抽取的人数为；………………6分 （2） 设第1组抽取的2人为，第3组抽取的3人为，第4组抽取的1人为，‎ 则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，‎ ‎，共有15个基本事件.………………9分 其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有共4个基本 事件，………………11分 所以抽取的2人来自同一个组的概率.………………12分 ‎22.解：（ 1）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1=2，圆C的圆心C（0，4），半径r2=1，‎ 所以圆O和圆C的圆心距，所以圆O与圆C相离．……………2分 ‎（2）设切线的方程为：，即，‎ 所以O到的距离，解得．………………4分 所以切线的方程为或………………5分 ‎（3）ⅰ）当直线m的斜率不存在时，直线m经过圆O的圆心O，‎ 此时直线m与圆O的交点为A（0，2），B（0，﹣2），‎ AB即为圆O的直径，而点M（2，0）在圆O上，‎ 即圆O也是满足题意的圆………………6分 ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：，‎ 由，消去y整理，得，‎ 由，得或．………………7分 设，‎ 则有…①………………8分 由①得 ‎，…②‎ ‎，…③………………9分 若存在以AB为直径的圆P经过点M（2，0），则，所以，‎ 因此,‎ 即，………………10分 则，所以，即，满足题意．‎ 此时以AB为直径的圆的方程为，‎ 即，亦即．………………11分 综上，在以为直径的所有圆中，‎ 存在圆P：或，使得圆P经过点 ‎。……………12分