数学卷·2018届江西省九江一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届江西省九江一中高二下学期第一次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年江西省九江一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，i为虚数单位．则z的虚部为（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎2．已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]‎ ‎3．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎4．给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；‎ ‎②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；‎ ‎③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎5．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高x（cm）‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y（kg）‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（　　）‎ A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg ‎6．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1， a3，2a2成等差数列，则=（　　）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎7．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（　　）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎8．已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2e﹣2，+∞） D．[2e﹣2，+∞）‎ ‎9．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎10．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）‎ ‎11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎12．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知曲线C的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ，则其直角坐标方程为　　．‎ ‎14．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=　　．‎ ‎15．若实数x，y满足，则z=的最小值为　　．‎ ‎16．给出不等式≥（x∈R），若此不等式对任意的实数x都成立，则实数c的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．在直角坐标系xOy，圆C1和C2方程分别是C1：（x﹣2）2+y2=4和C2：x2+（y﹣1）2=1．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C1和C2的极坐标方程；‎ ‎（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；‎ ‎（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎20．某教育机构为了解本地区高三学生上网的情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天上网时间的频率分布直方图：将每天上网时间不低于40分钟的学生称为“上网迷”．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×‎ ‎2列联表，并据此资料你是否认为“上网迷“与性别有关？‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量高三学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“上网迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X=2的概率．‎ 附：X2=，‎ P（X2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ‎（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省九江一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知复数，i为虚数单位．则z的虚部为（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解： =，‎ ‎∴z的虚部为﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，‎ B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，‎ 则A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，‎ ‎∴9a5=27，a5=3，‎ 又∵a10=8，‎ ‎∴d=1，‎ ‎∴a100=a5+95d=98，‎ 故选：C ‎　‎ ‎4．给出下列结论：①命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；‎ ‎②命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；‎ ‎③数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件．‎ 其中正确的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用命题的否定判断①的正误；充要条件判断②的正误；等比数列的定义判断③的正误．‎ ‎【解答】解：对于①，命题“∀x∈R，sinx≠1”的否定是“∃x∈R，sinx=1”；满足命题的否定形式，所以①正确．‎ 对于②，命题“α=”是“sinα=”的充分不必要条件；前者能够说明后者成立，sinα=成立则α=不一定成立，所以②正确；‎ 对于③，数列{an}满足“an+1=3an”是“数列{an}为等比数列”的充分必要条件错误．例如：数列是常数列{0}，则满足“an+1=3an”，数列不是等比数列，所以③不正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：‎ 身高x（cm）‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎170‎ ‎175‎ ‎180‎ 体重y（kg）‎ ‎63‎ ‎66‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎74‎ 根据上表可得回归直线方程=0.56x+‎ ‎，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（　　）‎ A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报身高为172cm的高三男生的体重 ‎【解答】解：由表中数据可得==170， ==69‎ ‎∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上 故69=0.56×170+解得 =﹣26.2‎ 故 =0.56x﹣26.2‎ 当x=172时， =0.56×172﹣26.2=70.12 ‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1， a3，2a2成等差数列，则=（　　）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0），由题意可得关于q的式子，解之可得q，而所求的式子等于q2，计算可得．‎ ‎【解答】解：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，（q＞0）‎ 由题意可得2×a3=3a1+2a2，即q2﹣2q﹣3=0，‎ 解得q=﹣1（舍去），或q=3，‎ 故==q2=9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（　　）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎【考点】双曲线的应用．‎ ‎【分析】过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，求得横坐标之和等于2，不符合题意；进而设直线AB为y=k（x﹣1）与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．‎ ‎【解答】解：过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，‎ 若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合．‎ 故设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x﹣1）‎ 代入抛物线y2=4x得，k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0‎ ‎∵A、B两点的横坐标之和等于5，‎ ‎∴，‎ 则这样的直线有且仅有两条，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）=，其中e是自然对数的底数，若直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，则常数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2e﹣2，+∞） D．[2e﹣2，+∞）‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由题意，二次函数开口应该向上，并且ae2≥2，得到a≥2e﹣2，得到选项．‎ ‎【解答】解：函数图象如下，‎ 要使直线y=2与函数y=f（x）的图象有三个交点，只要ae2≥2，解得a≥2e﹣2；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，进而确定出BD与CD的长，再三角形ABD与三角形ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB与cos∠ADC，根据两值互为相反数求出AD的长即可．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，‎ 利用余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC=27+9﹣27=9，即BC=3，‎ ‎∴BD=1，CD=2，‎ 在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB=，‎ 在△ADC中，由余弦定理得：cos∠ADC=，‎ ‎∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC，即=﹣，‎ 解得：AD=（负值舍去），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，3） B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，‎ 当焦点在x轴上时，‎ 可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，‎ ‎∵方程﹣=1表示双曲线，‎ ‎∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，‎ 解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．‎ 当焦点在y轴上时，‎ 可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，‎ 无解．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知点A（0，1），曲线C：y=alnx恒过定点B，P为曲线C上的动点且•的最小值为2，则a=（　　）‎ A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】运用对数函数的图象特点可得B（1，0），设P（x，alnx），运用向量的数量积的坐标表示，可得f（x）=•=x﹣alnx+1，x∈（0，+∞）再由导数，求得极值点即为最值点，对a讨论通过单调性即可判断．‎ ‎【解答】解：曲线C：y=alnx恒过点B，则令x=1，可得y=0，‎ 即B（1，0），又点A（0，1），设P（x，alnx），‎ 则•=f（x）=x﹣alnx+1，‎ 由于f（x）=x﹣alnx+1在（0，+∞）上有最小值2，‎ 且f（1）=2，故x=1是f（x）的极值点，即最小值点．‎ f′（x）=1﹣=，‎ a＜0，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；‎ 当a＞0，x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，a）是减函数，在（a，+∞）是增函数，有最小值为f（a）=2，即a﹣alna+1=2，解得a=1；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．已知圆O1：（x﹣2）2+y2=16和圆O2：x2+y2=r2（0＜r＜2），动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1＞e2），则e1+2e2的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】分别求出e1、e2（e1＞e2），利用基本不等式求出e1+2e2的最小值．‎ ‎【解答】解：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|+|MO1|=4﹣r=2a，∴e1=．‎ ‎②当动圆M与圆O1相内切而与O2相外切时，|MO1|+|MO2|=4+r=2a′，∴e2=‎ ‎∴e1+2e2=+=，‎ 令12﹣r=t（10＜t＜12），e1+2e2=2×≥2×==‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知曲线C的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ，则其直角坐标方程为　x2+（y+1）2=1　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】先将极坐标方程ρ=2sinθ两边同乘以ρ后，即可化成直角坐标方程．‎ ‎【解答】解：将极坐标方程ρ=﹣2sinθ两边同乘ρ，化为：ρ2=﹣2ρsinθ，‎ 化成直角坐标方程为：x2+y2+2y=0，‎ 即x2+（y+1）2=1．‎ 故答案为：x2+（y+1）2=1．‎ ‎　‎ ‎14．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=　2　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】根据题意，求出函数的半周期，计算ω的值，再求出φ的值，写出f（x）的解析式，即可计算出f（﹣1）的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，A，B两点之间的距离为5，A，B两点的纵坐标的差为4，‎ 所以函数的半周期为T==3，解得T=6；‎ 则ω==，‎ 函数解析式为f（x）=2sin（x+φ）；‎ 由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=；‎ 又0≤φ≤π，∴φ=，；‎ 则f（x）=2sin（x+），或f（x）=2sin（x+），‎ ‎∴f（﹣1）=2sin（﹣+）=2sin=2．或f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣1（由函数图象舍去），‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．若实数x，y满足，则z=的最小值为　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．设Q（x，y）为区域内一点，定点P（2，﹣2），可得目标函数z表示P、Q两点连线的斜率，运动点Q并观察直线PQ斜率的变化，即可得到z的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意作平面区域如下：‎ 得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（0，1），B（﹣1，2），C（1，2），‎ 设Q（x，y）为区域内一个动点，定点P（2，﹣2）．‎ 可得z=的几何意义是表示P、Q两点连线的斜率，‎ 运动点Q，可得当Q与C重合时，kPQ==﹣4达到最小值，‎ 即z的最小值是﹣4，‎ 故答案为：﹣4‎ ‎　‎ ‎16．给出不等式≥（x∈‎ R），若此不等式对任意的实数x都成立，则实数c的取值范围是　c≥1　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由不等式≥（x∈R），可得： +≥+，化为： ≥0，由于≥0．即有1﹣≥0，可得•≥1，化为x2≥﹣c，化为﹣c≤0，即可得出．‎ ‎【解答】解：由不等式≥（x∈R），可得： +≥+，‎ 化为： ≥0，‎ 由于≥0．即有1﹣≥0，可得•≥1⇒x2≥﹣c，‎ 若恒成立则必有﹣c≤0，解得c≥1．‎ 故答案为：c≥1．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．在直角坐标系xOy，圆C1和C2方程分别是C1：（x﹣2）2+y2=4和C2：x2+（y﹣1）2=1．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求圆C1和C2的极坐标方程；‎ ‎（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|•|OQ|的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）先分别求出一般方程，再写出极坐标方程；‎ ‎（2）利用极径的意义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）C1：（x﹣2）2+y2=4，即x2+y2﹣4x=0，极坐标方程为C1：ρ=4cosθ；‎ C2：x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，极坐标方程为C1：ρ=2sinθ；‎ ‎（2）设P，Q对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α，‎ ‎∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）角A，B，C为△ABC的三个内角，且f（+）=，f（+）=，求sinC的值．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．‎ ‎【分析】首先利用倍角公式化简解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求单调区间和sinC．‎ ‎【解答】解：由题意可得f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）‎ ‎（1）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+‎ 所以增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．…‎ ‎（2）由f（+）=得sinA=；…‎ f（）=得cosB=，sinB=；…‎ 由于sinA=＜sinB=，则a＜b⇒cosA=…‎ 所以sinC=sin（A+B）=．…‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面APC⊥平面ABC，且PA=PB=PC=4，AB=BC=2．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；‎ ‎（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）取AC中点O，连结PO，BO，证明OP⊥平面ABC，利用三棱锥的体积公式，即可求三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC；‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系．求出平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）取AC中点O，连结PO，BO，‎ ‎∵PA=PC，AB=BC，∴OP⊥AC，OB⊥AC，‎ 又∵平面APC⊥平面ABC，∴OP⊥平面ABC…，‎ ‎∴OP⊥OB，∴OP2+OB2=PB2，‎ 即16﹣OC2+4﹣OC2=16，得OC=，‎ 则OA=，OB=，OP=，AC=2，…‎ ‎∴S△ABC==2．‎ ‎∴VP﹣ABC==．…‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 得O（0，0，0），A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），P（0，0，），…‎ ‎∴=（﹣），=（﹣，0，），‎ 设平面PBC的法向量=（x，y，z）．‎ 则，取z=1，得=（，，1）．‎ ‎∵=（），‎ ‎∴直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．…‎ ‎　‎ ‎20．某教育机构为了解本地区高三学生上网的情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天上网时间的频率分布直方图：将每天上网时间不低于40分钟的学生称为“上网迷”．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“上网迷“与性别有关？‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 女 ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量高三学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名学生中的“上网迷”人数为X．若每次抽取的结果是相互独立的，求X=2的概率．‎ 附：X2=，‎ P（X2≥k）‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出K2，与3.841比较即可得出结论；‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“上网迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“上网迷”的概率为，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“上网迷”有25人，从而2×2列联表如下：‎ 非上网迷 上网迷 合计 男 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ ‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得X2=≈3.030，‎ 因为3.030＜3.841，所以没有理由认为“上网迷”与性别有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图知抽到“上网迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“上网迷”的概率为．则．‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于E，G两点，且△EGF2的周长为4‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程； ‎ ‎（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率找出a与b的关系式，再根据△EGF2的周长求出a与b的值，即可确定出椭圆C方程；‎ ‎（Ⅱ）根据题意得到直线AB斜率存在，设出直线AB方程，以及A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），联立直线AB解析式与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，根据不等式求出k的范围，进而确定出t的范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知椭圆的离心率e==，‎ ‎∴e2===，即a2=2b2，‎ 又△EGF2的周长为4，即4a=4，‎ ‎∴a2=2，b2=1．‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在，即t≠0．‎ 设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），‎ 由，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，‎ 由△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，得k2＜．‎ 根据韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵+=t，‎ ‎∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），‎ x==，‎ y== [k（x1+x2）﹣4k]=，‎ ‎∵点P在椭圆C上，∴16k2=t2（1+2k2），‎ ‎∵|﹣|＜，∴|x1﹣x2|＜，‎ ‎∴（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]＜，‎ ‎∴（1+k2）[﹣4•]＜，‎ ‎∴（4k2﹣1）（14k2+13）＞0，‎ ‎∴k2＞，‎ ‎∴＜k2＜．‎ ‎∵16k2=t2（1+2k2），∴t2==8﹣，‎ 又＜1+2k2＜2，∴＜t2=8﹣＜4，‎ ‎∴﹣2＜t＜﹣或＜t＜2，‎ ‎∴实数t的取值范围为（﹣2，﹣）∪（，2）．‎ ‎　‎ ‎22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ‎（1）求当a=1时，函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）设出切线方程以及切点坐标，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=1时，．‎ 当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，‎ 所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．…‎ ‎（2）解法1 设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），‎ 则， =，所以x2=1，y2=e，于是，‎ 由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．‎ 设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），‎ 则，所以﹣ax1，．‎ 又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．‎ 令，则，‎ m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．‎ 若x1∈（0，1），因为，‎ 所以，而在上单调递减，所以．‎ 若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，‎ 所以x1=e，所以=0．‎ 综上可知：a=0或．…‎ 解法2 设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），‎ 则， =，‎ 所以x2=1，y2=e，于是，‎ 由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．‎ 设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），‎ 则，所以．‎ 又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），所以，‎ 所以，消去x1得ea﹣ae﹣1=0．‎ 令p（a）=ea﹣ae﹣1，则p′（a）=ea﹣e，‎ p（a）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．‎ 当a∈（﹣∞，1）时，因为p（0）=0，所以a=0．‎ 当a∈（1，+∞）时，因为p（1）=﹣1＜0，‎ p（2）=e2﹣2e﹣1＞0，所以1＜a＜2，‎ 而，，所以，‎ 综上可知：a=0或．…‎